1、第二章一元二次方程第二章一元二次方程 一、单选题一、单选题 1如图，一次函数 y=-3x+4 的图象交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，过点 P分别作 OA和 OB 的垂线，垂足为 C，D若矩形 OCPD 的面积为 1 时，则点 P的坐标为（ ） A （13，3） B （12，2） C （12，2）和（1，1） D （13，3）和（1，1） 2关于 x 的方程222(1)0 xmxmm有两个实数根，且2212，那么 m的值为（ ） A1 B4 C4或 1 D1或 4 3设方程2320 xx的两根分别是12,x x，则12xx的值为（ ） A3 B
2、32 C32 D2 4若一元二次方程221310kxxk 有一个解为0 x，则 k 为（ ） A B1 C1 D0 5在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场，设有 x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A11362x x B11362x x C136x x D136x x 6已知a是方程22350 xx的一个解，则246aa的值为（ ） A10 B10 C2 D40 7已知关于 x的方程230 xxa有一个根为 1，则方程的另一个根为（ ） A-1 B1 C2 D-2 8下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A21xx04 Bx2+2x+4=0 Cx2-
3、x+2=0 Dx2-2x=0 9直线yxa不经过第二象限，则关于x的方程2210axx 实数解的个数是（ ）. A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 10已知关于 x 的一元二次方程 x23x+10 有两个不相等的实数根 x1，x2，则 x12+x22的值是（ ） A7 B7 C2 D2 二、填空题二、填空题 11一元二次方程4 (2)2x xx的解为_ 12菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 x28x150 的一个根，则该菱形的面积为_ 13如图，在一块长为 22m，宽为 14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分） ，其余部分种植花草若花草的种植面积为 240m2
4、，则小路的宽为_m 14关于x的方程2690kxx，k=_时，方程有实数根 15对任意实数 a，b，定义一种运算：22ababab，若(1)7xx，则 x的值为_ 16“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 x3x0，它的解是_ 17关于x的方程21104kxkxk有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_ 三、解答题三、解答题 18用适当的方法解下列方程： (1)x2x10； (2)3x(x2)x2； (3)x222x10； (4)(x8)(x1)12 19解关于 y 的方程：by21y2+2 20已知 m 是方程2201610 xx 的一个根，试求22201620151mm
5、m的值. 21已知：如图所示，在 ABC 中，B90 ，AB5cm，BC7cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动 （1）如果 P、Q分别从 A、B同时出发，那么几秒后， PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）在（1）中， PQB的面积能否等于 7cm2？请说明理由 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 由点 P在线段 AB上可设点 P 的坐标为（m，-3m+4） （0m43） ，进而可得出 OC=m，OD=-3m+4，结合矩形 OCPD的面积为 1，
6、即可得出关于 m的一元二次方程，解之即可得出 m的值，再将其代入点 P 的坐标中即可求出结论 【详解】 解：点 P在线段 AB上（不与点 A，B重合） ，且直线 AB 的解析式为 y=-3x+4， 设点 P 的坐标为（m，-3m+4） （0m43） ， OC=m，OD=-3m+4 矩形 OCPD 的面积为 1， m（-3m+4）=1， m1=13，m2=1， 点 P的坐标为（13，3）或（1，1） 故选：D 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于 m 的一元二次方程是解题的关键 2A 【解析】 【分析】 通过根与系数之间的关
7、系得到22m+= -+，2mm=-， 由2222可求出 m 的值，通过方程有实数根可得到222(1)40mmm，从而得到 m 的取值范围，确定 m 的值 【详解】 解：方程222(1)0 xmxmm有两个实数根， ()21221mm-+= -= -+， 221mmmm-=-， 2222，2212 2222212mmm， 整理得，2340mm， 解得，11m ，24m ， 若使222(1)0 xmxmm有实数根，则222(1)40mmm， 解得，1m ， 所以1m ， 故选：A 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键 3A 【
8、解析】 【分析】 本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可 【详解】 由2320 xx可知，其二次项系数1a ，一次项系数3b， 由韦达定理：12xx( 3)31ba ， 故选：A 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率 4C 【解析】 【分析】 把 x=0 代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0 得方程 k2-1=0，解关于 k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定 k的值 【详解】 把 x=0 代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0 得方程：k2-1=0， 解得
9、 k1=1，k2=-1， 而 k-10， 所以 k=-1 故选：C 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 5A 【解析】 【分析】 共有 x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但 2 队之间只有 1 场比赛，根据共安排 36 场比赛，列方程即可 【详解】 解：设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为： 12x（x1）36， 故选 A 【点睛】 此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 6B 【解析】 【分析】 将 a代入方程得到2235aa，再将其整体代入所求代数式即可得解 【详解】 a是方
10、程的一个解， 有22350aa，即，2235aa， 22462(23 )2 510aaaa ， 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求 a 值再代入计算，此方法耗时费力不可取 7C 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系列出关于另一根 t的方程，解方程即可 【详解】 解：设关于 x的方程230 xxa的另一个根为 xt， 1t3， 解得，t2 故选：C 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根时，x1x2ba，x1x2c
11、a 8D 【解析】 【分析】 逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论 【详解】 A.此方程判别式 2114 104 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; B.此方程判别式 224 1 4120, 方程没有实数根，不符合题意; C.此方程判别式 214 1 270 ，方程没有实数根，不符合题意; D .此方程判别式 224 1 040 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意; 故答案为： D. 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实数根 9
12、D 【解析】 【分析】 根据直线yxa不经过第二象限，得到0a ，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】 直线yxa不经过第二象限， 0a ， 方程2210axx ， 当 a=0 时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当 a0， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】 此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是 a的取值范围，再分类讨论. 10B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系可得 x1+x23，x1x21，再把代数式 x12+x22化为212122xxx x，再整体代入求值即可. 【详解】 解：根据根与系数的
13、关系得 x1+x23，x1x21， 所以 x12+x22（x1+x2）22x1x2322 17 故选：B 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键. 11x=14或 x=2 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解法解出答案即可 【详解】 4 (2)2x xx 当 x2=0 时,x=2, 当 x20 时,4x=1,x=14, 故答案为:x=14或 x=2 【点睛】 本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论 1224 【解析】 【分析】 利用因式分解法解方程得到 x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为 5，利用勾
14、股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算 【详解】 解：x2-8x+15=0， （x-3） （x-5）=0， x-3=0 或 x-5=0， x1=3，x2=5， 菱形一条对角线长为 8， 菱形的边长为 5， 菱形的另一条对角线长=22254=6， 菱形的面积=12 6 8=24 故答案为：24 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了菱形的性质 132 【解析】 【分析】 设小路宽为 xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m 的矩形的面积，根
15、据花草的种植面积为 240m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论 【详解】 解：设小路宽为 xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积， 依题意得： （22-x） （14-x）=240， 整理得：x2-36x+68=0， 解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去） 故答案为：2 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 141k 【解析】 【分析】 由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：当0k 时，直接进行求解；当0k 时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定 k
16、 的取值范围，最后综合即可求出满足题意的 k 的取值范围 【详解】 解：当0k 时，方程化为：690 x ， 解得：32x ，符合题意； 当0k 时， 方程有实数根， 0， 即26490k ， 解得：1k ， 1k 且0k ； 综上所述，当1k 时，方程有实数根， 故答案为：1k 【点睛】 题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键 152 或-3#-3 或 2 【解析】 【分析】 根据题意得到关于 x 的一元二次方程，解方程即可 【详解】 解：(1)7xx， 22117xxx x， 260 xx， 解得2x 或3x， 故答案为：2 或-3
17、【点睛】 本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键 161230,1,1xxx 【解析】 【分析】 先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 【详解】 解：30,xx-=Q ()()110,x xx+-= 则0 x或10 x 或10,x 解得：1230,1,1.xxx=-= 故答案为：1230,1,1.xxx=-= 【点睛】 本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程， 掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键. 1712k 且0k 【解析】 【分析】 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则=b2-4ac0，建立关于
18、 k 的不等式，求得 k 的取值范围，还要使二次项系数不为 0 【详解】 方程有两个不相等的实数根， 2214(1)404backkk ， 解得：12k ， 又二次项系数0k 故答案为12k 且0k 【点睛】 考查一元二次方程200 axbxca根的判别式24bac ， 当240bac 时，方程有两个不相等的实数根. 当240bac 时，方程有两个相等的实数根. 当240bac时，方程没有实数根. 18(1)1152x，2152x (2)x113，x22 (3)x121，x22 1 (4)x14，x25 【解析】 【分析】 （1）利用公式法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解；
19、 （3）利用配方法解答，即可求解； （4）利用因式分解法解答，即可求解 (1) 解： a1，b1，c1 b24ac（1）24 1 （1）5 x242bt baca125 即原方程的根为 x1152，x2152 (2) 解：移项，得 3x（x2）（x2）0， 即（3x1） （x2）0， x113，x22 (3) 解：配方，得（x2）21， x2 1 x121，x221 (4) 解：原方程可化为 x29x200， 即（x4） （x5）0， x14，x25 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 19当 b1 时，原方程的解为 y331bb；当 b1 时，原方
20、程无实数解 【解析】 【分析】 把 b 看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为 1，即可得出答案 【详解】 解：移项得：by2y22+1， 合并同类项得： （b1）y23， 当 b1 时，原方程无解； 当 b1 时，原方程的解为 y331bb； 当 b1 时，原方程无实数解 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论 202015 【解析】 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到2201610mm ，变形有220161mm 或212016mm ，再利用整体思想进行计算 【详解】 解：m 是方程2201610 xx 的一个根，代入即得220161
21、0mm . 220161mm 或212016mm . 22222201620162016112015201611112016mmmmmmmmmmmmmm 20162015mmm. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是适当选择整体代入法，使得解答变得简单. 21 （1）1 秒； （2）不可能，见解析 【解析】 【分析】 （1）经过 x秒钟， PBQ的面积等于 4cm2，根据点 P从 A 点开始沿 AB边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点Q 从 B 点开始沿 BC边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，表示出 BP 和 BQ 的长可列方程求解； （2）看 PBQ 的面积能否
22、等于 7cm2，只需令12 2x（5x）7，化简该方程后，判断该方程的 与 0 的关系，大于或等于 0 则可以，否则不可以 【详解】 解： （1）设经过 x秒以后 PBQ 面积为 4cm2，根据题意得12（5x） 2x4， 整理得：x25x+40， 解得：x1 或 x4（舍去） 答：1 秒后 PBQ的面积等于 4cm2； （2）由（1）同理可得12（5x）2x7 整理，得 x25x+70，因为 b24ac25280， 所以，此方程无解 所以 PBQ 的面积不可能等于 7cm2 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在
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