1、第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 一、单选题一、单选题 1已知四边形 ABCD是平行四边形， 下列结论：当 ABBC 时，它是菱形； 当 ACBD时，它是菱形；当ABC90 时，它是矩形；当 ACBD时，它是正方形，其中错误的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2如图，菱形 ABCD中，ABC=60 ，AB=4，E 是边 AD 上一动点，将 CDE 沿 CE 折叠，得到 CFE，则 BCF面积的最大值是（ ） A8 B8 3 C16 D16 3 3如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=3，对角线 AC上有一点 G（异于 A，C） ，连接 DG，将AGD绕点A 逆时针
2、旋转 60 得到AEF，则 BF的长为（ ） A13 B213 C7 D27 4如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点2,5A ，则点C的坐标为（ ） A5, 2 B2, 5 C2,5 D2, 5 5如图，在矩形 ABCD 中，E，F分别是 AD，BC的中点，连结 AF，BE，CE，DF分别交于点 M，N，则四边形 EMFN 是( ) A梯形 B菱形 C矩形 D无法确定 6如图，四边形 ABCD是平行四边形，过点 A作 AMBC于点 M，交 BD于点 E，过点 C作 CNAD于点N，交 BD于点 F，连接 CE，当 EA=EC，且点 M 为 BC 的中点时，AB：AE的值为（ ） A
3、2 B3 C32 D2 7如图，在四边形 ABCD中，AB CDBCAD，且 ADDC，则下列说法：四边形 ABCD是平行四边形；ABBC；ACBD；AC平分BAD；若 AC6，BD8，则四边形 ABCD 的面积为 24，其中正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 8如图，在正方形 ABCD中，点 O 是对角线 AC的中点，点 E是边 BC 上的一个动点，OEOF，交边 AB于点 F，点 G，H分别是点 E，F 关于直线 AC的对称点，点 E从点 C运动到点 B 时，图中阴影部分面积的大小变化是（ ） A先增大后减小 B先减小后增大 C一直不变 D不确定 9如图，菱形 ABCD
4、 的两条对角线长分别为 AC6，BD8，点 P 是 BC 边上的一动点，则 AP 的最小值为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 10如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若150 ，220 ，则ABD的度数为( ) A20 B35 C40 D50 二、填空题二、填空题 11如图，在矩形 ABCD中，AB6，BC8，点 E、F 分别是边 AB、BC 上的动点，且 EF4，点 G是 EF的中点，AG、CG，则四边形 AGCD面积的最小值为_ 12如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为50角，那么这个直角三角形的较小的内角是_. 13如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的边
5、OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D若 y 轴上有一点 P（不与点 C 重合） ，能使AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P 的坐标为_ 14 如图， 在边长为1的正方形ABCD中， 等边AEF的顶点E、 F分别在边BC和CD上则下列结论： CE=CF：AEB=75 ；SEFC=1；62EF ，其中正确的有_（用序号填写） 15正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为对角线 AC 上任意一点，PEAD，PFCD，垂足分别是 E，F则PE+PF_ 16如图，在菱形 ABCD中，AB 的垂直平分线交
6、对角线 BD 于点 F，垂足为点 E，连接 AF、AC，若DCB70 ，则FAC_ 17 如图， 四边形 ABCD为菱形，70ABC， 延长 BC到 E， 在D C E内作射线 CM， 使得15ECM，过点 D作DFCM，垂足为 F若6DF ，则对角线 BD 的长为_ 三、解答题三、解答题 18如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 E，过点 A 作/AF BD，过点 B作/BF AC，两线相交于点 F （1）求证：四边形AEBF是菱形； （2）连接CF，若90AFC，求证：ADAE 19如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点 O，且ABAD，/BE AC，/CE DB求
7、证：四边形OBEC是矩形 20如图，在平行四边形 ABCD 中，BEAD，BFCD，垂足分别为 E，F，且 AECF (1)求证：平行四边形 ABCD是菱形； (2)若 DB10，AB13，求平行四边形 ABCD的面积 21如图，在四边形 ABCD中，ADBC，对角线 BD的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 M，N (1)求证：四边形 BNDM 是菱形； (2)若 BD24，MN10，求菱形 BNDM的周长 参考答案参考答案 1A 【解析】 【分析】 根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题 【详解】 解：四边形ABCD是平行四边形， A、当
8、ABBC时，它是菱形，选项不符合题意， B、当ACBD时，它是菱形，选项不符合题意， C、当90ABC时，它是矩形，选项不符合题意， D、当ACBD时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意， 故选：A 【点睛】 本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理 2A 【解析】 【分析】 由三角形底边 BC 是定长，所以当BCF 的高最大时，BCF 的面积最大，即当 FCBC时，三角形有最大面积 【详解】 解：在菱形 ABCD中，BC=CD=AB=4 又将 CDE沿 CE 折叠，得到 CFE， FC=CD=4 由此， BCF的底边 BC是定长，所以当 BC
9、F的高最大时， BCF的面积最大，即当 FCBC 时，三角形有最大面积 BCF面积的最大值是114 4822BC FC 故选：A 【点睛】 本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键 3A 【解析】 【分析】 过点 F作 FHBA交 BA的延长线于点 H，则FHA=90 ，AGD绕点 A 逆时针旋转 60 得到AEF，得FAD=60 ，AF=AD=2，又由四边形 ABCD是矩形，BAD=90 ，得到FAH=30 ，在 RtAFH中，FH=12AF=1，由勾股定理得 AH=223AFFH ，得到 BH=AH+AB=23 ，再由勾股定理得 BF=22
10、221(2 3)13FHBH 【详解】 解：如图，过点 F 作 FHBA 交 BA 的延长线于点 H，则FHA=90 ， AGD 绕点 A 逆时针旋转 60 得到AEF FAD=60 ，AF=AD=2， 四边形 ABCD是矩形 BAD=90 BAF=FAD+ BAD=150 FAH=180 BAF=30 在 Rt AFH中，FH=12AF=1 由勾股定理得 AH=223AFFH 在 Rt BFH中，FH=1，BH=AH+AB=23 由勾股定理得 BF=22221(2 3)13FHBH 故 BF的长13 故选：A 【点睛】 本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股
11、定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线 4B 【解析】 【分析】 根据菱形的中心对称性，A、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可 【详解】 菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， A、C 坐标关于原点对称， C 的坐标为2, 5， 故选 C 【点睛】 本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键 5B 【解析】 【分析】 求出四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出 BEFD，即MEFN， 同理可证 ENMF， 得出四边形 EMFN 为平行四边形， 求出 ME=MF， 根据
12、菱形的判定得出即可 【详解】 连接 EF 四边形 ABCD 为矩形， ADBC，AD=BC， 又E，F 分别为 AD，BC 中点， AEBF，AE=BF，EDCF，DE=CF， 四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形， BEFD，即 MEFN， 同理可证 ENMF， 四边形 EMFN 为平行四边形， 四边形 ABFE 为平行四边形，ABC 为直角， ABFE 为矩形， AF，BE 互相平分于 M 点， ME=MF， 四边形 EMFN 为菱形 故选 B 【点睛】 本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题
13、目比较好，综合性比较强 6B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知 AECF；然后由全等三角形的判定定理ASA 推知 ADECBF；最后根据全等三角形的对应边相等知 AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接 AC交 BF 于点 O，根据 EA=EC推知ABCD 是菱形，根据菱形的邻边相等知 AB=BC；然后结合已知条件“M是 BC的中点，AMBC”证得 ADECBF（ASA） ，所以 AE=CF，从而证得 ABC是正三角形；最后在 Rt BCF 中，求得 CF：BC=33，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=3 【详解】
14、 解：连接 AC， 四边形 ABCD是平行四边形， BCAD； ADE=CBD， AD=BC， 在 ADE和 CBF中， 90DAEBCFADCBADEFBC ， ADECBF（ASA） ， AE=CF， 又AMBC， AMAD； CNAD， AMCN， AECF； 四边形 AECF 为平行四边形， EA=EC， AECF是菱形， ACBD， 平行四边形 ABCD是菱形， AB=BC， M是 BC的中点，AMBC， AB=AC， ABC为等边三角形， ABC=60 ，CBD=30 ； 在 Rt BCF中，CF：BC=33， 又AE=CF，AB=BC， AB：AE=3 故选：B 【点睛】 本题综
15、合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得ABCD是菱形是解题的难点 7D 【解析】 【分析】 由ABCDBCAD，可知四边形 ABCD是平行四边形，可判断的正误；由 ADDC，可知平行四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可判断的正误 【详解】 解：ABCDBCAD， 四边形 ABCD是平行四边形，故正确； ADDC， 平行四边形 ABCD是菱形， ABBC，ACBD，AC平分BAD，故正确； AC6，BD8， 菱形 ABCD的面积116 82422ACBD ，故正确； 正确的个数有 5 个， 故选 D 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定，菱形
16、的判定与性质解题的关键在于证明四边形 ABCD 是菱形 8C 【解析】 【分析】 连接 BD，证明 FOBEOC，同理得到 HODGOC，即可得到答案 【详解】 解：连接 BD， 四边形 ABCD是正方形， BOC = 90 ，45FBOECO， BO+EOC=90 ， OEOF， BOE+ FOB = 90 ， FOB = EOC， 在 FOB和 EOC， FOBEOCOBOCFBOECO ， FOBEOC， 同理， HODGOC， 图中阴影部分的面积= ABD 的面积=12正方形 ABCD 的面积 阴影部分面积的大小一直不变 故选：C 【点睛】 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和
17、性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 9B 【解析】 【分析】 由垂线段最短，可得 APBC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求 BC 的长，由菱形的面积公式可求解 【详解】 如图，设 AC 与 BD 的交点为 O， 点 P 是 BC 边上的一动点， APBC 时，AP 有最小值， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO12AC3，BODO12BD4， BC229 165BOCO， S菱形ABCD12 AC BDBC AP， AP2454.8， 故选：B 【点睛】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当 APBC 时，AP 有最小值是本题关键
18、10B 【解析】 【分析】 由MCN=180 ，可求出BCD 的度数，根据菱形的性质可得A的度数，再由 AB=AD，进而可求出ABD的度数 【详解】 四边形 ABCD是菱形， A=BCD，AB=AD 1=50 ，2=20 ， BCD=180 -50 -20 =110 A=110 AB=AD， ABD=ADB=（180 110 ） 2=35 故选 B 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理的运用以及等腰三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键 1138 【解析】 【分析】 根据题目要求，要使四边形 AGCD 的面积最小，因为ACD的面积固定，只需使AGC的面积最小即可，即AG
19、C的高最小即可，又在Rt BEF中，4EF ，则 BG=2， AGC高的最小值为点 B 到 AC的距离减去 BG的长度，则可求解 【详解】 依题意，在Rt BEF中， G为 EF的中点，4EF ， 122BGEF， 点 G 在以 B 为圆心，2 为半径的圆与长方形重合的弧上运动， 16 8242ACDS , 要使四边形 AGCD 的面积最小， 则 B 所在直线垂直线段 AC， 又2210ACABBC， 点 B 到 AC 的距离为6 84.810， 此时点 G 到 AC的距离为4.8 22.8， 故AGC的最小面积为110 2.8142， 142438AGCDACGACDSSS， 故答案为：38
20、 【点睛】 本题考查了动点问题中四边形的最小面积问题，利用勾股定理，直角三角形中线的性质，三角形等积法求高等性质定理进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键 1225 【解析】 【分析】 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到AACD ，再利用外角性质求出A，再得到B，从而得解. 【详解】 如图所示， CD是Rt ABC斜边上的中线， CDADDB， AACD ， 斜边上的中线与斜边所成的锐角为50，即50BDC， 250BDCAACDA ， 解得：25A ， 另一个锐角902565B ， 这个直角三角形的较小内角是25. 故答案为：25. 【点睛】 本题考查了直角三角
21、形的性质和外角的性质，比较基础. 133(0, )4，3(0,)4或1(0, )2 【解析】 【分析】 设 AE=m，根据勾股定理求出 m 的值，得到点 E（1，54） ，设点 P 坐标为（0，y） ，根据勾股定理列出方程，即可得到答案 【详解】 对角线 AC 的垂直平分线交 AB 于点 E， AE=CE， OA=1，OC=2， AB=OC=2，BC=OA=1， 设 AE=m，则 BE=2-m，CE=m， 在 RtBCE 中，BE2+ BC2=CE2，即： （2-m）2+12=m2， 解得：m=54， E（1，54） ， 设点 P 坐标为（0，y） ， AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，
22、 当 AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=34， 当 EP=AE，则(1-0)2+(54-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=12， 点 P 的坐标为3(0, )4，3(0,)4，1(0, )2， 故答案是：3(0, )4，3(0,)4，1(0, )2 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键 14 【解析】 【分析】 根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为 180 判断的正误；根据等边三角形的边长求得直角三角形的边
23、长，从而求得面积的正误，根据勾股定理列方程可以判断的正误 【详解】 解：四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， AEF 是等边三角形， AE=AF， 在 RtABE 和 RtADF 中，ABADAEAF， RtABERtADF（HL） ， BE=DF， BC=DC， BC-BE=CD-DF， CE=CF， 说法正确； CE=CF， ECF 是等腰直角三角形， CEF=45 ， AEF=60 ， AEB=75 ， 说法正确； 正方形 ABCD 的边长为 1， 1CECF 1111 1222ERCSFC EC 说法错误， AEB=75 ，AEF=60 ， CEF=45 ， CEF 是等腰直角三
24、角形， 设 BE=DF=x， CE=CF=1-x， 221x 2(1x) x23,x23（不合题意，舍去） ， EF= 62；说法正确； 正确的有 故答案为 【点睛】 本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大 151 【解析】 【分析】 证明四边形 DEPF 是矩形得 PEDF，证明 PFC 是等腰直角三角形得 PFCF 便可求得结果 【详解】 解：四边形 ABCD 是正方形， ADC90 ，ACD1452BCD， PEAD，PFCD， 四边形 DEPF 是矩形， PEDF， ACD45 ，PFC90 ， PFCF， PE+P
25、FDF+CFCD1， 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明 PE=DF，PF=CF 1620 【解析】 【分析】 由菱形的性质和等腰三角形的性质求出BAC 和FAB 的度数，即可解决问题 【详解】 解：EF 是线段 AB的垂直平分线， AFBF， FABFBA， 四边形 ABCD是菱形，DCB70 ， BCAB，BCA12DCB35 ，ACBD， BACBCA35 ， FBA90 BAC55 ， FAB55 ， FACFABBAC55 35 20 ， 故答案为：20 【点睛】 本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的
26、性质和等腰三角形的性质是解题的关键 172 6 【解析】 【分析】 连接 AC 交 BD于 H，证明DCHDCF，得出 DH的长度，再根据菱形的性质得出 BD 的长度 【详解】 解：如图，连接 AC交 BD于点 H， 由菱形的性质得BDC=35，DCE=70， 又MCE=15， DCF=55， DFCM， CDF=35， 又四边形 ABCD是菱形， BD平分ADC， HDC=35， 在CDH和CDF中， CHDCFDHDCFDCDCDC CDHCDF（AAS） ， = 6DF DH， DB=2 6， 故答案为2 6 【点睛】 本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题
27、的关键知识点，得出HDC=FDC是这个题最关键的一点 18 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的性质得出AEBEDE，即可得出四边形AEBF是菱形； （2） 连接EF， 由菱形的性质得出AEBEAFBF， 证出AEF和BEF是等边三角形， 推导出60AED即可求解 【详解】 证明： （1）/AFBD，/BFAC， 四边形AEBF是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， AECE，BEDE，ACBD， AEBEDE， 四边形AEBF是菱形； （2）连接EF， 四边形AEBF是菱形， AEBEAFBF， AEEC，AFC=90 ， EF
28、AEEC， AEEFAFEBBF， AEF是等边三角形，BEF是等边三角形， 60AEFBEF ， 60AED， 又DEAE， AED是等边三角形， ADAE 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明四边形AEBF是菱形再进一步证出AEF和BEF是等边三角形是解决问题（2）的关键 19见解析 【解析】 【分析】 先根据四边形ABCD是平行四边形且ABAD得到平行四边形ABCD是菱形，即可得到90BOC，再根据/BE AC，/CE DB，证明四边形OBEC是平行四边形，即可得到平行四边形OBEC是矩形
29、【详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形且ABAD 平行四边形ABCD是菱形 BDAC，即90BOC 又/BE AC，/CE DB 四边形OBEC是平行四边形， 平行四边形OBEC是矩形 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 20(1)见解析 (2)120 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得AC ，利用全等三角形的判定和性质得出ABECBF，ABCB，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明； （2）连接 AC，交 BD于点 H，利用菱形的性质及勾股定理可得224ACAH，再根据
30、菱形的面积公式求解即可得 (1) 证明：四边形 ABCD是平行四边形， AC ， BEAD，BFCD， 90AEBCFB， 在ABE和CBF中， ACAECFAEBCFB ， ABECBF， ABCB， 平行四边形 ABCD是菱形； (2) 解： 如图所示：连接 AC，交 BD 于点 H， 四边形 ABCD是菱形， ACBD， 13AB，10BD， 5BHDH， 在Rt ABH中， 222213512AHABBH， 224ACAH， 平行四边形 ABCD的面积为：1124 1012022SAC BD 【点睛】 题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，
31、勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键 21(1)见解析 (2)菱形 BNDM 的周长为 52 【解析】 【分析】 （1）证 MODNOB（AAS） ，得出 OM=ON，由 OB=OD，证出四边形 BNDM 是平行四边形，进而得出结论； （2）由菱形的性质得出 BM=BN=DM=DN，OB=12BD=12，OM=12MN=2，由勾股定理得 BM的长，即可得出答案 (1) 证明：ADBC， DMO=BNO， MN 是对角线 BD的垂直平分线， OB=OD，MNBD， 在MOD和NOB 中，DMOBNOMODNOBODOB， MODNOB（AAS） ， OM=ON， OB=OD， 四边形 BNDM 是平行四边形， MNBD， 四边形 BNDM 是菱形； (2) 解：四边形 BNDM 是菱形，BD=24，MN=10， BM=BN=DM=DN，OB=12BD=12，OM=12MN=5， 在 RtBOM中， 在 Rt BOM 中， 由勾股定理得：222251213MBOMOB， 四边形 BNDM 的周长为：4 13=52 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键
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