1、 1空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p_. 其中a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 xay bzc 基底基底 2 【注意】【注意】 （1）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 . 00（2）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。 2正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_，且长度都是_，那么这个基底叫做单位正交基
2、底常用i，j，k表示 (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个_的向量，叫做把空间向量进行正交分解 两两垂直两两垂直 1 两两垂直两两垂直 3 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，则 O,A,B,C 四点共面 ()(2)若a,b,c为空间的一个基底，则 a,b,c 全不是零向量()(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()4 2.已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量 pab，qab 构成基底的向量是( ) Aa Bb Ca2b Da2c D 例 1设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组
3、：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1 个B2 个C3 个D4 个5 类型类型1 1 基底的判断基底的判断 C 变式练习：已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OAe12e2e3，OB3e1e22e3，OCe1e2e3，试判断OA， OB，OC能否作为空间的一个基底6 解：假设OA， OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使OAxOBy OC成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即 e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面y3
4、x1，xy2，2xy1，此方程组无解即不存在实数 x，y 使得OAxOByOC，所以OA， OB，OC不共面所以OA， OB，OC能作为空间的一个基底111111111111,4,4,5,60 ,60,.,2.ABCDA B C DABADAABAADAAM ND CC BMNAC 如如图图 在在平平行行六六面面体体中中的的分分别别为为中中点点求求证证：例例A B C D M N B1 A1 C1 D1 11111,0.,.MNACMN ACAB AD AAMNACMN AC 由由已已知知可可构构成成空空间间的的一一个个基基底底把把和和分分别别用用要要分分析析：基基底底表表示示证证只只需需证证
5、明明然然后后计计算算即即可可1, , , ,ABa ADb AAca b c证证明明：设设这这三三个个向向量量不不共共面面构构成成空空间间的的一一个个基基底底类型类型2 2 基底在几何中的应用基底在几何中的应用 11111,11,.22MN ACMNMCC Nab ACABBCCCabc 我我们们用用它它们们表表示示则则111()22111111222222MN ACababca ba ba cb ab bb c 222211144cos604 5 cos602221114cos6044 5 cos602220 1MNAC 所所以以A B C D M N B1 A1 C1 D1 C A B D
6、 D A B C E F G ,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .(1)/,., , , ,.EFACEFACDAi DCj DDki j kEFAC分分析析：要要证证明明只只需需证证明明与与共共线线设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底 把把和和分分别别用用基基向向量量表表示示作作相相应应的的运运算算证证明明它它们们共共线线即即可可(2),.CEAGCE AG要要求求与与所所成成角角的的余余弦弦
7、值值 只只需需求求所所成成角角的的余余弦弦值值即即可可(1), , , .DAi DCj DDki j k证证明明：设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底111(),222,EFD FD EijijCADADCij1,/.2EFCAEFAC 所所以以所所以以C A B D D A B C E F G 1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .1(2),2CECCCEjk 解解：因因为为12AGA
8、DDGik 11222cos,55522jkikCE AGCE AGCEAG 2.5CEAG故故与与所所成成角角的的余余弦弦值值为为1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .C A B D D A B C E F G 基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量 (2)用基向量表示出直线的方向向量 (3)用|a| a a求长度，用 ab ab，用 a b0ab， 用 cos a b|a|b|求夹角 (4)最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. 12 13 .,OABCOBOCAOBAOCAOBC 求求证证: : 变变式式练练习习1 1： 已已知知四四面面体体，14 A B C D B1 A1 C1 D1 111111111,2,2,5,.,60ABCDA B C DABADAABADBAADAABCCA 如如中中求求与与图图 在在平平行行所所变变式式练练习习2 2成成角角的的面面：体体余余弦弦值值六六,.ABCDADCDDCOAOAOCD 中中和和相相交交于于点点 ，连连接接，变变式式练练习习3 3：求求证证如如图图 在在正正方方体体C A B D D A B C O
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