1、1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点点+位置向量 (2)线点+方向向量 (3)平面点+法向量 2.求平面的法向量的步骤： (1)设平面的法向量为( , , )nx y z (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,),(,)aa b cba b c (3)根据法向量的定义建立关于, ,x y z的方程组00n an b (4)自由变量选取适当的值，即得一个法向量。 OP=OP OAta=OP OAtAB=0PAP|a 我们知道，我们知道，直线的方向向量直线的方向向量和和平面的法向量平面的法向量是确定空间中是确定空间中的直线和平面的关键量那么是否能用这些向量来刻画空
2、间直的直线和平面的关键量那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题 思考：思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？ 1u2ul1 l2 u ul l1212,;,. 如如图图，设设分分别别是是直直线线的的方方向向向向量量. .由由方方向向向向量量的的定定义义可可知知 如如果果两两条条直直线线平平行行 那那么么它它们们的的方方向向向向量量一一定定平平行行
3、反反过过来来如如果果两两条条直直线线的的方方向向向向量量平平行行 那那么么这这两两条条直直线线也也平平行行 所所以以lluuuu121212/R,. 使使得得n ul 1n2nulnl, 类类似似地地 如如左左图图 设设 是是直直线线 的的方方向向向向量量是是平平面面 的的法法向向量量则则n n12, 如如右右图图 设设分分别别是是平平面面的的法法向向量量 则则nnnn1212/R, 使使得得lunu n/0 n a b P uv例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ababP ab, /,/.如如图图已已知知：求求证证：na b
4、u vn unnvn , ,0,.分分析析：设设平平面面 的的法法向向量量为为直直线线的的方方向向向向量量分分别别为为则则由由已已知知条条件件可可得得由由此此可可以以证证明明 与与平平面面 内内也也的的任任意意一一个个向向是是 的的量量直直 即即法法向向量量垂垂n a b P uv例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 na bu v, . 证证明明： 如如图图 取取平平面面 的的法法向向量量直直线线的的方方向向向向量量分分别别为为ababPQx yPQxuyv, R,.因因为为所所以以对对于于任任意意点点存存在在使使得得()0,n
5、 PQnxuyvxn uyn v从从而而,/.n所所以以 向向量量 也也是是平平面面 的的法法向向量量 故故abn un v/, /,0,0.因因为为所所以以Q n a b u1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ,.abbu证证明明： 如如图图 设设在在直直线线 上上取取方方向向向向量量nbnu 因因为为取取平平面面 的的法法向向，所所以以量量aa/ 又又，所所以以/,abua因因为为所所以以 也也是是直直线线 的的方方向向向向量量/ ,/.,/,ab aba 已已知知：求求证证：如如图图A B C D D1 A1 B
6、1 C1 x y z P ABCDA B C DABBCCCB CPA PACD11111111,4,3,23/?./,如如图图 在在长长方方体体上上是是否否存存在在点点使使得得平平面面中中例例B C A PACDnPn A P1111,.,0.分分析析：根根据据条条件件建建立立适适当当的的空空间间直直角角坐坐标标系系那那么么问问题题中中涉涉及及的的点点、向向量量以以及及平平面面的的法法向向量量 等等都都可可以以用用坐坐标标表表示示 如如果果点点 存存在在 那那么么就就有有，由由此此通通过过向向量量的的坐坐标标运运算算可可得得结结果果nx y zACDxzn ACxyn ADxzyz 11(
7、, ),2,340,31320.2设设是是平平面面的的法法向向量量 则则即即DDA DC DDxyzACDACAD111,(3, 0, 0),(0, 4, 0),(0, 0, 2),( 3,4,0),( 3,0,2). 解解： 以以 为为原原点点所所在在直直线线分分别别为为 轴轴、 轴轴、轴轴 建建立立如如图图所所示示空空间间直直角角坐坐标标系系，则则 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P zxynACD16,4, 3.,(4,3,6). 取取则则所所以以是是平平面面的的一一个个法法向向量量1111111(01),( 3 ,0, 2 ),( 3 ,4, 2 ).PB PB C
8、B PA PA BB P 设设点点 满满足足则则所所以以n A PP110,1212120,2.令令得得解解得得这这样样的的点点 存存在在111111,2/.B PB CPB CA PACD 所所以以 当当即即 为为的的中中点点时时平平面面1111(3,0,2),(0,4,0),(3,4, 2),(0,4,0),( 3,0, 2).ACBA BB C 由由得得A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P 2.如图，在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使得AE/CF? C A B D FE3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面AB1,面A1C1的中心.求证：EF/平面ACD1. C A B D D1A1B1C1FE
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