1、平面直角坐标系平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底i, j,以O为原点，分别以i, j的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy. 对平面内任一向量a，存在唯一实数对(x,y)，使 a=xi+yj 则终点A的坐标(x,y)叫做向量a的坐标. O i j a A(x,y) x y z i j k O 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i, j, k,以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz. 点O叫做原点，向量i, j, k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，
2、Oyz平面，Oxz平面.它们把空间分成八个部分. 建系：建立右手直角坐标系 . 画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy=135(或45), yOz=90. 说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系. x y z O i j k 空间直角坐标系的画法 探究1 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ i j O k x y z A 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j, k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,
3、z),使 =xi+yj+zk. OAOAOA 在单位正交基底i, j, k下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. OAi j O k x y z A a 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量a, 作 (如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z),使 a=xi+yj+zk. OAa 有序实数组(x, y, z), 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 a(x, y, z). 也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和
4、终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化. 注：(x, y, z)具有双重意义，既可以表示向量，也可以表示点，在表述时注意区分. j i O k x y z A 过点A分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，分别交x轴,y轴,z轴于点B,C,D，可以证明在x轴,y轴,z轴上的投影向量分别为,. B C D 设点B,C和D在x轴,y轴,z轴上的坐标分别为,，则A的坐标为(,). 探究2 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标(x, y, z)吗？ OA求某点A的坐标的方法：先找到点A在xOy平面上的射影A，过点A向x轴作垂线，确定垂足B.其中
5、|OB|,|BA|,|AA|即为点A坐标的绝对值，再按OBAA确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，最后得到相应的点A的坐标 A O x y z A B C B A C D .)2() 1 (.31,41,31, 2, 4, 31的坐标、写出四点的坐标；、写出标系如图所示的空间直角坐为单位正交基底，建立以中，如图，在长方体例CACABBBABACDOxyzDOOCOADOOCOACBADOABC解: (1) D(0,0, 2),C(0,4,0) A(3,0, 2),B(3,4, 2) O x y z A B C B A C D .)2() 1 (.31,41,31, 2, 4, 3
6、1的坐标、写出四点的坐标；、写出标系如图所示的空间直角坐为单位正交基底，建立以中，如图，在长方体例CACABBBABACDOxyzDOOCOADOOCOACBADOABC).2 , 4 , 3(243)0 , 4 , 3(043)2, 0 , 0(200)0 , 4 , 0(0402kjiCCOCAOCAkjiCDDACAkjiODBBkjiOCBA；）（x y z O i j k 1.若点M在Oyz平面上，则x0； 若点M在Ozx平面上，则y0； 若点M在Oxy平面上，则z0； 探究3 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？ 2.若点M在x轴上，则yz0； 若点M在y轴上，则xz0； 若点M在
7、z轴上，则xy0； 3.若M是原点，则xyz0 11 关于坐标平面的对称性： (1)P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为 P1(x,y,z)； P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为 P2(x,y,z)； P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为 P3(x,y,z) x y z O i j k 关于坐标轴的对称性： (2)P(x,y,z)关于x轴的对称点为 P4(x,y,z)； P(x,y,z)关于y轴的对称点为 P5(x,y,z)； P(x,y,z)关于z轴的对称点为 P6(x,y,z) x y z O i j k 对称性规律总结： 关于哪个坐标平面对称，点在那个平面上的坐
8、标不变，另外的一个坐标变成相反数； 关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数； 关于原点对称的点,则三个坐标都变为相反数； 关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称，利用中点坐标公式. 规律：关于谁对称谁不变 例2 在空间直角坐标系中给定点M(1,2,3) （1）求它分别关于xOy平面和xOz平面的对称点， （2）关于z轴和原点的对称点的坐标 （3）M(1,2,3)关于点(1,2,3)的对称点. (3) (3,6,9) 解：(1)M(1,2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,2,3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)， （2）M(1,2,3)关于z轴对称的点是(1,2,3
9、) 关于坐标原点对称的点是(1,2,3) 1.点A(1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为（ ） A.(1,0,1),(1,2,0) B.(1,0,0),(1,2,0) C.(1,0,0),(1,0,0) D.(1,2,0),(1,2,0) 2.点P(1,2,5)到xOz平面的距离为( ) A.1 B.2 C.2 D.5 B B 3.在直角坐标系Oxyz中 (1)哪个坐标平面于x轴垂直？哪个坐标平面于y轴垂直？哪个坐标平面于z轴垂直？ (2)写出点P(2,3,4)在三个平面内的射影坐标. (3)写出点P(1,3,5)关于原点中心对称的点的坐标. Pyxz（1）Oyz，Oxz，Oxy （3）(1,3,5) （2）(2,3,0)，(0,3,4)，(2,0,4)
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