1、北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设命题：，则为（ ）A ，B. ，C. ，D. ，3. 在的展开式中，常数项为（ ）A. 20B. -20C. 160D. -1604. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.26. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）A. 24种B. 18种
2、C. 12种D. 6种7. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）A. B. C. D. 9. 已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数，给出下列三个结论：一定存在零点；对任意给定的实数，一定有最大值；在区间上不可能有两个极值点其中正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1
3、C. 2D. 3第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分11. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则_12. 不等式解集是_13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_14. 某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元则一个这样的简易工作房的总造价最低为_元15. 已知数列的每一项均不为0，其前项和为，且当时，_；若对任意的，恒成立，则的最大值为_三、解答题共4小题，共40分解答应写出文字说明，演算步骤或
4、证明过程16. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%表一（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一
5、年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；（3）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份（只需写出结论）18 已知函数（1）求的单调区间；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围19. 已知为正整数，数列：，记对于数列，总有，则称数列为项0-1数列若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，（1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写
6、出和的值；（2）若数列A，均为项0-1数列，证明：；（3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，使得，并说明理由北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义去求即可.【详解】.故选：B.2. 设命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得出.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.故选：A.3. 在的展开式中，常数项为（ ）A. 20B. -20C. 160D
7、. -160【答案】D【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为故选：4. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D5 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2【答案】D【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的
8、对称轴为，又由，则，则，故选：D6. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种【答案】B【解析】【分析】从4门学科的全排列数中去掉体育排第一节的排列数即可作答.【详解】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.故选：B7. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
9、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出.【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.故选：C.8. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.【详解】选项A：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1.选项B：，则，由，可得则在处的切线的
10、斜率为1选项C：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1选项D：，则，则，则不存在斜率为1的切线故选：D9. 已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.【详解】解：设数列的公比为，若，则，所以，则，所以，所以为递减数列；若为递减数列，当时，数列为递减数列，此时，所以由为递减数列不一定能得到，所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.故选：A.
11、10. 已知函数，给出下列三个结论：一定存在零点；对任意给定的实数，一定有最大值；在区间上不可能有两个极值点其中正确结论的个数是（ ）A 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得的零点判断；利用导数并分类讨论判定是否有最大值判断；举反例否定【详解】当时，由，可得在存在零点当时，由，可得在存在零点当时，在单调递减，值域又在单调递增，值域，则与的图象在必相交，则在存在零点综上，一定存在零点.判断正确；当时，在单调递增，存在最大值； 当时，则，在上单调递减，值域，当，时，在上值域则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；当时，在上单调递减，则在上单调递减，则，
12、使得则时，时，则在单调递增，在单调递减，存在最大值；当时，在上单调递增，当时，恒成立，则在单调递增，当时，单调递增，值域为又当时，单调递减，值域为则当时，若，则单调递增，则在单调递增，存在最大值；若，使得时；时；则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，则在有最大值；综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；令，则，在上单调递减，值域，在上单调递增，值域，又，则，使得则当，或时，单调递增当时，单调递减则在区间上有两个极值点判断错误.故选：C第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分11. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则_【答案】【解析】【分析】根据复数的坐标
13、写出复数，再根据复数的乘法运算即可得解.【详解】解：因为复数对应的点的坐标是，所以，所以.故答案为：.12. 不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】写出分式不等式的等价不等式组，再解不等式组即可得解.【详解】解：因为，所以，即，等价于，解得：或.故答案为：.13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案.【详解】解：，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上递减，所以，所以的取值范围是.故答案为：.14. 某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示房子的高度为3m，占地面积
14、为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元则一个这样的简易工作房的总造价最低为_元【答案】4880【解析】【分析】设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.【详解】设，则，则这个简易工作房总造价为，因为，当且仅当，即时等号成立，所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.故答案为：4880.15. 已知数列的每一项均不为0，其前项和为，且当时，_；若对任意的，恒成立，则的最大值为_【答案】 . 4 . 1【解析】【分析】 由，解出，再由，解出； 结合，可求出数列的递推关系为，则数列的奇
15、数项与偶数项均为公差为3的等差数列，数列为公差为6的等差数列，最后分别讨论，成立的条件，以及证明即可满足对任意的，恒成立，即可求得的最大值【详解】 ，故，可得，可解得；当，故，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，即数列为公差为6的等差数列，若对任意的，恒成立，由得，即，可解得；由得，即，结合，可解得；由得，即，结合，可解得；当时，由得，即，即，结合，可解得；同理，由上得，故恒成立，综上，即最大值为1.故答案为： 4； 1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用数列通项与前n项和的关系确定数列的递推公式，再由递推公式分类求解即可.三、解答题共4小题，共40分解答应写出文字说明，演算步骤
16、或证明过程16. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此【小问2详解】，因此17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车
17、销量占比如表一（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%表一（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；（3）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份（只需写出结论）【答案
18、】（1） （2）的分布列为：期望 （3）2019年，2021年【解析】【分析】（1）根据样本数据进行统计，结合古典概型的计算公式即可求解.（2）根据超几何分布即可求对应事件的概率进而可得分布列以及期望.（3）根据“爆炸年”的定义即可分析数据得以求解.【小问1详解】从2015年到2021年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为【小问2详解】从2015年至2021年中随机选取两年共有种选法，只有2020年和2021年这两年，新能源汽车销
19、量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆，故可取:;的分布列为：期望【小问3详解】从2015年到2021年这七年中，新能源汽车销量（单位：万辆）分别： ，其中，故只有2021，2018，2019连续三年以及2019，2020，2021这三年第三年的销量大于前两年的销量之和，故“爆发年”的年份为：2019，2021年.18. 已知函数（1）求的单调区间；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号即可得出答案；（2）由（1）可得函数的单调区间，当时，要使有两个不同的零点，只要即可，解之即可得解.【小问1
20、详解】解：函数的定义域为，当时，所以函数在上递增，当时，当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，综上所述，当时，函数的单调区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；【小问2详解】解：由（1）得，当时，函数在上递增，所以函数最多一个零点，故不符题意；当时，函数在上递减，在上递增，所以，又当时，当时，因为有两个不同的零点，所以，解得，综上所述，的取值范围为.19. 已知为正整数，数列：，记对于数列，总有，则称数列为项0-1数列若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，（1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；（2）若数列A，均为项0-1数列，证明：；（3）对于任意
21、给定的正整数，是否存在项0-1数列A，使得，并说明理由【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据数列的定义分别求出，即可得出答案；（2）记数列：，数列：，分和两种情况讨论，从而可得出结论；（3）分是奇数和偶数两种情况讨论，根据定义分析运算，从而可得出结论.小问1详解】解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1，所以数列：，数列：，所以，；【小问2详解】证明：对于两个0-1数列A：和：，记数列：，对于，若，则此时；若，则此时，故对于数列：，考虑的值：若，则；若，则，所以与是同一数列，所以；【小问3详解】解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，证明如下：对于3个项0-1数列A，记，则，当时，当中有一个不同于其他两个时，所以是奇数，则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；若为偶数，即，可构造：，此时数列为，数列，相同，都是，所以有，综上所述，当为偶数时，有可能为，当为奇数时，不可能成立.【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了学生的逻辑思维能力，解题的关键在于对新定义的理解，有一定的难度.
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