北京市门头沟区2022届高三上期末调研数学试卷（含答案解析）

1、北京市门头沟区2022届高三上期末调研数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）1. 复数（ ）A. B. C. D. 2. 集合，则 （ ）A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数是（ ）A. B. C. D. 4. “角的终边关于轴对称”是“”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，在为增函数的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）A. B. C. D. 7. 等差数列的公差，数列的前

2、项和，则（ ）A. B. C. D. 8. 点在抛物线上，则到直线距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣

3、0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分在某次招标中，若基准价1000（万元）甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A. 73，75.4B. 73，80C. 74.6，76D. 74.6，75.4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.）11. 双曲线的一条渐近线为，则的焦距为_12

4、. 已知为平面上的动点，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为_13. 函数的图像向左平移_个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为_14. 在梯形中，是的中点，则= _15. 已知函数为奇函数，且，当时，给出下列四个结论： 图像关于对称 图像关于直线对称在区间单调递减其中所有正确结论的序号是_三、解答题（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明.）16. 在中，.（1）求；（2）若，从条件、条件、条件中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.条件：条件： 条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答

5、，按第一个解答计分17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，分别为，的中点（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面距离18. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（1）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.（i）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（2）如果

6、该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.19. 已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）证明：在区间存在唯一极大值点；（3）证明：当，20. 已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.（1）求的方程；（2）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21. 若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质（1）判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）（2）已知集合（）具有性质（）求；（）证明：北京市门头沟区2022届高三上期末调研数学试题一、选择题（本大题

7、共10个小题，每小题4分，共40分）1. 复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数的除法法则计算【详解】故选：A2. 集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合，然后根据集合的交集运算求得答案.【详解】,故，故选：C.3. 在的展开式中，的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二项展开式通项公式得的项数后可得其系数【详解】，令，所以的系数是故选：B4. “角的终边关于轴对称”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据命题的充分

8、必要性分别判断即可.【详解】由角的终边关于轴对称，可知，即成立，当时，角的终边关于轴对称或，所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件，故选：A.5. 下列函数中，在为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D【详解】解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确故选：D6. 如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正

9、方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，如图，因为为所在棱中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，故平面，故B选项正确；对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故错误；对于D选项，同A选项，可判断平面.故选：C7. 等差数列的公差，数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，由与关系求得，再根据是等比数列求得结论【详解】解：设，则，当时，又，所以，

10、所以，故选：C.8. 点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解.【详解】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离：.故选:B.9. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可转化为函数与函数有两个焦点，进而可得参数范围.【详解】解：由指对函数性质可知，可转化为函数与函数有二个不同交点，当

11、时，不合题意；当时，有两个解，设函数，令，解得，所以函数在单调递增，则单调递减，所以，又，且当时，所以，故选：C. 10. 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分若报价低于基准价15%以上（不含15

12、%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分在某次招标中，若基准价为1000（万元）甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A. 73，75.4B. 73，80C. 74.6，76D. 74.6，75.4【答案】A【解析】【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元

13、），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.）11. 双曲线的一条渐近线为，则的焦距为_【答案】【解析】【分析】根据题意双曲线的一条渐近线为求出，即可求出答案.【详解】双曲线的渐近线为，由于双曲线的一条渐近线为，故.的焦距为.故答案为：.12. 已知为平面上的动点，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】设，然后由题意直接列方程求解详解】设，则，因为，所以，化简得，所以动点的轨迹方程为故答案为：13. 函数的图像向左平移_个长度单位得到函数

14、的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为_【答案】 . . 【解析】【分析】由平移变换得出第一空，根据正弦函数的单调性得出第二空.【详解】函数的图像向左平移个长度单位得到函数的图象，因为，化简得，所以函数在上单调递增，所以，故的最大值为.故答案为：；14. 在梯形中，是的中点，则= _【答案】14【解析】【分析】把看成基底，将用基底表示，然后利用数量积运算律求解即可【详解】因为是的中点，所以，因为，所以，故答案为：1415. 已知函数为奇函数，且，当时，给出下列四个结论： 图像关于对称 图像关于直线对称在区间单调递减其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】由题知函数为周期函数，周期

15、为，再根据函数性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：函数为奇函数得：所以图像关于对称；因，所以，所以根据周期性得图像关于对称，正确，因为，所以，即，所以，即图像关于直线对称，正确；所以，所以不正确；因为当时，为单调递增函数，因为图像关于直线对称，在上单调递减，所以由周期性得在区间单调性与上的单调性相同，所以在区间单调递减，正确.所以，正确题目的顺序号为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明.）16. 在中，.（1）求；（2）若，从条件、条件、条件中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值.条件：条件： 条件：注：如果选择的条件不符合要求，第

16、（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，可求答案；（2）选条件，答案不唯一，不符合题意；选条件，利用正弦定理可求得 , 再用正弦定理求得答案； 选条件，可先求 ,再求,最后用正弦定理求c.【小问1详解】由正弦定理得,即,因为 ， ,所以;【小问2详解】选条件,则，,故 或，存在但不唯一确定，故不符合题意；选条件由正弦定理得：,存在并唯一确定，故,所以，选条件，存在并唯一确定，所以，故.17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，分别为，的中点（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求二面角

17、的余弦值；（3）求点到平面的距离【答案】（1），理由见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）作辅助线，证明四边形为平行四边形，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标以及相关向量坐标，利用向量的夹角公式求得答案;（3）根据空间距离的向量求法求得答案.【小问1详解】连结，因为分别是，的中点，所以又因为，所以，所以四边形为平行四边形，故;【小问2详解】由已知两两垂直，以D为坐标原点，以DA,DC,DP分别为x,y,z轴，建立如图所示坐标系，则 设平面法向量为，即 ，故令 ，可取，平面的法向量为，故，所以二面角的余弦值为；【小问3详解】因为，设点到平面的距离为，则.18. 第24届冬季

18、奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（1）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛（i）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（2）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望.【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析， （2）0.2【解析】【分析】（1）（i）用古典概型求解；

19、（ii)可取0，1，2用古典概型求概率即可.（2）两人中优秀的人数服从二项分布，利用公式即可.【小问1详解】（）20名学生中随机抽取两名学生共有，设恰好2名学生都来自同一班级共有，.（）可取0，1，2，的分布列为：012的期望，【小问2详解】可取0，1，2，所以.19. 已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）证明：在区间存在唯一极大值点；（3）证明：当，【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，求出在处的导函数值和函数值，即可求出答案.（2）对函数进行求导，由零点存在性定理即可得以证明.（3）由（2）知函数单调性，求出，即可得以证明【小问1

20、详解】，得切线方程为【小问2详解】由（1）得，时，时，单调递减，由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，且当，所以，在区间存在唯一极大值点【小问3详解】由（2）可知，在区间上单调递增，在单调递减，所以，当时，当时，当，20. 已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.（1）求的方程；（2）设直线与分别相交于两点，直线与相交于点试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1） （2）点恒在定直线上【解析】【分析】(1)由 求出椭圆的标准方程；(2)分类讨论，当时，利用相交弦求出直线与椭圆的交点，进而可以得到直线、，再求交点P的坐

21、标；当时，利用韦达定理，假设点在直线上，再求点P的坐标.【小问1详解】由题意得：椭圆的焦点在x轴上，故C的方程为；【小问2详解】若，则与椭圆相交于.直线：，直线由椭圆的对称性若可得交点为当时，点恒在定直线上若时，设交点为，由韦达定理得：（1）直线：与定直线相交于，得同理直与直线相交于，得把(1)式代入得，当时，点恒在一条定直线上综上所述，当变化时，点恒在一条定直线上.21. 若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质（1）判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）（2）已知集合（）具有性质（）求；（）证明：【答案】（1）集合具有性质；集合不具有性质； （2）（）；（）证明见解析.【解析】【分析】(1)判断集合是否具有性质P，只要找出一个反例就可以说明不具备性质P；(2)（）由积为零，可以得到至少有一个因式为零；（）找出与的关系即可.【小问1详解】集合具有性质；集合不具有性质，只需要找到一个反例即可，如 【小问2详解】（）取，由题知，存在（），使得成立，即，又，故必有又因为，所以（）由（）得，当时，存在（）使得成立，又因为，故，即所以又，所以，故，相加得：，即