1、北京市顺义区2022届高三上期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 在复平面内,复数 对应的点位于()A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 集合,则( )A. B. C. D. 3. 下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是( )A. B. C. D. 4. 已知,且则向量夹角的余弦值为( )A. B. C. D. 5. 在等差数列中,则( )A. B. C. D. 6. 设,则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知过的平面与正方体相交,分别交棱,于,.则下列关于截面的
2、说法中,不正确的是( )A. 截面可能是矩形B. 截面可能是菱形C. 截面可能是梯形D. 截面不可能是正方形8. 已知两点,若直线上存在点P,使得成立,则称该直线为“单曲直线”.下列直线中,“单曲直线”是( ); ;A. B. C. D. 9. 如图,是全等的等腰直角三角形,为直角顶点,三点共线.若点分别是边上的动点(不包含端点).记,则( )A. B. C. D. 大小不能确10. 为弘扬传统文化,某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节,规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4,3,2,1分,四个环节结束后
3、统计总分.若总分第一名获得14分,总分第二名获得13分.有下列结论:总分第三名不超过9分;总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分;总分第四名不超过6分;总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中,所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5道小题,每题5分,共25分,把答案填在答题卡上.11. 函数定义域为_.12. 展开式中的系数为_.(用数字作答)13. 将直线绕着点按逆时针方向旋转,得到直线.则的倾斜角为_,的方程是_.14. 若实数满足,则使得成立一个的值是_.15. 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,乘坐出租车往往不能
4、沿直线到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中,定义为两点、之间的“出租车距离”.给出下列四个结论:若点,点,则;到点“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是;若点,点是抛物线上的动点,则的最小值是;若点,点是圆上的动点,则的最大值是.其中,所有正确结论的序号是_.三、解答题共6道题,共85分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. 如图,在长方体中,点在线段AB上.(1)证明: ;(2)当点是AB中点时,求与平面所成角的大小.17. 在中,.(1)求大小;(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,判断是否存在,若不存在,说明理由;若存在,求
5、出的面积.条件:;条件:;条件:成等差数列.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18. 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动,共有两种农产品供选择,每人只购其中一种.大家约定:每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2,购买农产品A,若掷出点数大于2,则购买农产品B.(1)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率;(2)用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.19. 已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.20. 已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆的方程;(
6、2)点在直线上,点关于轴的对称点为,直线、分别交椭圆于、两点(不同于点).求证:直线过定点.21. 数列:满足,称为数列的指数和.(1)若,求所有可能的取值;(2)求证:的充分必要条件是;(3)若,求的所有可能取值之和.北京市顺义区2022届高三上期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 在复平面内,复数 对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】,复数 对应的点位于第二象限故选B点睛:复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式2. 集合,则( )A. B. C. D. 【答案】
7、B【解析】【分析】解出集合B,根据集合的交集运算即可.【详解】,.故选:B.3. 下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项,函数为奇函数,且该函数在上单调递减,A不满足要求;对于B选项,函数为非奇非偶函数,且该函数在上单调递增,B不满足要求;对于C选项,函数为非奇非偶函数,且该函数在上单调递增,C不满足要求;对于D选项,函数为奇函数,且该函数在上单调递增,D满足要求.故选:D.4. 已知,且则向量夹角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
8、分析】由向量的垂直关系及模长可得,即可求夹角的余弦值.【详解】由题设,所以.故选:A5. 在等差数列中,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出等差数列的公差,进而可求得的值.【详解】由题意可知,等差数列的公差为,因此,.故选:A.6. 设,则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式,再利用充分条件、必要条件的定义即可求解【详解】,解得或,故“或”是“”的必要而不充分条件,故选:B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义,同时考查了分式不等式的解法,属于基础题,7.
9、 已知过的平面与正方体相交,分别交棱,于,.则下列关于截面的说法中,不正确的是( )A. 截面可能是矩形B. 截面可能是菱形C. 截面可能是梯形D. 截面不可能是正方形【答案】C【解析】【分析】选过特殊点(中点、对角顶点)且含体对角线的平面截取正方体,根据正方体的性质及结构特征、勾股定理分析各选项的正误即可.【详解】如下图,当分别与对角顶点重合时,显然是矩形;如下图,当,为,的中点时,显然是菱形,由正方体的性质及勾股定理易知:不可能为正方形;根据对称性,其它情况下为平行四边形;综上,C不正确.故选:C.8. 已知两点,若直线上存在点P,使得成立,则称该直线为“单曲直线”.下列直线中,“单曲直线
10、”是( ); ;A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知点在以为焦点的双曲线的右支上,问题等价于直线和该双曲线右支有交点,求出双曲线方程,联立直线方程和双曲线方程,判断根的情况即可得答案.【详解】,点在以为焦点的双曲线的右支上,设双曲线标准方程为:(a0,c0),则即,其标准方程为:.对于,联立和可得:,不是单曲直线;对于,联立和可得:,是单曲直线;对于,是的一条渐近线,不是单曲直线;对于,联立和可得:,且方程两根之积为32,方程有一正根,是单曲直线.故选:D.9. 如图,是全等的等腰直角三角形,为直角顶点,三点共线.若点分别是边上的动点(不包含端点).记,则( )A. B.
11、 C. D. 大小不能确【答案】B【解析】【分析】构建直角坐标系,根据题意设,再应用向量数量积的坐标运算求m、n,即可比较大小.【详解】构建如下图示直角坐标系,令,所以,可设,且,则,所以.故选:B.【点睛】关键点点睛:构建直角坐标系,设点坐标,应用向量数量积坐标运算求m、n的值或范围,比较它们的大小.10. 为弘扬传统文化,某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节,规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4,3,2,1分,四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分,总分第二名获得13分.有下列结论:总分第三
12、名不超过9分;总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分;总分第四名不超过6分;总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中,所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设条件进行推理分析知:第三、四名的总分为13分,第四名总分不可能超过6分,结合第一、二名的环节名次,即可确定正确的项.【详解】由题设,第一名14分,则2个环节第一,2个环节第二、3个环节第一,1个环节第三;第二名13分,可能名次1个环节第一,3个环节第二、2个环节第一,1个环节第二,1个环节第三、3个环节第一,1个环节第四;所以,第一名与第二名各环节组合情况如下:1、第一名2个环节第一,
13、2个环节第二,第二名2个环节第一,1个环节第二,1个环节第三;2、第一名3个环节第一,1个环节第三,第二名1个环节第一,3个环节第二;综上,第三名最好成绩为1个环节第二,3个环节第三,即最高分为9分,故正确,错误;由上分析知:除去第一、二名的得分,第三、四名的总分为13分,所以第四名总分不可能超过6分,若第四名某一个环节的比赛中拿到3分,则1个环节第二,3个环节第四,共6分;此时第三名3个环节第三,1个环节第四,共7分,满足题意,正确;故选:C第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5道小题,每题5分,共25分,把答案填在答题卡上.11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】列出使解
14、析式有意义的不等式组,求出解集即可.【详解】函数,解得,函数的定义域为.故答案为【点睛】本题考查函数的定义域,考查对数函数和二次根式的性质.1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围,求函数定义域的步骤:(1)写出使函数有意义的不等式(组);(2)解不等式(组);(3)写出函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出)2、求函数定义域的主要考虑如下:(1)不为零:即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零;(2)非负:即偶次方根的被开方式其值非负;(3)大于零:对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.(4)特殊位置:正切函数,(5)实际问题或几何问题:除要考虑解析式有意义外,还应考虑
15、使实际问题或几何问题有意义;(6)复合函数定义域,本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域;(7)组合函数:取各个基本函数定义域的公共部分.12. 展开式中的系数为_.(用数字作答)【答案】10【解析】【分析】先写出二项展开式的通项公式,然后结合“的系数”,找出指数为1时,即可求出系数.【详解】展开式的通项公式为 ,令 解得 ,故展开式中的系数为 .故答案为:1013. 将直线绕着点按逆时针方向旋转,得到直线.则的倾斜角为_,的方程是_.【答案】 . # . 【解析】【分析】先求出直线倾斜角为45,从而求出直线的倾斜角为,斜率为,故求出直线的方程.【详解】直线的倾斜角为45,所以直线
16、的倾斜角为,斜率为,所以直线方程为,即故答案为:,14. 若实数满足,则使得成立的一个的值是_.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】先求出的取值范围,进而取得一个合适的值即可.【详解】由得:,所以,解得:或,故取即可,答案不唯一故答案为:15. 城市许多街道是相互垂直或平行的,因此,乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中,定义为两点、之间的“出租车距离”.给出下列四个结论:若点,点,则;到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是;若点,点是抛物线上的动点,则的最小值是;若点,点是圆上的动点,则的最大值是.其中,所有正确结论的序号是_.
17、【答案】【解析】【分析】利用题中定义可判断;作出平面区域并计算平面区域的面积可判断;利用题中定义以及二次函数的性质可判断;设点,利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断.【详解】对于,对;对于,设点满足,即.对于方程,当,时,;当,时,;当,时,;当,时,.作出集合所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示:平面区域是边长为的正方形,该区域的面积为,错;对于,设点,则,令.当时,当时,;当时,;当时,.综上所述,对;对于,设点,则,所以,的最大值是,对.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查曲线中的新定义,在判断时,要注意去绝对值,结合二次函数的基本性质求解;在判断时,在涉及圆或椭圆上的点
18、相关的最值问题时,可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示,利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解,简化计算.三、解答题共6道题,共85分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. 如图,在长方体中,点在线段AB上.(1)证明: ;(2)当点是AB中点时,求与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)连结,则,由已知可得四边形是正方形,所以,再利用线面垂直的判定定理可得平面,从而可得,(2)以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解【小问1详解】连结,因为在长方体中所以有平面,平面,所以,又因为,所以四边形是正方
19、形,所以,又,所以平面,所以又平面,所以;【小问2详解】以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则各点坐标为,当点是AB中点时,可得,所以, 设为平面的一个法向量,则,即,令,可得所以 又,所以,设与平面所成角为,则 即,所以与平面所成的角为.17. 在中,.(1)求的大小;(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,判断是否存在,若不存在,说明理由;若存在,求出的面积.条件:;条件:;条件:成等差数列.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1) (2)选:ABC存在,此时;选:ABC不存在;选:ABC存在,此时.【解析
20、】【分析】(1)利用正弦定理得到,进而求出的大小;(2)选:结合第一问可求出,得到ABC存在,利用面积公式求出答案;选:利用余弦定理可得到,故ABC不存在;选:利用余弦定理可得:,结合,得到ABC存在,利用面积公式得到答案.【小问1详解】因为,由正弦定理 可得 所以, 即,又,所以;【小问2详解】选择条件:由(1)知,所以,故,因为,所以,所以,此时存在,因为,所以又因为 所以 选择条件:因为,由余弦定理可得,又所以可得, 又由条件:,可得:,所以, 又,所以可得,这与在中,矛盾故此时不存在选择条件:成等差数列因为成等差数列,所以,因为,所以又由余弦定理可得, 化简得 联立方程组,可解得:或(
21、舍),又,所以可知为等边三角形,此时存在,所以.18. 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动,共有两种农产品供选择,每人只购其中一种.大家约定:每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2,购买农产品A,若掷出点数大于2,则购买农产品B.(1)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率;(2)用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1) (2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)由题可知购买农产品的概率为,购买农产品的概率为,然后由独立事件的概率公式求解即可,(2)用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,则由题意可
22、得可取,可取,然后求出各自对应的概率,而由可知,的可能取值为,从而可求出其对应的概率,进而可得的分布列与数学期望【小问1详解】由题可知购买农产品的概率为,购买农产品的概率为,设事件为4人中恰有1人购买农产品,依题可知,4人是否购买农产品相互独立,互不影响所以;【小问2详解】用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数,则可取,可取, 当时,表示4人全部购买产品,概率,当时,表示4人中恰有1人购买农产品,概率, 当时,表示4人中恰有2人购买农产品,概率,当时,表示4人中恰有3人购买农产品,概率,当时,表示4人中全部购买农产品,概率,所以由可知,的可能取值为 当时,对应的概率, 当时,对应的概率,当
23、时,对应的概率 所以随机变量的分布列为所以,数学期望.19. 已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)当时,求导可得,再结合切线的几何意义,即可求解(2)设,则,再利用导数研究函数的单调性,分和两种情况讨论,即可求解【小问1详解】解:当时,函数,定义域为, 又,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即;【小问2详解】解:若在上恒成立,即在上恒成立,可令,则,令,可解得,当时,即时,在上恒成立,所以在上单调递增,又,所以恒成立,即时,在上恒成立,当,即时,在上单调递减,在上单调递增,此时,又,即,不满足恒成立,故
24、舍去,综上可知:实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数分类讨论求函数的单调区间,考查了不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想.20. 已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆的方程;(2)点在直线上,点关于轴的对称点为,直线、分别交椭圆于、两点(不同于点).求证:直线过定点.【答案】(1); (2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件求出、的值,即可得出椭圆的方程;(2)分析可知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出直线、的方程,可求得点、的纵坐标,根据可得出、所满足的等式,再化简直线的方程,即可求得直线所过定点
25、的坐标.【小问1详解】解:依题意可得,可得,所以椭圆方程为.【小问2详解】解:因为、两点不同于点,所以直线斜率一定存在,且,可设直线的方程为,设、,其中且,联立方程组消去,化简可得,则,所以,又,所以,所以直线方程为,直线方程为,令得,因为和关于轴对称,所以,即,又代入上式,整理可得,即,化简可得,所以,直线的方程为,即,所以,直线过定点.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得
26、到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21. 数列:满足,称为数列的指数和.(1)若,求所有可能的取值;(2)求证:的充分必要条件是;(3)若,求的所有可能取值之和.【答案】(1); (2)证明见解析; (3).【解析】【分析】(1)由题设,根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.(2)结合反证思想,从充分性、必要性两方面证明即可(3)由(2)分析知,则有中不同取值方式,进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数,即可确定可能取值之和.【小问1详解】由题设,又,所以当时,;当中有两个,一个1,则可能值为1, -3, -5;当中有一个,两个1,则可能值为-1,3,5;当时,;综上,.【小问2详解】证明充分性:当时,可得;证明必要性:当时,用反证法,假设,则矛盾.从而;所以的充分必要条件是,得证.【小问3详解】当时,由(2)知:,反之亦然.当时,有中不同取值方式,其中与,与,与在所有指数和中出现的总次数都是种,因此这些项对指数和的总贡献为零,另一方面,在所有指数和中出现次,从而所有指数和之和为 .【点睛】关键点点睛:第三问,注意第二问结论的应用,易知有中不同取值方式,而其中任一项确定,都对应种其余项的组合,又即所有可能值中该项抵消,而只有所在项出现次,即可求和.