1、北京市通州区2021-2022学年高一下期末质量检测数学试卷一选择题共10小意，每小题4分，共40分.1. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某市6月前10天空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（ ）A. 85B. 85.5C. 86D. 98.54. 如图，在长方体中，则下列结论正确的是（ ）A. 点平面B. 直线平面C. 直线与直线是相交直线D. 直线与直线是异面直线5. 抛掷一颗
2、质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）A. B. C. 与互斥D. 与互为对立6. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（ ）A. B. C. D. 7. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8. 如图，在长方体中，则下列结论：直线与直线所成的角为；直线与平面所成的角为；平面与平面所成二面角为；平面与平面所成的二面角为直二面
3、角.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 向量与能构成一组基底10. 在中，角A，B，C所对边分别为，的角平分线交于点D，则（ ）A. B. C. D. 二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 某单位共有职工人，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为_.12. 已知（其中i为虚数单位），则_；_.13. 如图，在正方体中，则四棱锥的表面积为_；若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为_.14. 小李同学一周
4、的总开支分布如下表所示，一周的食品开支如下图所示，则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为_.占比日常娱乐食品通信储蓄其他15. 如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率；“两个点数之和是5”；“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.17. 如图，在正方体中，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线和平
5、面所成的角.18. 如图，在三棱维中，平面平面.（1）求证：；（2）求证：平面.19 已知点.（1）求；（2）若点M满足，求M的坐标；（3）若点N满足，且，求的值.20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，过点A的平面与棱分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）.（1）求证：平面平面；（2）若平面，（i）求的值；（ii）求三棱锥的体积.21. 小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲概率为，小明胜乙的概率为，甲胜乙的概率为，比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的
6、比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲乙比赛）.（1）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；（2）请帮助小明进行第一局的决策，使得小明最终成为获胜者的概率最大，说明理由.北京市通州区2021-2022学年高一下期末质量检测数学试卷一选择题共10小意，每小题4分，共40分.1. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求即可.【详解】向量，且， ，解得：.故选：D.2. 已知复数（其
7、中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算，再确定所在复平面的象限.【详解】因为，所以在复平面对应的点位于第四象限.故选：D.3. 某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（ ）A. 85B. 85.5C. 86D. 98.5【答案】C【解析】【分析】按照求解百分位数的流程，先计算出，故选取第8个数作为第75百分位数.【详解】，故从小到大排列后，35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，
8、 取第8个数作为第75百分位数，第8个数是86，故选：C4. 如图，在长方体中，则下列结论正确的是（ ）A. 点平面B. 直线平面C. 直线与直线是相交直线D. 直线与直线是异面直线【答案】D【解析】【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答.【详解】在长方体中，直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确；点平面，点平面，即直线平面，B不正确；直线平面，则与平面无公共点，直线平面，所以直线与直线没有公共点，C不正确；直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面，则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行，因此直线与直线是异面直线，D正确.故选：D5. 抛掷一颗质地均匀的骰子，
9、有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）A. B. C. 与互斥D. 与互为对立【答案】B【解析】【分析】利用事件的关系与运算判断A，B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C，D作答.【详解】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确；事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确；事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确；事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确.故选：B6. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色
10、球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】给4个球编号，利用古典概率公式借助列举法计算作答.【详解】记1个白色球为A，3个黑色球为b，c，d，依题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球的概率问题，相当于随机摸出两个球的概率问题，从袋中随机摸出两个球的试验的不同结果是：Ab，Ac，Ad，bc，bd，cd，共有6个，两个球都是黑色球的事件含有的结果为：bc，bd，cd，共有3个，所以两个球都是黑色球的概率是.故选：C7. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若
11、，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系即可逐一判断.【详解】若,则可能平行，可能异面，故A错误；根据平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行于平面，故B正确，则或，故C错误，不一定垂直于，故D 错误，故选：B8. 如图，长方体中，则下列结论：直线与直线所成的角为；直线与平面所成的角为；平面与平面所成的二面角为；平面与平面所成的二面角为直二面角.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】对于，由，则直线与直线所成角与直线与直线所成的角相等，即，利用锐角三角函数计算即可；对于，由平面，得到直线与平面所成的角为，再利
12、用锐角三角函数计算即可； 对于，知平面，由线面垂直的性质得 ，从而得到平面与平面所成的二面角为，计算即可； 对于，知平面，由面面垂直的判定定理得到 平面平面，即可得出结论.【详解】对于，由题意得，则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等，即，在长方体中，所以，因为，所以，即直线与直线所成的角为，故正确；对于，在长方体中，平面，所以直线与平面所成的角为，因为，所以，则直线与平面所成的角为，故正确；对于，在长方体中，平面，平面，平面，所以，又因为平面平面，所以平面与平面所成的二面角为，由得，则平面与平面所成的二面角为，故错误；对于，在长方体中，平面，平面，所以平面平面，则平面与平面所成的二面角
13、为直二面角，故正确；故选：C.9. 如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 向量与能构成一组基底【答案】A【解析】【分析】由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项.【详解】对于A，由正六边形的性质可知，所以，故A正确；对于B，由正六边形的性质可知，从而可知与不可能共线，故B不正确；对于C，故C不正确；对于D，由正六边形的性质可知与平行，故向量与不能构成一组基底，故D不正确.故选：A10. 在中，角A，B，C所对的边分别为，的角平分线交于点D，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积相等，即可求解.【详解】解：如图所示
14、，,即即，故选：D.二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 某单位共有职工人，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为_.【答案】【解析】【分析】利用分层抽样可计算得出从高级职称中抽取的人数.【详解】设高级职称中抽取的人数为，则，解得.故答案为：.12. 已知（其中i为虚数单位），则_；_.【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据复数相等以及复数的模，即可求解.【详解】解：，所以，所以，故答案为：2；.13. 如图，在正方体中，则四棱锥的表面积为_；若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为_.【答案】 .
15、# . 【解析】【分析】由四棱锥的结构特征求出各个面的面积作答，求出正方体外接球半径即可计算得解.【详解】在正方体中，平面，平面，平面，因此，在四棱锥中，而，所以四棱锥的表面积；正方体外接球O的直径是正方体的体对角线长，则球O的半径，所以球O的体积为.故答案为：；14. 小李同学一周的总开支分布如下表所示，一周的食品开支如下图所示，则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为_.占比日常娱乐食品通信储蓄其他【答案】20%【解析】【分析】利用条形图求出蔬菜开支占食品开支的比例，再结合数表即可求解作答.【详解】由条形图知，小李同学一周的蔬菜开支占食品开支的比例是：，而一周的食品开支占总开支的百分比
16、60%，所以小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比为：.故答案为：20%15. 如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是_.【答案】【解析】【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，在正方体中，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个， 点F的个数是个.故答案为：.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（
17、标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率；“两个点数之和是5”；“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.【答案】（1），是古典概型； （2）；.【解析】【分析】（1）确定试验每个样本点的构成，写出样本空间，再判断样本空间的样本点个数及是否等可能作答.（2）用列举法分别写出事件A，B所含样本点，再由古典概率公式计算作答.【小问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果，用数字表示一号骰子出现的点数，用数字表示二号骰子出现的点
18、数，则数组表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为：，样本空间共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型.【小问2详解】由（1）知，事件A所含样本点为：，共4个，所以；事件B所含样本点为： ，共15个，所以.17. 如图，在正方体中，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线和平面所成的角.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定可证明；（2）先证明线线垂直，从而可得线面垂直；（3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可.【小问1详解】证明：因为在正方体中，可知,而平面，平面，
19、所以平面.【小问2详解】证明：因为在正方体中，可知平面，且平面，所以，又因为、是正方形的对角形，因此，又，且平面，所以平面.【小问3详解】设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形，设正方体棱长为2，可得，所以，因此直线和平面所成的角为.18. 如图，在三棱维中，平面平面.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理作答.（2）在平面内过点A作于，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答.【小问1详解】在三棱维中，因，平面，于是得平面，而平面，所以.【小问2详解】在平面内过点A作于，
20、如图，因平面平面，平面平面，则有平面，而平面，于是得，由（1）知，平面，所以平面.19. 已知点.（1）求；（2）若点M满足，求M的坐标；（3）若点N满足，且，求的值.【答案】（1）16 （2） （3）当时， ，当时， 【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示，即可求解.(2) 根据向量的坐标加减法，即可求解.(3)根据向量的数量积和模的坐标表示，即可求解.【小问1详解】解：【小问2详解】解：设，即,得.【小问3详解】解：设,得，解得或，当时，得，解得当时，得，解得20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，过点A的平面与棱分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）.（1）求证
21、：平面平面；（2）若平面，（i）求的值；（ii）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定证明平面，可得平面平面 （2）（i）由题意可得，再得是的中点，所以 （ii）根据平面，可得，进一步可得，再求得到平面的距离从而可得体积【小问1详解】因为平面，且平面，所以因为为正方形，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面小问2详解】（i）连接因为 平面，所以 由，及为正方形，可得，因此，所以 是的中点 所以 （ii）由题意，可得，从而可知为直角三角形，且，又因为平面，可得，因此可得，所以，即，所以.设到平面的距离为，根据底面，从而有
22、，所以21. 小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲的概率为，小明胜乙的概率为，甲胜乙的概率为，比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲乙比赛）.（1）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；（2）请帮助小明进行第一局的决策，使得小明最终成为获胜者的概率最大，说明理由.【答案】（1）； （2
23、）小明与乙比赛，理由见解析.【解析】【分析】（1）把“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可计算作答.（2）按第一局比赛双方分成3种情况，分别计算出小明最终成为获胜者的概率，再比较大小作答.【小问1详解】第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”事件A，第一局甲胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件，第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件，事件与互斥，,，则有，所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是.【小问2详解】第一局小明与甲比赛，小明最终成为获胜者的事件，是以下3个互斥事件的和：小明胜甲，小明胜乙的事件；小明胜甲，乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲的事件；甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙，小明胜甲的事件，第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的事件，是以下3个互斥事件的和：小明胜乙，小明胜甲的事件；小明胜乙，甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙的事件；乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲，小明胜乙的事件，第一局由甲与乙比赛，小明最终成为获胜者，只能是小明连胜两局，由（1）知小明最终成为获胜者的概率是，显然，所以第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的概率最大.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
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