1、专题六 数列一、单项选择题1.（威海5月模拟3）3. 等差数列的前n项和为，若，则公差( )A. 1B. C. 2D. 2.（淄博二模3）已知an为等比数列，Sn为其前n项和若2S3a2+a3+a4，则公比q（）ABC1D23.（菏泽二模7）已知数列中，且对任意的m，都有，则下列选项正确的是（ ）A. 的值随n的变化而变化B. C. 若，则D. 为递增数列4.（泰安三模7）已知数列满足：对任意的m，都有，且，则（ ）A. B. C. D. 5.（日照三模7）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）A. 14B. 34C. 41D. 866.（济南二模8）已知数列，其中每一项的分
2、子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）A. 47B. 48C. 57D. 587.（日照二模8）8. 设.若 ，则数列 .A. 递增B. 奇数项增，偶数项减C. 递减D. 偶数项增，奇数项减二、多项选择题8.（潍坊三模9）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）A. 数列为等差数列B. 对任意正整数，C. 数列一定是等差数列D. 数列一定是等比数列9.（烟台适应性练习一、枣庄
3、三模12）给出构造数列一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 10.（烟台适应性练习二11）将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解当，是正整数的最佳分解时，定义，例如，则对于数列，以下结论正确的是ABC其前20项和为D其前20项和为11.（日照二模12）已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）A. B. C. 若，则
4、D. 12.（济宁三模12）已知正项数列的前项和为，若，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）A. 是等差数列B. C. D. 满足的的最小正整数解为13.（潍坊二模12）已知数列，有，则A若存在，则B若，则存在大于2的正整数n，使得C若，且，则D若，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列14.（淄博二模12）记x表示与实数x最接近的整数，数列an通项公式为an（nN*）其前n项和为Sn.设k，则下列结论正确的是（）ABCnk2k+1DS202188三、填空题15.（泰安二模13）已知数列是公差大于0的等差数列，且，成等比数列，则_16.（德州三模14）设是等差数列的前项和，若，则_.1
5、7.（青岛二模15）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则18.（聊城三模15）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计_年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，） 19.（滨州二模16）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，的通项公式为_，编码99共出现_次11111112345613579111471013161591317211
6、61116212620.（聊城二模16）已知数列，当时，则数列的前项的和为_21.（济宁二模16）已知数列满足：，其中若，则使得成立的最小正整数为 四、解答题22.（枣庄二调17）已知是等比数列的前项和（1）求及；（2）设，求的前项和23.（潍坊三模17）在数列为等差数列，且，正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：已知数列的前项和为，且_？（1）求数列通项公式；（2）若数列的前项和为，求注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分24.（淄博二模17）在S550，S1，S2，S4成等比数列，S63（a6+2）这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题问题
7、：已知等差数列an的公差为d（d0），前n项和为Sn，且满足 _（1）求an；（2）若bnbn12an（n2），且b1a11，求数列的前n项和Tn25.（日照二模17）已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式；从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.26.（烟台适应性练习二18）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列（1）求数列， 的通项公式；（2）令，求数列的前项和27.（临沂二模17）已知数列的前n项和为，（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前n项和28.（烟台适应性练习一、
8、枣庄三模17）已知正项数列的前项和为，且、成等比数列，其中（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和29.（泰安三模18）已知数列的前n项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由30.（泰安二模18）已知数列单调递增，其前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为31.（德州二模17）已知数列的首项，且满足（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求的前n项和32.（山东省实验中学5月模拟17）设数列的前项和为，数列满足，点在直线上，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和
9、.33.（聊城二模17）已知数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，求数列的前项和34.（菏泽二模19）已知数列中，它的前n项和满足（1）证明：数列为等比数列；（2）求35.（威海5月模拟17）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，记（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：36.（济南三模18）已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求证：37.（临沂三模18）已知数列的前n项和分别是，若（1）求的通项公式；（2）定义，记，求数列的前n项和38.（济宁三模18）已知等差数列前项和为，且，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（
10、2）记，求数列的前项和.39.（德州三模18）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式和前项和；（2）设，数列的前项和记为，证明：.40.（潍坊二模19）已知正项数列的前项和为，且，数列满足(1)求数列的前项和，并证明是等差数列；(2)设，求数列的前项和41.（日照三模20）已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，（1）若，求；（2）已知，且对任意恒成立，求数列的前n项和42.（济宁二模20）已知数列满足，（1）设，证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和43.（聊城三模18）设数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前1
11、5项的和.44.（滨州二模19）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，（1）求数列和的通项公式；（2）令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、第3n项、余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和45.（青岛二模18）已知等比数列为递增数列，是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若项数为的数列满足：，2，3，我们称其为项的“对称数列”例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”设数列为项的“对称数列”，其中，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于记数列的前项和为，若，求46.（济南二模20）已知是递增的等差数列，分别为等比数列的前三项
12、.（1）求数列和的通项公式；（2）删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.参考答案专题六 数列一、单项选择题1.【答案】B【解析】由题可知故选：B2.【答案】D【解析】因为an为等比数列，2S32（a1+a2+a3）a2+a3+a4，所以2a1+a2+a3a4，即2a1+qa1+q2a1q3a1，因为a10，所以q3q2q20，即（q2）（q2+q+1）0，所以q2故选：D3.【答案】D【解析】因为对任意的m，都有，所以令，得，故A不正确；所以，所以，所以B不正确；若，则，故C不正确；，所以为递增数列，故D正确.故选：D.4.【答案】C【解析】因为对
13、任意的m，都有，所以，又，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C.5.【答案】C【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以 又因为数列为等差数列，所以公差，所以，所以，解得. 故选：C.6.【答案】C【解析】将数列分组为（），（，），（，），（，），设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，则 ，此时数列共有项数为 ，即得，解得 由于 ，而，故 ，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满足且的n的最小值为 ，故选：C7.【答案】B【解析】（1） ， ，因为，则 ，.（2），.而，则 .于是， ，依次类推得 .（3），则. 依此类推得.故数列奇数项增，偶数项减.
14、 故答案为B二、多项选择题8.【答案】ABC【解析】设等差数列的公差为，则，所以，.对于A选项，所以，为等差数列，A对；对于B选项，对任意的，由等比中项的性质可得，由基本不等式可得，B对；对于C选项，令，所以，故数列一定是等差数列，C对；对于D选项，设等比数列的公比为，当时，此时，数列不是等比数列，D错.故选：ABC.9.【答案】CD【解析】由题意得：，所以有，因此选项AB不正确；，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；，所以选项D正确。故选：CD10.【答案】BD【解析】根据题意，；当为奇数时，当为偶数时，；，故错误；，故正确；其前20项中奇数项和为：，其前20项中奇
15、数项和为：，其前20项和为：，故错误，正确故选：11.【答案】BCD【解析】，则，又，所以，A不正确.令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，即，又易得是递增数列，故，所以，B正确.易知是递增数列，所以，则，则，即，所以，即，所以，所以，而当时，则有，C正确.令函数，则，所以在上单调递减，所以当时，则，所以，所以，D正确. 故选：BCD.12.【答案】ACD【解析】因为，当时，解得，当时，即，整理得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，又正项数列的前项和为，所以，故A正确；当时，解得，当时，即，又，所以，因为，所以，即，故B不正确；因为，即，令，所以原不等式为：，即，令，所以，当时，恒
16、成立，所以在单调递增，所以，所以成立，故C正确；因为，所以，所以，所以，因为，即，化简整理得：，当时，当时，所以满足的的最小正整数解为，故D正确. 故选：ACD.13.【答案】A,C,D【解析】因为，an+1=an-bn，bn+1=bn-an，nN*，所以，an+1+bn+1=0，即an+1=-bn+1，所以，n2(nN*)，必有an=-bn，得到an+1=2an；对于A，若存在m1，取m=2，有a2=b2，则a2=-b2=b2=0，所以，必有b2=b1+1=b1-a1=0，则有a1=b1，同理，若m2，由am=bm可得am-1=bm-1，am-2=bm-2a2=b2，a1=b1A符合题意；对
17、于B，若a1b1，则a2=a1-b10，b20，又因为n2(nN*)，必有an=-bn，得到an+1=2an，所以当n2时，因为a20，必有an0，B不符合题意；对于C，若a1=a，a2=b，且ab，则bn=an-an+1，则b1=a1-a2=a-b，又bn+1=-an+1，所以，bn+1-bn=-an，根据递推公式，可得bn-bn-1=-an-1，b2-b1=-a1；利用累加法，bn-b1=-(a1+a2+an-1)，整理得，bn=b1-(a1+a2+an-1)=b1-(a1+a2)-(a3+an-1)=-a2-(a2+a3+an-1)又因为n2(nN*)，必有an=-bn，得到an+1=2
18、an，所以，bn=-b-b(1+2+22+2n-3)=-b-b1-2n-21-2=-b-b(2n-2-1)=-b2n-2，所以，b2022=-b22020，所以，C符合题意；对于D，若a1=-1，a2=-3，n2(nN*)，得到an+1=2an，所以，a3=2a2=-6，则关于x的方程2a3+(2a3+1)cosx+2cos2x+cos3x=0可以化为，-12+(-11)cosx+2cos2x+cos3x=0，化简得，2cos2x-7=7cosx-2cos3x，设t=cosx，可得2t2-7=7t-2t3，化简得，(t+1)(2t2-7)=0，所以，t=-1或t2=72(舍去)，cosx=-1
19、，得x=2k+，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公式为：xk=2k+，D符合题意；故答案为：ACD14.【答案】BC【解析】由题意设k，当n1时，1，1，故A错误；由|，即|k|，解得k，可得k+，故B正确；由k，可得kk+，两边平方可得k2k+nk2+k+，因为n为自然数，且k2k+不是整数，其中k2k+1是k2k+右侧的最接近的整数，所以nk2k+1成立，故C正确；当n1，2时，1，此时a1a21；当n3，4，5，6时，2，此时，a3a4a5a6；当n7，8，9，10，11，12时，3，此时，a7a8.a12；n13，14，.，20时，4，此时，a13a14.a20；.
20、，归纳可得，an中，有2个1，4个，6个，8个，.，又由2，4，6，8，.，构成首项为2，公差为2的等差数列，可得Sn（2+2n）n2+n，令n2+n2021，解得n的最大值为44，则S202112+4+6+8+.+44+4144+，故D错误故选：BC三、填空题15.【答案】20【解析】设公差为，则，即，化简得，解得或，又，故，则. 故答案为：20.16.【答案】7【解析】设等差数列的公差为d， ， ， ， ，故答案为：7.17.【答案】【解析】由图可知第5行第6列数为所以故答案为：18.【答案】2036【解析】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，其中，由题意得，并且， 设，则，则
21、0.2x100，则x500，即数列是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：203619.【答案】 . . 6【解析】设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，为，因为，将以上个式子相加，可得；由编码观察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，则第行的第个数为，令，则，所以，或，或，或，或，或，所以99共出现6次故答案为：；6.20.【答案】【解析】当时，共项，当时，共项，当时，共项，当时，共项，又因为，所以，数列的前项的和为，记，则，上述两个等式作差可得，所以，因此，数列的前项的和为.故答案
22、为：.21.【答案】121【解析】因为，所以，因为，所以，即，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，则，所以，则，因为，所以，解得，所以使得成立的最小正整数为121，故答案为：121四、解答题22.【解析】（1）当时，当时，由题意得，故，（2），则，得23.【解析】（1）若选，因为为等差数列，令，则，所以公差，所以等差数列的通项公式为若选，当时，因此，即，所以为常数列，因此，所以若选，当时，即，又因为，所以.当时，有，所以，即.又因为，所以，所以为公差是2的等差数列，所以（2）若选，由（1）可知，若选，由（1）可知，若选，由（1）可知，24.【解析】（1）S5505a1+10d50a1
23、+2d10，S1，S2，S4成等比数列S22S1S4（2a1+d）2a1（4a1+6d）d2a1，S63（a6+2）6a1+15d3（a1+5d+2），选，解得a12，d4，an2+4（n1）4n2；选，解得a12，d4，an2+4（n1）4n2；选，解得a12，d4，an2+4（n1）4n2；（2）由b1a11，a12，可得b13，由bnbn12an8n4，n2，可得bnb1+（b2b1）+（b3b2）+.+（bnbn1）3+12+20+28+.+（8n4）n（4+8n4）14n21，上式对n1也成立，所以（），则Tn（1+.+）（1）25.【解析】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得
24、与的等差中项为，所以，又因为，即.所以，因为公差为正数,所以.则，则.的通项公式.结合可知，.令，即，符合题意，即.所以是数列中的项.26.【解析】（1）当时，则，当时，由，得，两式相减得，即，所以是以为首项，为公比的等不数列，所以；设等比数列的公差为，则，又，成等比数列，得，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，所以，则，两式相减得，所以27.【解析】（1）由得，.又，整理得.数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的通项公式为：.（2）由（1）得，.，即，两式相减，得，.28.【解析】（1）对任意的，由题意可得.当时，则，解得，当时，由可得，上述两个等式作差得，即，因为，所以，所以，数列为
25、等差数列，且首项为，公差为，则.（2），则，因此，.29.【解析】（1），n1时，；当时，所以，即（）数列是以2为首项，3为公比的等比数列，（2）若，有，成等差数列，则即，整理得，又k，m，且，所以，与矛盾，所以数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列30.【解析】（1）因为，所以当时，所以当时，整理得，因为数列单调递增，且，所以当时，所以当时，即所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列所以（2），所以设，则，所以所以所以31.【解析】（1）由题意得，所以，即是等比数列，则的首项为，公比为3，所以，所以（2）由（1）得：，所以，得,所以.32.【解析】（1）由可得，两式相减得，.又，所以
26、.故是首项为1，公比为3的等比数列.所以.由点在直线上，所以.则数列是首项为1，公差为2的等差数列.则.（2）因为，所以.则，两式相减得：33.【解析】（1）当时，当时，又，数列为首项为1，公比为3的等比数列，；（2）由及，可得，.34.【解析】（1）由，得，由，得，得，又当时，由得，所以对任意的，都有，故是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以，代入，得，所以35.【解析】（1）设数列的公比为，则，由题意知，可得，解得，所以，（2）证明：因为，所以36.【解析】（1）因，所以；又因为，则，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；（2）因为，所以得证37.【解析】（1）由，可得
27、所以是以为首项，以为公比的等比数列所以，即又，所以所以满足上式，所以（2）由当时，；当时，所以，所以当时，当时，综上，38.【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，当时，当时，可得，上述两个等式作差可得，也满足，故对任意的，.（2）解：由（1）可得，设，所以，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，因此，数列的前项和为.39.【解析】（1）由，得两式相减可得，因为，得数列为3，3，3，3，即，当为偶数时，；当为奇数时，；（2）由则有所以，40.【解析】（1）解：an2+2an=4Sn，an0，当n=1时，a12+2a1=4a1，a1=2或a1=0(舍)，当n2时，an-12+2a
28、n-1=4Sn-1，：an2-an-12+2an-2an-1=4an，(an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1)，an0，an-an-1=2(n2)，an是以2为首项，2为公差的等差数列，an=2n，bn=(-2)n，数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，Bn=-21-(-2)n1-(-2)=-23+(-1)n2n+13Bn+2+Bn+1=-43+(-1)n+22n+33+(-1)n+12n+23=-43+(-1)n+12n+2(-2+1)3=-43+2(-1)n2n+13=2Bn，Bn+1，Bn，Bn+2成等差数列（2）解：cn=(-1)n2n+(-2)n=(-2)n+2(
29、-1)nn，当n为偶数时，Tn=(-2)1+(-2)2+(-2)n+2-1+2-3+4+-(n-1)+n=-21-(-2)n1-(-2)+2(-1+2)+(-3+4)+(-n+1+n)=-2+2n+13+2n2=2n+13+n-23当n为奇数时，Tn=(-2)1+(-2)2+(-2)n+2-1+2-3+4+(n-1)-n=-21-(-2)n1-(-2)+2-1+(2-3)+(4-5)+(n-1-n)=-2-(-2)n+13+2-1+(-1)n-12=-2-2n+13-n-1=-2n+13-n-53综上可知Tn=2n+13+n-23，n为偶数-2n+13-n-53，n为奇数41.【解析】（1）由
30、题意得，当n为奇数时，当n为偶数时，由，得，解得，所以（2）当n为偶数时，由恒成立，得，即恒成立，所以且d11，当n为奇数时，由，恒成立，得，即恒成立，所以，因此，又由，得，即，解得，所以，即数列是等差数列，所以42.【解析】证明：（1）由题意，当时，所以，则是以1为公差，为首项的等差数列；解：（2）由题设，由（1）知：，则，其中，即，所以，两式相减得，所以，综上，43.【解析】（1）由得，当n=1时，解得.当n2时，从而，即，因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.（2）当n为奇数时，当n为偶数时，所以数列的前15项和为.44.【解析】（1）由题意，整理得，解得或，因为公比，所以，则，所以，；（2）由（1）可得，当时，当时，综上，.45.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，因为是与的等差中项，所以，所以，解得或（舍，所以（2）由题意知，所以，是以8为末项，2为公差的等差数列，由，得，所以，因为，所以，即，解得或546.【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为q，由已知得，解得， ，所以；所以，所以.（2）由题意可知新数列为：，则当n为偶数时，则当n为奇数时,，综上： .
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