1、 第第 2222 章二次函数章二次函数 一、单选题一、单选题 1下列函数中是二次函数的是（ ） A = 1 B =12 C = ( 2)2 2 D = ( 1) 2用长为 2 米的绳子围成一个矩形，它的一边长为 x 米，设它的面积为 S 平方米，则 S 与 x 的函数关系为（ ） A正比例函数关系 B反比例函数关系 C一次函数关系 D二次函数关系 3设 A（ 2 ， 1 ） ，B（ 1 ， 2 ） ，C（3， 3 ）是抛物线 = 2+ 1 上的三点，则 1 ， 2 ， 3 的大小关系为（ ） A2 1 3 B1 3 2 C3 2 1 D3 1 2 4二次函数 y3(x1)22 图象的顶点坐标是
2、（ ） A(2，1) B(2，1) C(1，2) D(1，2) 5抛物线 = 2， = 32+ 1， = 22 3 共有的性质是（ ） A开口向上 B都有最高点 C对称轴是 轴 D 随 的增大而减小 6二次函数 yx 3x1 的图象的顶点在（ ） A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 7对于二次函数 yx2 4x 1 的图象，下列叙述正确的是（ ） A开口向下 B对称轴为直线 x2 C顶点坐标为（ 2， 5） D当 x2 时，y 随 x 增大而减小 8抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解分别为x1，x2，则 x1+x
3、2的值为（ ） A2 B1 C1 D2 9已知二次函数 = ( 1)( 2)与轴的交点是 （1， 0） 和 （3， 0） ， 关于的方程( 1)( 2) = （其中 0）的两个解分别是1和 5，关于的方程( 1)( 2) = （其中0 ）也有两个整数解，这两个整数解分别是（ ） A1 和 4 B2 和 5 C0 和 4 D0 和 5 10如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，CEBD，CE= 12BD若 ABD 的周长为 20cm，则 BCD 的面积 S（cm2）与 AB 的长 x（cm）之间的函数关系式可以是（ ） A =142 10 + 100 B = 22 40 + 200 C = 2
4、 20 + 100 D = 2+ 20 + 100 二、填空题二、填空题 11若二次函数 y2x23 的图象上有两个点 A(1，m)，B(2，n)，则 m n(填“”) 12如果抛物线 = 2+ 1的对称轴是轴，那么顶点坐标为 13如果抛物线 = 2+ + 4的顶点在轴上，那么常数 m 的值是 14二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）的解为 15某件商品的销售利润 y（元）与商品销售单价 x（元）之间满足 = 2+ 6 7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元 三、解答题三、解答题 16若函数 y=（a-1）x（b+1）+
5、x2+1 是二次函数，试讨论 a、b 的取值范围。 17在同一坐标系中，画出函数 y12x2，y22(x2)2与 y32(x2)2的图象，并说明 y2，y3的图象与y12x2的图象的关系 18用配方法把二次函数 = 22+ 6 + 4 化为 = ( + )2+ 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 19把抛物线 yax2+bx+c 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得抛物线是 yx23x+5，求 a+b+c 的值 20用配方法把二次函数 y 12 x24x+5 化为 ya（xm）2+k 的形式，并写出该函数图象的顶点坐标. 21已知二次函数 y=kx2
6、2x1 的图像与 x 轴有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围 22如图，拱门的地面宽度为 200 米，两侧距地面高 150 米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为 100米，求拱门的最大高度. 23某商家销售一款商品，该商品的进价为每件 80 元，现在的售价为每件 145 元，每天可销售 40 件.商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件.若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答. （）用含 x 的式子表示：每件商品的售价为 元；每天的销售量为 件； （）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出
7、售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 答案解析答案解析 1 【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A、 = 1是一次函数，不是二次函数，故 A 不符合题意； B、 =12函数关系式不是整式，不是二次函数，故 B 不符合题意； C、 = ( 2)2 2= 2 4 + 4 2= 4 + 4， 是一次函数， 不是二次函数， 故 C 不符合题意； D、 = ( 1) = 2 是二次函数，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。 2 【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：设矩形的一边长为 x 米，则另一边长为222米， 则 =
8、 222= 2+ 则 S 与 x 的函数关系为二次函数关系 故答案为：D 【分析】设矩形的一边长为 x 米，则另一边长为222米，根据矩形的面积公式可得 = 222=2+ ，即可得到答案。 3 【答案】A 【知识点】二次函数 y=ax2 的性质 【解析】【解答】解：当 = 2 时， 1= 2+ 1 = (2)2+ 1 = 3 ， 当 = 1 时， 2= 2+ 1 = (1)2+ 1 = 0 ， 当 = 3 时， 3= 2+ 1 = 32+ 1 = 8 ， 所以 2 1 3 故答案为：A 【分析】把三个点的坐标代入抛物线解析式分别计算得出1，2，3，再进行大小比较即可。 4 【答案】D 【知识点
9、】二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象 【解析】【解答】解：y=3（x-1）2+2， 抛物线顶点为（1，2） 故答案为：D 【分析】二次函数 y=a（x-h）2+k（a0）的顶点坐标为（h，k） ，据此解答即可. 5 【答案】C 【知识点】二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质 【解析】【解答】解：在 y=-x2中，a=-10，可知其开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，x0 时，y随 x 增大而增大，x0 时， y 随 x 的增大而减小； 在 y=-3x2+1 中，a=-30，可知其开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，x0 时 y 随 x 增大而增大，x0 时， y 随 x 的增大而
10、减小； 在 y=2x2-3 中，a=20，可知其开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，x0 时，y 随 x 的增大而减小，x0 时，y 随 x 的增大而增大； 三抛物线共有的性质是对称轴为 y 轴. 故答案为：C. 【分析】y=ax2，当 a0 时，开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，x0 时，y 随 x 的增大而增大，x0 时，y 随 x 的增大而减小；y=ax2+b，当 a0 时，开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，x0 时，y 随 x 的增大而减小，x0 时，y 随 x 的增大而增大. 6 【答案】C 【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数 y=ax2+bx+c 与二次函数 y=a
11、（x-h）2+k 的转化 【解析】【解答】解： = 2 3 + 1 = ( +32)2+134， 顶点坐标为(32，134)， 顶点在第二象限， 故答案为：C 【分析】根据二次函数的解析式求出顶点坐标为(32，134)，再求解即可。 7 【答案】B 【知识点】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象；二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【解答】解：y=x2-4x-1=（x-2）2-5， 抛物线的开口向上，对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，-5） ，当 x2 时，y 随 x 增大而增大， ACD 错误，B 正确. 故答案为：B. 【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的开
12、口向上，对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，-5） ，当 x2 时，y 随 x 增大而增大，逐项进行判断，即可得出答案. 8 【答案】D 【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解分别为 x1，x2， 抛物线与 x 轴两交点坐标（x1，0） ， （x2，0） ，令 x1x2， 根据图像得 x2=1， 抛物线的对称轴为 x=-1， 1+22= 1， 1+ 2= 2 故答案为：D 【分析】先求出抛物线的对称轴为 x=-1，再求出1+22= 1，最后计算求解即可。 9 【答案】C 【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合
13、应用 【解析】【解答】解：二次函数 y=a（x-x1） （x-x2）与 x 轴的交点是（1，0）和（3，0） ， 二次函数的对称轴方程为：x=2， 又关于 x 的方程 a（x-x1） （x-x2）=m（其中 m0）的两个解分别是-1 和 5， 二次函数 y=a（x-x1） （x-x2）开口向上（远离对称轴的点纵坐标变大） ， 又x 的方程 a（x-x1） （x-x2）=n 也有两个整数解， 可得直线 y=n 在 x 轴和直线 y=m 之间， 两个整数解为 0 和 4. 故答案为：C. 【分析】根据二次函数与 x 轴的交点坐标，可求出二次函数的对称轴为 x=2，根据题意可得直线 y=n在 x 轴
14、和直线 y=m 之间，据此可得结论. 10 【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解： AB=AD， ABD 的周长为 20cm，设 = ， = 20 2， =12， =12(20 2) = 10 ， ， =12 =12(20 2)(10 ) = 2 20 + 100， 故答案为：C 【分析】 用含 x 的表示方法表示出 = 20 2， =12(20 2) = 10 ，再利用三角形的面积公式列出方程 = 2 20 + 100即可。 11 【答案】 【知识点】二次函数 y=ax2 的性质 【解析】【解答】 因点 A(1， m)， (2，)在函数的图象上， 则有 =
15、2 12 3 = 1， = 2 22 3 = 5 所以 mn 【分析】先求出 = 2 12 3 = 1，再求出 = 2 22 3 = 5，最后比较大小即可。 12 【答案】（0，-1） 【知识点】二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象 【解析】【解答】 = 2+ 1中 a=-1，b=b 故 = 2= 2(1)= 0 解得 = 0 故抛物线为 = 2 1 将 = 0代入 = 2 1有 = 02 1 = 1 故顶点坐标为（0，-1） 故答案为： （0，-1） 【分析】根据抛物线的对称轴为 y 轴可得 = 2= 2(1)= 0，求出 b=0，即可得到抛物线的顶点坐标。 13 【答案】 4 【知识点
16、】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 【解析】【解答】 = 2+ + 4 = ( +2)2+ 4 24， 二次函数顶点坐标为(2，4 24) 顶点在 x 轴上， 4 24= 0， = 4 故答案为： 4 【分析】根据二次函数解析式，得出顶点坐标，再根据顶点在 x 轴上，即可得出 m 的值。 14 【答案】x1-1，x25 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：设二次函数与 x 轴的另一交点的横坐标为 x 由题意得： （x+5） 2=2 解得 x=-1 所以方程 ax2+bx+c0（a0）的解为：x1-1，x25 故答案为：x1-1，x25 【分析】设二次函数
17、与 x 轴的另一交点的横坐标为 x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。 15 【答案】2 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解： = 2+ 6 7 = ( 3)2+ 2 根据函数图象性质可知在 x=3 时，y 最大且取值为 2 故答案为：2 【分析】将一般式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解即可。 16 【答案】解：b+1=2，解得 b=1，a-1+10，解得 a0；b+12，则 b1，b=0 或-1，a 取全体实数当 a=1，b 为全体实数时，y=x2+1 是二次函数 【知识点】二次函数的定义 【解析】【分析】分情况讨论：b+1=2；b+12；当 a=1，b 为全
18、体实数时。分别求解。 17 【答案】解：如图， y2的图象由 y1=2x2的图象向右平移 2 个单位得到； y3的图象由 y1=2x2的图象向左平移 2 个单位得到 【知识点】二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象；二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质 【解析】【分析】由图像可知：1= 22向右平移 2 个单位长度可得抛物线2= 2( 2)2；1= 22向左平移 2 个单位长度可得抛物线3= 2( +2)2。 18 【答案】解： = 22+ 6 + 4 ， = 2(2 3 +94) + 4 +92 ， = 2( 32)2+172= 2 + (32)2+172 ， 开口向下，对称轴为直线
19、=32 ，顶点 (32，172) 【知识点】二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象；二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质 【解析】【分析】可根据公式 y=( +2)2+424配方；由 a=-2 0 解得：k1 且 k0 实数 k 的取值范围 k1 且 k0 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。 22 【答案】解：如图所示，以 CD 所在直线为 x 轴，CD 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系， CD200， 抛物线与 轴的交点为 (100，0) ， (100，0) ， 设这
20、条抛物线的解析式为 = ( 100)( + 100) ， AB100，AB 与 CD 的距离为 150， 点 B 的坐标为（50，150） ， 抛物线经过点 (50，150) ， 150 = (50 100)(50 + 100) ， 解得： = 150 ， = 150( 100)( + 100) = 1502+ 200 ， 当 = 0 时， 取得最大值，此时 = 200 ， 即拱门的最大高度是 200 米. 【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【分析】 以 CD 所在直线为 x 轴， CD 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系， 易得 C （-100，0） ，D（100，0）
21、，B（50，150） ，设抛物线的解析式为 y=a(x-100)(x+100)，然后将点 B 坐标代入求出 a的值，得到抛物线的解析式，进而可得拱门的最大高度. 23 【答案】解： （I） （145x） ； （） （40+2x） ； （II）根据题意可得：y（145x805） （2x+40） ， 2x2+80 x+2400， 2（x20）2+3200， a20， 函数有最大值， 当 x20 时，y 有最大值为 3200 元，此时售价为 14520125 元， 售价为 125 元时利润最大，最大利润是 3200 元. 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解： （I）由题意可知：每件商品的售价为： （145x）元； 每天的销售量为： （40+2x）件； 故答案为：（145x） ，（40+2x） ； 【分析】 （1）利用开始的售价减去降低的钱数即为售价； 首先表示出增加的件数，然后加上 40 即可； （2）根据每天的总利润=每件商品的利润乘以每天的销售数量建立函数关系式，对其进行化简，然后结合二次函数的性质进行求解.
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