1、 第第 2 章圆与方程章圆与方程 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.已知直线 ax+by+c=0 过点 M(cos ,sin ),则( ) A.a2+b21 B.a2+b21 C.a2+b2c2 D.a2+b2c2 2.若圆心坐标为(2,-1)的圆截直线 x-y-1=0 所得的弦长为 2 ,则这个圆的方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=2 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=8 D.(x-2)2+(y+1)2=16 3.圆(x+1)2+(y-1)2=4 上到直线 l:x+y+ =0 的距离为 1 的点共有( ) A
2、.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的圆拱桥,已知在某个时间段这座桥的水面跨度是 20 米,拱顶离水面 4 米,当水面上涨 2 米后,桥在水面的跨度为( ) A.10 米 B.10 米 C.6 米 D.6 米 5.若圆 x2+y2-2ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x-1 对称,过点 C(-2a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹方程为( ) A.y2-4x+4y+
3、8=0 B.y2+2x-2y+2=0 C.y2-2x-y-1=0 D.y2+4x-2y+5=0 6.若圆 M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a0,b0)平分圆 N:x2+y2-4x-2y+4=0 的周长,则 2a+b 的最小值为( ) A.8 B.9 C.16 D.20 7.已知圆 C 的圆心为原点 O,且与直线 x+y+4 =0 相切.点 P 在直线 x=8 上,过点 P 引圆 C 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,如图所示,则直线 AB 恒过的定点的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,2) C.(1,0) D.(0,1) 8.已知实数 x、y 满足 x2+(y-2)2
4、=1,则 = 的取值范围是 ( ) A.( ( 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 9.已知圆 C1:(x-2cos )2+(y-2sin )2=1 与圆 C2:x2+y2=1,则下列说法正确的是( ) A.对于任意的 ,圆 C1与圆 C2始终相切 B.对于任意的 ,圆 C1与圆 C2始终有四条公切线 C.当 = 时,直线 l: x-y-1=0 被圆 C1截得的弦长为 D.P,Q 分别为圆 C1与圆 C2上的动点,则 PQ 的最大值为 4 10.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列命题正确的是
5、( ) A.直线 l 恒过定点(3,1) B.y 轴被圆 C 截得的弦长为 4 C.直线 l 与圆 C 恒相交 D.直线 l 被圆 C 截得的弦长最长时,直线 l 的方程为 2x-y-5=0 11.已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是 ( ) A.y-x 的最大值为 -2 B.x2+y2的最大值为 7+4 C. 的最大值为 D.x+y 的最大值为 2+ 12.如果 A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0), 是以 OD为直径的圆上的一段圆弧, 是以 BC为直径的圆上的一段圆弧, 是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线 ,那么下面
6、说法正确的是( ) A.曲线 与 x 轴围成的图形的面积为 B. 与 的公切线方程为 x+y- -1=0 C. 所在圆与 所在圆的交点弦所在直线的方程为 x-y=0 D. 所在圆截直线 y=x 所得的弦长为 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.过 P(2,2)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的切线,则此切线方程为 . 14.设集合 A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|(x-t)2+y2=9,且 AB,则实数 t 的取值范围是 . 15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:2x17 )2=8,若过第四象限的直线 l
7、是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线 l 的方程为 . 16.如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l与圆 A 交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1交于点 P. (1)当|MN|=2 时,直线 l 的方程为 ; (2) = .(本题第一空 3 分,第二空 2 分) 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知圆 C 的方程为 x2+y2-2x+4y+1=0. (1)求圆 C 的圆心坐标及半径; (2)若直线 l
8、经过(2,0),并且被圆 C 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程. 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C:x2+y2+mx+my-4=0 关于直线 x+y+1=0 对称. (1)求圆 C 的标准方程; (2)是否存在直线与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分 12 分)如图,已知ABC 的 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,M(2,0)满足 ,点 T(-1,1)在 AC 边所在直线上且满足 =0. (1)求 AC 边所在直线的方程; (2)求ABC 外接圆的方程; (3)求过点 N(-2,0)的A
9、BC 外接圆的切线方程. 20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在 x 轴上,且圆 C 经过点 A(-1,0),B(1,2). (1)求线段 AB 的垂直平分线的方程; (2)求圆 C 的标准方程; (3)已知直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 MN=2 ,求直线 l 的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知圆 C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线 l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(mR). (1)若圆 C 截直线 l 所得的弦 AB 的长为 2 ,求 m 的值; (2)若圆 C 与直线 l 相离,设 MN 为圆 C 的动直径,作 MP
10、l,NQl,垂足分别为 P,Q,当 m 变化时,求四边形 MPQN 面积的最大值. 22.(本小题满分 12 分)为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流,已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心点 O 后转向东北方向(即 ).现准备修建一条城市高架道路 L,L 在 MO 上设一出入口 A,在 ON 上设一出入口 B.假设高架道路 L 在 AB 部分为直线段,且要求市中心 O 到直线 AB 的距离为 10 km. (1)求两站点 A,B 之间距离的最小值; (2)公路 MO 段上距离市中心 30 km 处有一古建筑群 C,为保护古建筑群,设立一个以 C 为圆心,
11、5 km 为半径的圆形保护区,问如何在古建筑群 C 和市中心 O 之间设计出入口 A,才能使高架道路 L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)? 答案解析答案解析 1.D 由 cos2+sin2=1 可得点 M 在单位圆 x2+y2=1 上, 所以直线 ax+by+c=0 和圆 x2+y2=1 有公共点, 所以圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 1,即 a2+b2c2. 2.B 设圆的半径为 r, 圆心(2,-1)到直线 x-y-1=0 的距离 d= - , 2 - - ,解得 r2=4, 圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.故选 B. 3.C 由题知,圆心(-1,1)到
12、直线l:x+y+ =0的距离为 - =10,b0, 所以 2a+b=(2a+b)( ) 4+2 =8,当且仅当 ,即 a=2,b=4 时,等号成立.故选 A. 7.A 依题意得圆 C 的半径 r= =4,所以圆 C 的方程为 x2+y2=16. 因为 PA,PB 是圆 C 的两条切线, 所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bR,则线段OP的中点坐标为( ),所以以 OP 为直径的圆的方程为(x-4)2+( - ) ( ) ,化简得 x2+y2-8x-by=0,因为 AB 为两圆的公共弦,所以直线 AB 的方程为 8x+by=16,即 8(x-2)+
13、by=0,bR,所以直线 AB 恒过定点(2,0). 8.B 如图所示: 设 P(x,y)为圆 x2+(y-2)2=1 上的任意一点, 则点 P 到直线 x+ y=0 的距离 PM= , 点 P 到原点的距离为 PO= , 所以 = =2sin POM, 设圆 x2+(y-2)2=1 与直线 y=kx 相切, 则 =1,解得 k= , 所以 POM 的最小值为 30,最大值为 90, 所以 sin POM1, 所以 1=2sin POM2. 故选 B. 9.ACD 由已知得C1(2cos ,2sin ),C2(0,0),C1C2= =2,两圆半径之和为1+1=2,故两圆始终外切,始终有三条公切
14、线,A 正确,B 错误; 当 = 时,C1( ,1),C1到直线 l 的距离 d= - - - ,则弦长为 2 -( ) ,C 正确; 由于两圆外切,且 C1C2=2,因此 PQmax=C1C2+1+1=4,D 正确. 故选 ACD. 10.ABC 直线 l 的方程整理得 m(2x+y-7)+x+y-4=0,由 - - 解得 所以直线 l 恒过定点(3,1),A 正确; 在圆 C 的方程中,令 x=0,得 1+(y-2)2=25,解得 y=22 ,则 y 轴被圆 C 截得的弦长为 4 ,B 正确; 因为(3-1)2+(1-2)2=50且b1),则 - =1,解得 b= +1,所以直线 l:x+
15、y- -1=0,故 B 正确; 将 所在圆与 所在圆的方程相减,得交点弦所在直线的方程为 x-y=0,故 C 正确; 所在圆的圆心为(-1,0),(-1,0)到直线 y=x 的距离 d= ,所以 所在圆截直线 y=x 所得的弦长为2 -( ) ,故 D 错误. 故选 BC. 13.答案 x=2 或 3x-4y+2=0 解析 圆 C:(x-1)2+y2=1 的圆心为(1,0),半径为 1, 当过点 P 的直线垂直于 x 轴时,直线斜率不存在,方程是 x=2, 圆心 C(1,0)到直线的距离 d=1=r, 直线 x=2 符合题意. 当过点 P 的直线不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y-2=k(x
16、-2),即 kx-y-2k+2=0. 直线是圆 C:(x-1)2+y2=1 的切线, 圆心 C(1,0)到直线的距离 d= - =1,解得 k= , 此时直线方程为 3x-4y+2=0. 综上,切线方程为 x=2 或 3x-4y+2=0. 14.答案 - 解析 圆(x-t)2+y2=9 的半径大于圆 x2+(y-1)2=1 的半径. 当两圆外切时,有 - - =3+1,解得 t= ; 当两圆内切时,有 - - =3-1,解得 t= . 当 t0,即圆(x-t)2+y2=9 的圆心在 y 轴右侧时,实数 t 的取值范围为 ; 当 t0,t0), 则 - 5,(6 分) 解得 t60k(舍去),故 OA20 km,(8 分) 又当 ABON 时,OA=10 km, 所以 10 kmOA20 km.(10 分) 综上,当 10 kmOA20 km,即设计出入口 A 离市中心 O 的距离在 10 km 到 20 km 之间时,才能使高架道路L 及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态).(12 分)
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