1、数列01 数列的概念一、数列及相关概念1、定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项， ，第项，注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。2、数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列可简单记作。3、函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。函数与数列的联系与区别：一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方
2、面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增对任意的都成立类似地，有递减对任意的都成立.二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.三、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； 1. 有穷数列:项数有限.2. 无穷数列：项数无限.3. 递增数列:对于任何,均有.4. 递减数列:对于任何,均有.5. 摆动数列:例如: -
3、1,1,-1,1,-1,1, .6. 常数数列:例如:6,6,6,6,.四、数列的通项公式定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，.； 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.02 等差数列一、等差数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示即等差数列有递推公式：二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式
4、为：2.等差数列的公式的推导：累加法3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即由等差数列的通项公式易知：三、等差中项定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若，则，若，则；该性质推广到三项，即，,推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为五、等差数列的前项和及推导过程1.等差数列前项和公式：2.等差数列前项和
5、公式的推导：倒序相加，把项的顺序反过来，可将写成：，将这两式相加得：，从而得到等差数列的前项和公式，又，得六、等差数列前项和的性质1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，为等列，公 差为2.为等差数列当项数为奇数时，由得，当项数为偶数时，由得， .3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式（注：当时，）4.为等差数列，则也成等差数列5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有项，则 ；如果数列有项，则.6.若，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定若，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不
6、等式组来确定七、等差数列的前项和公式与二次函数1.区别和联系区别联系定义域为图像是一系列的额孤立点（1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点定义域为图像是一条光滑的抛物线2.观察可得：由和得；3.特殊性：当，达到最大或最小而当时，取与最近的正整数即可4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值03 等比数列一、等比数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，常用字母表示即数列的递推公式为（常数）（）【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此也不为
7、0；（2）从第二项开始，因此首项没有前一项；（3）an+1an均为同一个常数，即比值相等；（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列二、等比数列的通项公式及推导1.等比数列的通项公式为：2.等比数列的公式的推导：累乘法3.等比数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相乘得：，即由等差数列的通项公式易知：三、等比中项定义：如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项，即两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项四、等比数列的常用性质1.公比为的等比数列的各项同乘以一个不
8、为零的数，所得数列仍为等比数列，公比仍为；2.若，则有；若，则有；3.等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为4.若等比数列的公比为，则是以为公比的等比数列；5.若与均为等比数列，则也为等比数列；6.或递增；或递减；为常数列；为摆动数列五、等比数列的前项和及推导过程1.等比数列前项和公式：2.等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知，将这个等式的两边分别相加得：，即，整理得，当时，显然此式对也成立；当时，方法二：由前项定义知，将上式两边同乘以得：两式相减得： ，以下讨论同法一注：方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法错位相减求和法：非零的等差
9、数列、等比数列构造数列，数列称为差比数列，求它的前项和可用错位相减法六、等比数列前项和的性质1.公比为的等比数列，按项分组，每项之和组成一个新数列，认为等比数列，其公比为（也就是说：，为等比数列，公比为2.对于项数为的等比数列，有04 数列的通项公式类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项类型 公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）类
10、型 累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得：若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若是关于的二次函数，累加后可分组求和； 若是关于的分式函数，累加后可裂项求和类型 累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解类型 构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列为等差数列； （2）若时，数列为等比数列；（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求
11、方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列求出的通项再转化为类型（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型求出 ，再用类型（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转
12、化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：，两边同时乘以得，由两式相减得，即，在转化为类型便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型的方法解决（3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型（累加法），求出之后得类型 对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）类型 倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于
13、，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求类型 形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式05 数列求和 一公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法（3）一些常见的数列的前n项和：；二几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若
14、干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解【方法技巧与总结】常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）
15、（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）（14）06 数学归纳法一、数学归纳法的定义定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.二、数学归纳法的基本思想基本思想：数学归纳法是完全归纳法的一种.
16、它是一种归纳演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A(n)表示关于自然数n的一命题，如果满足条件：(i)A（1）正确；(ii)假设A(k)成立，推断A(k+1)也成立、那么A(n)对一切自然数n都成立.其中第(i)是验证，它是证明的基础；第(ii)是以假设A(k)成立，通过演绎推理，推证出A(k+1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立.三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：1.证明：当
17、取第一个值结论正确；2.假设：假设当(，)时结论正确，证明当时结论也正确.3.得出结论：由1，2可知，命题对于从开始的所有正整数都正确. 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标. 数学归纳法大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=成立，（nN），一般取=1，第二步假设n=k（kN，k）的时候，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.至此就可以得到结论，命题对于和比大的所有自然数都成立.如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建设部分，整个命题的
18、基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大厦建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可.注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法一般是没有用武之地的.四、用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推
19、导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性2.用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。3.用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等4.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“nk1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要
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