1、概率与统计概率与统计 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 40 分分 1、用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。在高一抽 40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校人数共有（ ） A、1500 B、1600 C、1700 D、1800 2、春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立该学校的某班随机领养了此种盆栽植物 10 株，设X为其中成活的株数，若X的方差2.1DX ，(3)(7)P XP X，则p （ ） A、0.8
2、 B、0.7 C、0.5 D、0.3 3、近年来，餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！ “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦 ”某中学制订了“光盘计划” ，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的 2000 人的得分数据据统计此次问卷调查的得分X（满分：100 分）服从正态分布2(90,)N，已知(8892)0.32PX，(85)P Xm，则下列结论正确的是( ) A00.34m B0.34 C0.340.68m D0.68 4、某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，现从所抽
3、取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 5、从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 6、北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动现有 A，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成比赛共进行三轮， 每轮比赛两队都随机挑选
4、两名成员参加答题， 若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是 A59 B89 C1718 D3536 7、某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排三个部门（A，B，C）的 12 名工作人员下沉到该地的甲、乙、丙、丁四个村担任疫情防控志愿者，已知 A 部门 6 人，B 部门 3 人，C 部门 3 人，若从这 12名工作人员中选出 4 人作为组长，则 至少有 2 个组长来自 A 部门的概率为（ ） A、811 B、911 C、813 D、913 8、随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升某校为提升学生的综合素养、大力推广
5、冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军” ，开设了“陆地冰壶” “陆地冰球”“滑冰” “模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A“甲乙两人所选课程恰有一门相同” ，事件B “甲乙两人所选课程完全不同” ，事件C “甲乙两人均未选择陆地冰壶课程” ，则 AA 与 B 为对立事件 BA 与 C 互斥 CA 与 C 相互独立 DB 与 C 相互独立 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选
6、对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9、从装有 5 只红球5 只白球的袋中任意取出 3 只球，下列各对事件为对立事件的有（ ） A. “取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球” B. “取出 3 只红球”与“取出的 3 只球中至少有 1 只白球” C. “取出 3 只红球”与“取出 3 只白球”. D. “取出的 3 只球中至少有 2 只红球”与“取出的 3 只球中至少有 2 只白球” 10、下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量X服从二项分布,B n p，若30,20E XD X，则23p B
7、. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布0,1N，若(1)Pp，则1( 10)2Pp D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为,10,0.8X XB，则当8X 时概率最大 11、某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲A，B，C给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1000 2000 3000 下列猜歌顺
8、序中获得奖金金额的均值超过 2000 元的是（ ） AABC BCBA CCAB DBCA 12、连续抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能记事件 A 表示“3 次结果中有正面向上，也有反面向上” ，事件 B 表示“3 次结果中最多一次正面向上” ，事件 C 表示“3 次结果中没有正面向上” ，则 A事件 B 与事件 C 互斥 BP(A)34 C事件 A 与事件 B 独立 D记 C 的对立事件为C，则 P(B|C)37 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13、为了了解某市某条道路晚高峰
9、时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图 （如图） ， 已知在5， 7)之间通过的车辆数是 440 辆， 则在8， 9)之间通过的车辆数是 14、某大学外语系有 6 名志愿者，其中志愿者12,A A，C 只通晓英语，志愿者123,B B B只通晓俄语现从这 6名志愿者中选出 2 名，组成一个能通晓两种语言的小组，则 C 被选中的概率为_ 15、某中学高三（1）班有 50 名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩(110,100)XN，则估计该班数学得分大于 120 分的学生人数为 （参考数据：(|)0.68P X，(| 2 )0.95P X) 16
10、. 已知样本数据12,nx xx的平均数x与方差2s满足如下关系式：222211( )nniiiixxxnxSnn ，若已知 15 个数1215,x xx的平均数为 6，方差为 9；现从原 15个数中剔除12345,x xx xx这 5 个数，且剔除的这 5 个数的平均数为 8，方差为 5，则剩余的 10 个数6715,x xx的方差为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 8 年来， 某地第x年的第三产业生产总值y（单位： 百万元） 统计图表如
11、下图所示，根据该图提供的信息解决下列问题. （1）在所统计的 8 个生产总值中任取 2 个，记其中不低于平均值的个数为X，求X的分布列和数学期望E X； （2）由统计图表可看出，从第 5 年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第 10 年的第三产业生产总值. （参考公式：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx$） 18 （本小题满分 12 分）某公司对 40 名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节笔试环节所有 40 名试用员工全部参加；参加面试环节的员
12、工由公司按规则确定 公司对 40 名试用员工的笔试得分 （笔试得分都在75，100)进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和22列联表 男 女 合计 优 （得分不低于90分） 8 良（得分低于 90 分） 12 合计 40 （1） 请完成上面的22列联表， 并依据0.1的独立性检验， 能否认为 “试用员工的业务水平优良与否”与性别有关； （2）公司决定：在笔试环节中得分低于 85 分的员工直接匋汰，得分不低于 85 分的员工都正式录用笔试得分在95，100内的岗位等级直接定为一级（无需参加面试环节） ；笔试得分在90，95)内的岗位等级初定为二级， 但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级
13、； 笔试分数在85，90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率 若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率； 若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最昸岗位等级的概率 参考公式：22()()()()()n adbcab cdac bd 20()Pk 0.15 0.10 0.05 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 6.635 19 （本小题满分 12 分）为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种
14、植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了 2020 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数. 温度x/ 21 23 24 27 29 30 死亡数y/株 6 11 20 27 57 77 经计算，611266iixx，611336iiyy， 61557iiixxyy，62184iixx， 6213930iiyy，621236.64iiiyy，8.0605e3167，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i . （1）若用一元线性回归模型，求y关于x的经验回归方程ybxa（结
15、果精确到 0.1） ； （2）若用非线性回归模型求得y关于x的非线性经验回归方程0.23030.06exy ，且相关指数为20.8841R . （i）试与（1）中的回归模型相比，用2R说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）. 20 （本小题满分 12 分）对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为，三个部分要击落飞机，必须在部分命中一次，或在部分命中两次，或在部分命中三次设炮弹击落飞机时， 命中部分的概率是16， 命中部分的概率是13， 命中部分的概率是12， 射击进行到击落飞机为止 假设每次射击均击中飞机，且每
16、次射击相互独立 （1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； （2）求击落飞机的命中次数X的分布列和数学期望 21 （本小题满分 12 分）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况， 在某高速收费点发现大年初三上午 9： 2010： 40 这一时间段内有 600 辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段 9：209：40 记作区间20,40，9：4010：00记作40,60，10：0010：20 记作60,80，10：2010：40 记作80,100，例如：10 点 04 分，记作时刻 64. （1）估计这 600
17、辆车在 9：2010：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车中随机抽取4 辆，记 X 为 9：2010：00 之间通过的车辆数，求 X 的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布2,N ，其中可用这 600 辆车在 9：2010：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，
18、估计在 9：4610：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若2,TN ，则0.6826PT，220.9544PT，330.9974PT. 22 （本小题满分 12 分）空气质量指数 AQI 与空气质量等级的对应关系如下： 空气质量指数 AQI 空气质量等级 0，50 优 (50，100 良 (100，150 轻度污染 (150，200 中度污染 (200，300 重度污染 (300，+） 严重污染 下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30 天）的情况： 空气质量指数 AQI 0，50 (50，100 (100，150 (150，200 频数（单位：天） 3 6 15 6 （1
19、）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均 AQI 的值； （同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （2）如果把频率视为概率，且每天空气质量指数相互独立，求未来一周（7 天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率； （参考数据：0.770.0824，结果精确到 0.01） （3）为提升空气质量，该场馆安装了 2 套相互独立的大型空气净化系统已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下： 更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5 概率 0.2 0.3 0.5 已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价 1 千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价 2 千元该场馆每年年初先
20、在促销期购买 n（n8，且 nN*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总费用最合理，请说明理由 （不考虑往年剩余滤芯和下一年需求） 参考答案参考答案 1、D 2、B 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、C 9、BD 10、BCD 11、AD 12、BCD 13、100 14、13 15、8 16、8 16、 【详解】根据题目所给的条件121590 xxx， 12540 xxx，所以671550 xxx， 所以剩余 10 个数的平均数为 5. 2222121515 615 9xxx， 22221255 85 5xxx ， 所以2
21、226715330 xxx， 所以这 10 个数的方差为2330 10 5810.故答案为：8 17、 （1）8 个生产总值的平均数为12 14 182432527395408，则2,3,8XH，23528C CCkkP Xk，0,1,2k ， 5(0)14P X ，15(1)28P X ，3(2)28P X ， 分布列为： X 0 1 2 P 514 1528 328 33284E X （2）由后面四个数据得： 32527395634y，56786.54x，411743iiix y，421174iix， 则17434 63 6.5211744 6.56.5b ，6321 6.573.5a 则
22、2173.5yx，当10 x 时，21073.5136.5y . 18、解： （1）22列联表： 男 女 合计 优（得分不低于 90 分） 8 4 12 良（得分低于 90 分） 16 12 28 合计 24 16 40 2240(8 124 16)0.3172.70612 28 24 16 ， 依据0.1的独立性检验，没有把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关 （2）甲的得分不得低于 85 分 若甲得分在95，100内，10.1P ， 若甲得分在90，95内，20.2P ， 若甲得分在85，90内，30.3P ， 记事件A为甲被公司正式录用，事件B为甲被评为一级 20.10.2()
23、0.185(|)0.3( )0.10.20.30.6P ABP B AP A； （2）乙得分在90，95内 若最终甲为一级，乙为一级或二级，12(0.10.2)0.185P ， 若最终甲为二级，乙为二级，2333(0.20.3)0.18555P ， 所以甲最终不低于乙的岗位概率0.180.180.36P 19、解： （1）由题意，得616215576.684iiiiixxyybxx， 336.6 26138.6a ， y关于x的经验回归方程为6.6138.6yx. （2） （i）经验回归方程6.6138.6yx对应的决定系相关指数为 6221621236.64110.93983930iiiii
24、yyRyy ， 因为0.93980.8841， 所以经验回归方程6.6138.6yx比非线性经验回归方程0.23030.06exy 的拟合效果更好. （ii）当35x 时， 6.6 35 138.692.492y ， 即当温度为 35时，该批紫甘薯的死亡株数为 92. 20、解： （1）设恰好第二次射击后击落飞机为事件A是第一次末击中I部分，在第二次击中I部分的事件与两次都击中一部分的事件的和，它们互斥， 所以25111( )( )6634P A （2）依题意，X的可能取值为 1，2，3，4， 1X 的事件是射击一次击中I部分的事件，1(1)6P X ， 由（1）知，1(2)4P X ， 3X
25、 的事件是前两次射击击中部分、部分各一次，第三次射击击中I部分或部分的事件，与前两次射击击中部分， 第三次射击击中I部分或部分的事件的和，它们互斥，12211111111(3)()( )()32632623P XC， 4X 的事件是前三次射击击中部分一次，部分两次， 第四次射击的事件，123111(4)( )1324P XC ， 所以X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 16 14 13 14 X的数学期望11118()123464343E X 21、 （1）解：这 600 辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30 0.00550 0.01570 0.02090
26、0.010) 2064，即10:04 （2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60)这一区间内的车辆数，即(0.0050.015) 20 104，所以X的可能的取值为 0，1，2，3，4 所以464101(0)14CP XC，13464108(1)21C CP XC，22464103(2)7C CP XC，31464104(3)35C CP XC，444101(4)210CP XC， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210 所以18341812341421()73
27、521050E X?= （3）由（1）得64， 22222(3064)0.1 (5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324， 所以18，估计在9:46 10:40之间通过的车辆数也就是在46，100)通过的车辆数， 由(64TN，218 )，得()(22 )(6418642 18)0.818622PTPTPT剟剟， 所以估计在在9:46 10:40之间通过的车辆数为1000 0.8186819辆 22、解： （1）该场馆平均 AQI 的值为130(253756125151756) 2530(133651576)115 2 分 （2）该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为3
28、6300.3 3 分 设未来 7 天中空气质量等级达到“优或良”的天数为 ，则 B(7，0.3) 4 分 于是 P(2)1P(0)P(1) 1(10.3)7C17(10.3)60.3 10.7770.760.3140.77 0.67， 所以未来 7 天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为 0.67 6 分 （3）设 2 套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为 Y， 则 Y 的可能取值为 6，7，8，9，10 7 分 因为 2 套净化系统相互独立，所以 P(Y9)0.30.50.50.30.3； P(Y10)0.50.50.25； . 9 分 若促销期购买 8 个滤芯， 则一年更换滤芯所需费用的期望为 80.320.2549.6(千元)； 若促销期购买 9 个滤芯， 则一年更换滤芯所需费用的期望为 90.2529.5(千元)； 若促销期购买不少于 10 个滤芯， 则一年更换滤芯所需的费用不低于 10（千元） ， 因为 109.69.5， 所以每年在促销期购买 9 个滤芯最合理 12 分
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