1、 第第 13 章轴对称章轴对称 一、选择题(共一、选择题(共 1010 小题)小题) 1. 下列图形是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 内任意一点 ( ) 经过平移后对应点 ( ),已知 ( ) 在经过此次平移后对应点 ( ),则 的值为 ( ) A. B. C. D. 3. 若点 ( ), ( ) 关于 轴对称,则 ( ) A. , B. , C. , D. , 4. 如图,在等腰三角形 中, ,以点 为圆心, 长为半径画弧,交 于点 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 如图,点 为线段 与线段 的垂直平分线的交点, ,则 等于 ( ) A. B. C.
2、 D. 6. 如图所示,在 中, , , , 是边 上两点,且 ,则图中的等腰三角形一共有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图, 平分 , , ,则图中的等腰三角形有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图,在 中,线段 的垂直平分线与 相交于点 ,连接 ,边 的长为 ,边 的长为 ,则 的周长为 ( ) A. B. C. D. 9. 下列推理中,不能判断 是等边三角形的是 ( ) A. B. , C. , D. ,且 10. 如图, , , ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(共二、填空题(共 8 8 小题)小题) 11. 如果
3、等腰三角形的一个内角是 ,那么这个等腰三角形的顶角度数是 12. 如图,在由四个小正方形组成的田字格中, 的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与 成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形共有 个 13. 如图,一只船从 处出发,以 海里/时的速度向正北航行,经过 小时到达 处,分别从 、 处望灯塔 ,测得 , ,则 与灯塔 的距离为 14. 如图,已知 , , ,若 ,则 15. 如图,将 的三个内角分别沿 , , 翻折,三个顶点均落在点 处,则 的度数为 16. 如图, 中, 的垂直平分线 与 的平分线相交于点 ,垂足为点 ,若 ,则 17. 如图, 是一钢架, ,为使钢架
4、更加牢固,需在其内部添加一些钢管 , , ,添的钢管长度都与 相等,则最多能添加这样的钢管 根 18. 如图,已知点 ( ), ( ), ( ), ( ),连接 , ,将线段 绕着某一点旋转一定角度,使其与线段 重合(点 与点 重合,点 与点 重合),则这个旋转中心的坐标为 三、解答题(共三、解答题(共 6 6 小题)小题) 19. 如图,牧童在 处放牛,他的家在 处, 为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一次水,饮水的地点(用点 表示)选在何处,牧童所走的路程最短? 20. 如图,在 中, , 平分 ,点 为 的中点,说明 的理由 21. 如图所示,点 是线段 上一点,分别以 , 为一边
5、在 的同侧作等边 和 , 交 于 , 交 于 ,连接 求证: 为等边三角形 22. 如图,点 为线段 上一点, , 都是等边三角形,直线 , 交于点 ,直线 , 交于点 (1)说明 的理由 (2)探究为什么 也是等边三角形, 23. 分割等腰三角形 小高和小丽在看完书上本章的探究活动二之后,对分割等腰三角形产生了浓厚的兴趣,他们首先收集了一些分割等腰三角形的题目,一起和他们尝试一下吧 (1)分别过下面三个三角形的一个顶点画一条直线,把这些三角形各自分割成两个等腰三角形 (2)做完这第( )问后,小高猜测:如果一个三角形的两个内角,其中一个内角是另一个内角的两倍或三倍,那么这个三角形可以被分割成
6、两个等腰三角形请和小高一起说明理由吧 如图 , 解:设 的度数为 , 的度数为 ,作 ,交 于点 , 即 所以 ( ), 即 是等腰三角形 因为 ( ) 且 , 所以 ( ) 所以 ( ), 即 是等腰三角形 如图 , (请完成说理过程) (3)小丽看了小高的说理之后,自己画了一个内角为 , 和 的三角形尝试分割,请问这个三角形能分割成两个等腰三角形吗?如果可以,请画出三角形并分割;如果不能,请说明理由 (4)经过上述的探究,小丽和小高想找到怎样的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形,他们把情况分类成 种,请完成下列表格 24. 如图,已知 是 边 的中点, , ,垂足分别为点 , ,请说明 与
7、 全等的理由 答案答案 1. D 2. B 3. B 【解析】根据题意: , , 所以 , 4. A 5. D 【解析】如图,连接 点 为线段 与线段 的垂直平分线的交点, , , , , , 6. D 【解析】 , , , , ,同理 , , , , , , , , , 都是等腰三角形,共有 个 7. C 【解析】如图, 因为 , 所以 , 因为 平分 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 是等腰三角形; 因为 , 所以 , , 所以 , 所以 , 所以 是等腰三角形 故共有 个等腰三角形 8. B 【解析】 线段 的垂直平分线与 相交于点 , , 的周长 , , , 的周长 ( ) 9.
8、 D 【解析】A选项:由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形,故 A 错误; B选项:由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形,故 B 错误; C选项:由“ , ”可以得到“ ”,则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形,故 C 错误; D 选项:由“ ,且 ”只能判定 是等腰三角形,故 D正确 10. D 【解析】如图,过点 作 ,交 于点 , , , 是等边三角形, , , , , ,即 , 是等边三角形, , 平分 , , 在 中, , 故选:D 11. 或 【解析】 , 有两种情况: ( )顶角 , ( )当底角是 时
9、, , , , , 这个等腰三角形的顶角为 或 故答案为: 或 12. 13. 海里 【解析】 是 的外角, , , (海里), 因此 处与灯塔 距离是 海里 14. 【解析】在 和 中, ( ), , , 即 , , 15. 【解析】 将 的三个内角分别沿 , , 翻折,三个顶点均落在点 处, , , , , , 16. 【解析】如图,过点 作 ,交 的延长线于点 , 于点 , 平分 , , 垂直平分 , 在 和 中, ( ), , , , , , 17. 【解析】如图所示, , , , , , , , , , , , , , , , , 故 ,不能再添加了 18. ( ) 【解析】平面直角
10、坐标系如图所示,旋转中心是 点, ( ) 19. 如图所示: 20. 平分 , 又 , , , 又 , , 点 为 的中点, 21. 和 为等边三角形, , , , 在 和 中, ( ), 在 和 中, ( ), 又 , 为等边三角形(有一个角是 的等腰三角形是等边三角形) 22. (1) 因为 , 都是等边三角形(已知), 所以 , (等边三角形每条边都相等), (等边三角形每个内角都是 ) 得 , 即 在 与 中 , , , 所以 ( ) 得 (全等三角形对应边相等) (2) 先推导 或 ,然后根据等边三角形的判定方法得到 也是等边三角形 23. (1) (2) ; ;等角对等边; ; ;
11、 ;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和; ;等量代换; ; ;等角对等边 如图 , 设 的度数为 , 的度数为 ,作 ,交 于点 ,即 , 所以 (等角对等边), 即 是等腰三角形 因为 (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) 且 , 所以 (等量代换) 所以 (等角对等边), 即 是等腰三角形 (3) 不能,如图 , 如果一个三角形中一个内角是另一个内角的两倍,即 , ,那么 根据“三角形内角和等于 ”, ,则 ,即 说明较小的那个角需要小于 ,而小丽画的较小的角为 ,所以不能分割成两个等腰三角形 (4) 24. 因为 , (已知), 所以 , 因为 是 中点, 所以 , 在 和 中, (对顶角相等) 所以 ( )