1、第第七章概率七章概率 一、一、选择题选择题 1.现有如表所示的五项运动供选择,记试验 F“某人运动的总时长大于或等于 60 min 的运动组合方式”,则该试验中样本点的个数为( ) A 运动 B 运动 C 运动 D 运动 E 运动 7:008:00 8:009:00 9:0010:00 10:0011:00 11:0012:00 30 min 20 min 40 min 30 min 30 min A.7 B.6 C.10 D.23 2.易 系辞上有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如
2、图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为 5 的概率为( ) A.15 B.625 C.825 D.25 3.我国古代数学著作周髀算经中有这样的表述:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股.勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”这就是我们熟知的勾股定理.勾股数组是指满足 a2+b2=c2的正整数组(a,b,c).现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次,则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是( ) A.136 B.160 C.1108 D.1216 4.法国有个名人叫作布莱士 帕斯卡,他认识一个赌徒,这个赌徒向他提出一个问题:甲、乙两个人赌博,在他们下赌金之后,约定谁先赢满
3、 5 局,谁就获得全部赌金 700 法郎,赌了半天,甲赢了 4 局,乙赢了 3 局,时间很晚了,他们都不想再赌下去,但是不知道赌金如何分配才合理.假设每局甲、乙两人获胜的概率均为12,且每局输赢相互独立,那么这 700 法郎比较合理的分配方法是( ) A.甲 400 法郎,乙 300 法郎 B.甲 500 法郎,乙 200 法郎 C.甲 525 法郎,乙 175 法郎 D.甲 350 法郎,乙 350 法郎 5.数学上有种水仙花数,它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数.水仙花数共有 4 个,其中仅有 1 个在区间(150,160)内,我们姑且称它为“水仙四妹”,则从集合147,152,15
4、4,157,“水仙四妹”的5 个元素中任意取3 个整数,则这 3 个整数中含有“水仙四妹”,且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是( ) A.310 B.14 C.710 D.12 6.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当 ab,bc 时称为“凹数”(如 213,312 等),若 a,b,c1,2,3,4,且 a,b,c 互不相同,则这个三位自然数为“凹数”的概率是( ) A.16 B.524 C.13 D.724 二、非选择题二、非选择题 7.用数字 1,2 组成一个四位数,则数字 1,2 都出现的概率为 . 8.从正六边形的 6 个顶点中随机选出
5、4 个,以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为 . 9.古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 . 10.算盘是中国传统的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位,上面 1粒珠(简称上珠)代表 5,下面 1 粒珠(简称下珠)代表 1,即 5 粒下珠的大小等于同组 1 粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠(约定每档的上珠中最上面的 1 粒和下珠中最下面的 1 粒不使用,上珠只能往下拨,下珠只能往上拨),则算盘表示的整
6、数能够被 5 整除的概率为 . 11.2022黑龙江哈六中高二上期中考试某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的 5 个小球,其中 3 个红球、1 个黑球、1 个黄球.某顾客购满 100 元,可抽奖一次. (1)若从中依次不放回地取出 2 个球,取出的球中有黄球,则送一件价值 10 元的礼品,求这位顾客能获得一件价值 10 元的礼品的概率; (2)若从口袋中连续取两次球,每次取 1 个球后放回,当取出的 2 个球中没有红球时,送一件价值 50 元的礼品,问这位顾客获得一件价值 50 元的礼品的可能性会超过 20%吗? 12.为了让建筑类学生了解古建
7、筑设计与构造的原理,某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程营造法式及其注释.为检测学生学习效果,要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为 32,现用分层随机抽样的方法从所有作业中随机抽取 100 份(每位学生均上交一份作业),并评出成绩,得到如下频数分布表. 成绩/分 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数(不分年级) 4 x 20 38 30 频数(大三年级) 3 6 15 y 12 (1)求 x,y 的值,若以频率作为概率,从选修该门课程的大四学生中随机选取 1 名,
8、试估计该学生的作业成绩在60,80)的概率; (2)估计这 100 份作业中大三学生作业的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 13.随着经济全球化、信息化,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住、培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下,某信息网站在 15 个城市对刚毕业的大学生的月平均工资和月平均期望工资进行了调查,数据如图所示. (1)若某大学毕业生从这 15 个城市中随机选择 1 个城市就业,求该生选中月平均工资高于 8 500 元的城市的概率; (2)若从月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于 1 000 元的城市中随机选择 2
9、 个城市,求这 2 个城市的月平均期望工资都低于 8 500 元的概率. 14.2022 安徽宿州重点中学高一上期末考试某公司为了解当地用户对其产品的满意度,从该地的 A,B 两地区分别随机调查了 40 名用户,根据用户对产品的满意度评分(单位:分),得到 A 地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和 B 地区的用户满意度评分的频数分布表(如表 1). (1)分别估计 A,B 两地区样本用户满意度评分低于 70 分的频率. (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级(如表 2),将频率看作概率,从 A,B 两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查,求至少有一名用户评分满意度等级
10、为“满意”或“非常满意”的概率. 15. 某校高一年级为了提高教学质量,对老师命制的试卷提出要求,难度系数须控制在0.65,0.7(难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值,例如:满分为 100 分的试卷平均分为 68 分,则难度系数为68100=0.68).某次数学考试(满分 100 分),王老师根据所带班级 100 名学生的等级来估计高一年级 1 800 人的数学成绩情况,已知学生的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,统计数据如图所示. 根据图中的数据,回答下列问题: (1)试估算该校高一年级学生的数学成绩等级为 B 的人数. (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 90 分、
11、80 分、70 分、60 分、50 分,请问按王老师的估计,本次数学考试试卷的命制是否符合要求? (3)王老师决定从数学成绩等级为 A,B 的学生中按分层随机抽样选出 6 人分享学习经验,再从这 6 人中任选 2人,求恰好抽到 1 名数学成绩等级为 A 的学生的概率. 参考答案参考答案 一、一、选择题选择题 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 二、非选择题二、非选择题 7.78 8.15 9.12 10.34 11.(1)3 个红球的分别记为 1,2,3,1 个黑球记为 a,1 个黄球记为 b. 从袋中依次不放回地取出 2 个球,所包含的样本点为 (1,2),(1,3),(2,3)
12、,(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1), (3,2),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共 20 个, 有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共 8 个, 所以这位顾客能获得一件价值 10 元的礼品的概率为820=25. (2)从袋中连续取两次球,每次取 1 球后放回,所包含的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b)
13、, (3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共 25 个, 取出的 2 个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共 4 个, 所以这位顾客能获得一件价值 50 元的礼品的概率为42520%, 所以这位顾客获得一件价值 50 元的商品的可能性不会超过 20%. 12.(1)由题意,知 4+x+20+38+30=100,x=8. 在这 100 份作业中,大三学生的作业共 3+6+15+y+12=(36+y)(份), 则大四学生的
14、作业共(64-y)份. 选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为 32,36:64;=32,解得 y=24. 故大四学生作业共 40 份,其中,成绩在60,70),70,80)的作业份数分别为 2,5,故成绩在60,80)的作业共 7 份. 从选修该门课程的大四学生中随机选取 1 名,估计其作业成绩在60,80)的概率为740. (2)由(1)可知,这 100 份作业中大三学生的作业共 60 份. 则估计大三学生作业的平均成绩为36055+66065+156075+246085+126095=81(分). 13.(1)设“该生选中月平均工资高于 8 500 元的城市”为事件 E, 15 个城市
15、中月平均工资高于 8 500 元的有 6 个, 所以 P(E)=615=25. (2)月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于 1 000 元的城市有 6 个, 其中月平均期望工资高于8 500元的有1个,记为A;月平均期望工资低于8 500元的有5个,记为B1,B2,B3,B4,B5. 选取 2 个城市的样本空间为 AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B2B3,B2B4,B2B5,B3B4,B3B5,B4B5, 共 15 个样本点,其中 2 个城市的月平均期望工资都低于 8 500 元的样本空间为 B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B2B3
16、,B2B4,B2B5,B3B4,B3B5,B4B5,共 10 个样本点. 所以所求概率为1015=23. 14.(1)由题图可得(0.005+0.010+0.015+0.0202+a)10=1,解得 a=0.030, 估计 A 地区样本用户满意度评分低于 70 分的频率为(0.010+0.020+0.030)10=0.6, 估计 B 地区样本用户满意度评分低于 70 分的频率为1040=0.25. (2)根据样本频率可以估计总体频率,记事件 M 表示“从 A 地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”,则P(M)=0.6. 记事件 N 表示“从 B 地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”,则
17、P(N)=0.25. 易知事件 M 和事件 N 相互独立,则事件和事件相互独立. 记事件 C 表示“至少有一名用户评分满意度等级为满意或非常满意”, 则 P(C)=1-P()=1-P(M)P(N)=1-0.60.25=0.85, 故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为 0.85. 15.(1)高一年级学生的数学成绩等级为 B 的人数约为141001 800=252. (2)王老师所带班级数学成绩的平均分为907:8014:7041:6022:5016100=67.4, 所以估计难度系数为67.4100=0.674,符合要求. (3)按分层随机抽样,抽到的 6 人中数学成绩等级为 A 的有 677:14=2(人),编号分别为 a,b,数学成绩等级为 B 的有 6147:14=4(人),编号分别为 1,2,3,4. 从 6 人中任选 2 人,其样本空间为ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共 15 个样本点. 选到的 2 人中恰有 1 名数学成绩等级为 A,其样本空间为a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,共 8 个样本点, 所以恰好抽到 1 名数学成绩等级为 A 的概率为815.
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