1、第二十二章二次函数第二十二章二次函数 第第 5 5 讲二次函数的图象和性质讲二次函数的图象和性质 知识导航知识导航 1.二次函数的概念。 2.二次函数的图象与性质。 3.图象的平移规律。 【板块一】二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质 方法技巧方法技巧 理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题. 题型一题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例 1】(1)抛物线 y2x1 的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；二次函数 y12(x1)2 的图象的开口方向
2、是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是(1.2). (2)抛物线 y2x1 在 x 轴的 方；当 x0 时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最低点；抛物线y12(x1)2，当 x 时，它的图象在 x 轴的 ，顶点是 。 题型二题型二 抛物线的开口大小抛物线的开口大小 【例 2】如图，若抛物线 yax与四条直线 x1，x2，y1，y2 围成的正方形 ABCD 有公共点，则 a 的取值范围是( ) A.14a1 B12a2 C.12a1 D.14a2 【例 3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出yx；y12x，y2x的图象，则三个图象 I，对应的抛物线的解析式依次是 . 题型三题型三 抛物线的对称性抛物线
3、的对称性 【例 4】 抛物线 yaxbx5 经过 A(2,5).B(1,2)两点。 若点 C 在该抛物线上， 则点 C 的坐标可能是( ) A.(2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2) xyO 针对练习针对练习 1 1.已知二次函数 y13x1，其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点。 2.如图， 点 A1， A2， ， An。 在抛物线 yx上， 点 B1， B2， .， Bn。 在 y 轴上， 若101BBA， 212BBA， ，nnnBBA1。都为等腰直角三角形(点0B为坐标原点)，则202120202021BBA的腰长等于( ) A.
4、2020 B.2021 C.20202 D.20212 3.如图，抛物线 ya(xh)k 与 x 轴的一个交点 A 在点(2，0)和(1，0)之间(包括这两个点)，顶点 C是矩形 DEFG 区域内(包括边界和内部)的一个动点，则 a 的取值范围是 . xyA2A1B2B1B0 xyD1234561212314抛物线 y(xh)k 过点 A(2，6)，且对称轴与线段 BC 有交点，B(1，0)，C(4，0)，求 k 的取值范围. 5.已知 A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线 yaxbx2018(a0)上的两点，则当 xx1x2时，二次函数的值是( ) A.22ba5 B.24ba
5、5 C.2019 D.2018 【板块二】二次函数的增减性【板块二】二次函数的增减性 方法技巧方法技巧 比较二次函数值的大小的方法： (1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较. (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。 题型一题型一 运用二次函数的增减性比较大小运用二次函数的增
6、减性比较大小 【例 1】若点 A(4，y1)，B(3，y2).C(3，y3)为二次函数 y(x1)k 的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y1y3y2： 【例 2】下列关于函数 y(x3)1 的四个命题：当 x0 时，y 有最小值 10；n 为任意实数，x3n时的函数值大于 x3n 时的函数值； 若 n3， 且 n 是整数， 当 nrn1 时，y 的整数值有(2n 一 4)个；若函数图象过点(a，y0)和(b，y01)，其中 a0，b0，则 ab，其中真命题的序号是( ) A. B. C. D. 题型二运用二次函数的
7、增减性求对称轴的取值范围题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围 【例 3】二次函数 y(xh)2 的图象上有两点 A(1，y1)，B(2，y2)，若 y1y2，则 h 的取值范围为 题型三题型三 增减性与顶点的联系增减性与顶点的联系 【例 4】 关于 x 的二次函数 y(xm)1， 当1x3 时， 函数有最小值2m11， 则 m 的值为_ 针对练习针对练习 2 1.若抛物线 yax(a0)经过点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y2y1y3 D.y3y1y2 2.二次函数 y(xh)1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足
8、 1x3 时，其函数 y 的最小值为 5，则 h 的值为( ) A.1 或5 B.1 或 5 C.1 或3 D.1 或 3 3.已知关于正整数 x 的二次式 y2x22bxc(b，c 为实数)，若当且仅当 x4 时，y 有最小值，则实数 b 的取值范围是_. 【板块三】抛物线的平移、对称变换【板块三】抛物线的平移、对称变换 方法技巧方法技巧 题型一题型一 抛物线沿水平向平移探究抛物线沿水平向平移探究 【例 1】将二次函数 yx的图象向左平移 1 个单位长度得到 y_；将二次函数 y12(x1)的图象向右平移 2 个单位长度得到 y_ 【例 2】在平面直角坐标系中，平行于 x 轴的直线与抛物线
9、yax相交于 A，B 两点(点 B 在第一象限)，当 a1，点 B 的纵坐标为 2 时，向右平移抛物线使该抛物线经过点 B，与 AB 的延长线交于点 C，求平移后的抛物线的解析式. 题型二题型二 抛物线沿竖直方向的平移探究抛物线沿竖直方向的平移探究 【例 3】 将二次函数 y12(x2)1 的图象沿 y 轴向上平移得到一个新函数的图象， 其中点 A(1， m)， B(4，n)平移后的对应点分别为 A，B.若曲线段 AB 扫过的面积为 9，则新图象的函数解析式是( ) A.y12(x2)2 B.y12(x2)7 C.y12(x2)5 D.y12(x2)4 题型三抛物线沿斜倾方向平移探究题型三抛物
10、线沿斜倾方向平移探究 【例 4】将二次函数 y3(x1)2 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的图xyCABOxyABABOxyNMBAABO象的解析式是( ) A.y3(x3)5 B.y3(x1)1 C.y3(x3)1 D.y3(x1)5 【例 5】将抛物线 y12(x1)2 沿直线 yx 向右上平移 22个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_ 题型四抛物线对称变换探究题型四抛物线对称变换探究 【例 6】将抛物线 y(x1)4 沿 x 轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_ 【例 7】将抛物线 y(x1)4 绕点(1，2)旋转 180，所得新抛物线的解析为 y(x
11、3). 针对练习针对练习 3 1.抛物线 y(x4)3 通过怎样平移可得到抛物线 yx？ 2.将抛物线 y2x向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线的解析式为( ) A.y2(x3)5 B.y2(x3)5 C.y2(x3)5 D.y2(x3)5 3.如图， 抛物线的顶点为 P(2， 2)， 与 y 轴交于点 A(0， 3)， 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到 P(2，2)，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段所扫过的区域(阴影部分)的面积为 . 4.已知抛物线 C:y(x1)2. (1)将抛物线 C 向左平移 2 个单位长度，再沿 x 轴作轴对称变换
12、，得到抛物线 C1，求 C1的解析式； (2)将抛物线 C 沿直线 x3 作轴对称变换，得到抛物线 C2，求 C2的解析| 5.若将抛物线 y3(x1)2 绕点(1，2)旅转 180，求所得新抛物线的解析式 6将抛物线 y(x2)1 沿直线 y34x34的方向平移后恰好经过点(5，32)，求平移后的抛物线的解析式。 xyAPPAO第二十二章二次函数第二十二章二次函数 第 5 讲 二次函数的图象和性质 知识导航知识导航 1.二次函数的概念。 2.二次函数的图象与性质。 3.图象的平移规律。 【板块一】二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质 方法技巧方法技巧 理解并掌握二次函数的图象的
13、形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题. 题型一题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例 1】(1)抛物线 y2x1 的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y12(x1)2 的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x1 ，顶点坐标是(1.2). (2)抛物线 y2x1 在 x 轴的 上 方；当 x0 时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线 y12(x1)2，当 x 为全体实数 时，它的图象在 x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。 【解析】
14、当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下，ya(xh)k 的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线 xh；当 a0 时，抛物线的顶点为最低点，当 a0 时，抛物线的顶点为最高点。 题型二题型二 抛物线的开口大小抛物线的开口大小 【例 2】如图，若抛物线 yax与四条直线 x1，x2，y1，y2 围成的正方形 ABCD 有公共点，则 a 的取值范围是( ) A.14a1 B12a2 C.12a1 D.14a2 【解析】确定 a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点 D 时，开口最小；抛物线经过点 B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的 a 值分别 2，14，14a2. 故选
15、【点评】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。 【例 3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出yx；y12x，y2x的图象，则三个图象 I，对应的抛物线的解析式依次是 . 【解析】当 a0 时，开口向上，当 a0 时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故抛物线 I 的解析式为 y12x，抛物线的解析式为 y2x；抛抛物线的解析式为 yx.故填 题型三题型三 抛物线的对称性抛物线的对称性 【例 4】 抛物线 yaxbx5 经过 A(2,5).B(1,2)两点。 若点 C 在该抛物线上， 则点 C 的坐标可能是( ) A.(2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2
16、) D.(2,2) 【解析】抛物线经过(0，5)，A(2,5)，由对称性可知对称轴为直线 x1，由对称性知点 B(1，2)关于对称轴的对称点为(3，2)，故选 C. 针对练习针对练习 1 1.已知二次函数 y13x1，其图象的开口向 下 ，对称轴为 直线 x0 ，顶点坐标为 (0,1) ，该图象的顶点是最 高 点。 2.如图， 点 A1， A2， ， An。 在抛物线 yx上， 点 B1， B2， .， Bn。 在 y 轴上， 若101BBA， 212BBA， ，nnnBBA1。都为等腰直角三角形(点0B为坐标原点)，则202120202021BBA的腰长等于( ) A.2020 B.2021
17、 C.20202 D.20212 xyO 【答案】选 C 3.如图，抛物线 ya(xh)k 与 x 轴的一个交点 A 在点(2，0)和(1，0)之间(包括这两个点)，顶点 C是矩形 DEFG 区域内(包括边界和内部)的一个动点，则 a 的取值范围是 34 a225 . 【答案】34 a225 4抛物线 y(xh)k 过点 A(2，6)，且对称轴与线段 BC 有交点，B(1，0)，C(4，0)，求 k 的取值范围. 解：1h4，k6(2h)，2k6. 5.已知 A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线 yaxbx2018(a0)上的两点，则当 xx1x2时，二次函数的值是( ) A.2
18、2ba5 B.24ba5 C.2019 D.2018 解：由抛物线的对称性知 A，B 关于对称轴 x2ba对称，.x1x2ba，当 xx1x2时，ya(ba)xyA2A1B2B1B0 xyD123456121231b(ba)20182018.故选 【板块二】二次函数的增减性【板块二】二次函数的增减性 方法技巧方法技巧 比较二次函数值的大小的方法： (1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较.
19、 (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。 题型一题型一 运用二次函数的增减性比较大小运用二次函数的增减性比较大小 【例 1】若点 A(4，y1)，B(3，y2).C(3，y3)为二次函数 y(x1)k 的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y1y3y2： 【解析】对称轴为直线 x1，点 C(3，y1)关于直线 x1 的对称点 C(5，y3)，a0，543，y2y1y3，应选 B. 【例 2】下列关于函数
20、y(x3)1 的四个命题：当 x0 时，y 有最小值 10；n 为任意实数，x3n时的函数值大于 x3n 时的函数值； 若 n3， 且 n 是整数， 当 nrn1 时，y 的整数值有(2n 一 4)个；若函数图象过点(a，y0)和(b，y01)，其中 a0，b0，则 ab，其中真命题的序号是( ) A. B. C. D. 【答案】 题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围 【例 3】二次函数 y(xh)2 的图象上有两点 A(1，y1)，B(2，y2)，若 y1y2，则 h 的取值范围为 【解析】a0，y1y2，点 B 距离对称轴较近，.h12h
21、，h2 题型三题型三 增减性与顶点的联系增减性与顶点的联系 【例 4】 关于 x 的二次函数 y(xm)1， 当1x3 时， 函数有最小值2m11， 则 m 的值为_ 【解析】当顶点(m，1)在区间的左侧，即 m1 时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，当 x1时，有最小值12(1m)12m11，解得 m1342，m2342(舍)，当1m3 时，2m111，解得 m6(舍)当 m3 时，y 随 x 的增大而减小，当 x3 时，有最小值12，(3m)12m11，解得 m13(舍)，m25，综上，m 的值为342或 5. 针对练习针对练习 2 1.若抛物线 yax(a0)经过点 A(1，y
22、1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y2y1y3 D.y3y1y2 【答案】A 2.二次函数 y(xh)1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足 1x3 时，其函数 y 的最小值为 5，则 h 的值为( ) A.1 或5 B.1 或 5 C.1 或3 D.1 或 3 【答案】B 3.已知关于正整数 x 的二次式 y2x22bxc(b，c 为实数)，若当且仅当 x4 时，y 有最小值，则实数 b 的取值范围是_. 解：对称轴为 x2b，x 为正整数；722b92(注；对称轴要靠近 x4)，9b7. 【板块三】抛物线的平移、对称变换【板块三】抛物
23、线的平移、对称变换 方法技巧方法技巧 题型一题型一 抛物线沿水平向平移探究抛物线沿水平向平移探究 【例 1】将二次函数 yx的图象向左平移 1 个单位长度得到 y_；将二次函数 y12(x1)的图象向右平移 2 个单位长度得到 y_ 【解析】向左平移 1 个单位长度，自变量 x 变为(x1)，即 y(x1)2，向右平移 2 个单位长度，自变量 x 变为(x2)，即 y12(x3). 【例 2】在平面直角坐标系中，平行于 x 轴的直线与抛物线 yax相交于 A，B 两点(点 B 在第一象限)，当 a1，点 B 的纵坐标为 2 时，向右平移抛物线使该抛物线经过点 B，与 AB 的延长线交于点 C，
24、求平移后的抛物线的解析式. 【解析】yx，当 y2 时，2x，.xA2，xB2，AB22，将 yx向右平移 22个单位，则平移后的抛物线的解析式为 y(x22). 题型二题型二 抛物线沿竖直方向的平移探究抛物线沿竖直方向的平移探究 【例 3】 将二次函数 y12(x2)1 的图象沿 y 轴向上平移得到一个新函数的图象， 其中点 A(1， m)， B(4，n)平移后的对应点分别为 A，B.若曲线段 AB 扫过的面积为 9，则新图象的函数解析式是( ) A.y12(x2)2 B.y12(x2)7 C.y12(x2)5 D.y12(x2)4 【解析】连接 AB，AB，则 S阴影S四边形AAB，由平移
25、可知，AABB.AA/BB，四边形 ABA是平行四边形，分别延长 AA，BB，交 x 轴于点 M，N.A(l，m).B(4，n)，MN413，S平行四边形ABBAAA*MN，93AA，AA3，即沿 y 轴向上平移了 3 个单位长度，平移后的函数的解析式为 y12(xxyCABOxyABABOxyNMBAABO2)4.故选 D. 题型三抛物线沿斜倾方向平移探究题型三抛物线沿斜倾方向平移探究 【例 4】将二次函数 y3(x1)2 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的图象的解析式是( ) A.y3(x3)5 B.y3(x1)1 C.y3(x3)1 D.y3(x1)5
26、【解析】y3(x1)2 的顶点坐标为(1，2)，平移后的顶点坐标为(1，1)，平移后的图象所对应的解析式为 y3(x1)1，故选 B. 【例 5】将抛物线 y12(x1)2 沿直线 yx 向右上平移 22个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_ 【解析】 沿直线 yx 方向向右上平移 22个单位长度， 可分解为先向右平移 2 个单位， 再向上平移 2 个单位，因此平移后的解析式 y12(x1). 题型四抛物线对称变换探究题型四抛物线对称变换探究 【例 6】将抛物线 y(x1)4 沿 x 轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_ 【答案】y(x1)4. 【例 7】将抛物线 y(x1)4 绕点(1，2)旋
27、转 180，所得新抛物线的解析为 y(x3). 【解析】原抛物线的顶点为(1，4).点(1，4)关于(1，2)的对称点为(3，0)，而开口方向相反，所得新抛物线的解析式为 y(x3). 针对练习针对练习 3 1.抛物线 y(x4)3 通过怎样平移可得到抛物线 yx？ 解：抛物线 y(x4)3，向左平移 4 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到抛物线 yx。 2.将抛物线 y2x向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线的解析式为( ) A.y2(x3)5 B.y2(x3)5 C.y2(x3)5 D.y2(x3)5 【答案】A 3.如图， 抛物线的顶点为 P(2，
28、2)， 与 y 轴交于点 A(0， 3)， 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到 P(2，2)，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段所扫过的区域(阴影部分)的面积为 12 . 【答案】12 4.已知抛物线 C:y(x1)2. (1)将抛物线 C 向左平移 2 个单位长度，再沿 x 轴作轴对称变换，得到抛物线 C1，求 C1的解析式； (2)将抛物线 C 沿直线 x3 作轴对称变换，得到抛物线 C2，求 C2的解析| 解：(1)y(x1)2；(2)y(x5)2. 5.若将抛物线 y3(x1)2 绕点(1，2)旅转 180，求所得新抛物线的解析式 解：原抛物线的顶点为(1，2)，点(1，2)绕点(1，2)旋转 180的对应点(3，6)，且开口方向相反，所得新抛物线的解析式为 y3(x3)6. 6将抛物线 y(x2)1 沿直线 y34x34的方向平移后恰好经过点(5，32)，求平移后的抛物线的解析式。 解：原抛物线的顶点为(2,1)，新抛物线的顶点在直线 y34x52上， 新抛物线可设为 y(xt)34t52，32(5t)34t52， t5 或 t214,平移后抛物线的解析式为 y(x4)12或 y(x214)2316。 xyAPPAO
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