1、第第 2 2 讲讲 根的判别式与根系关系根的判别式与根系关系 知识导航 1.一元二次方程根的判别式； 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【板块一】一元二次方程根的判别式 方法技巧 1.不解方程，判断一元二次方程根的情况； 2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围； 3.解决一元二次方程的整数根的问题； 4.求代数式的最值； 5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题； 题型一题型一 用于参数方程根的判定用于参数方程根的判定 【例 1】关于x的一元二次方程2(3)220 xaxa （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求a的取值范围
2、 题型二题型二 判别式求参数的取值范围判别式求参数的取值范围 【例 2】若关于x的方程22(1)2(2)10mxmx 有实数根，求m的取值范围 【例 3】已知关于x的一元二次方程2(12 )2110k xkx 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【例 4】若关于x的方程24xax只有3个不相等的实数根，求a的值或取值范围. 题型三题型三 判别式用于整数根问题判别式用于整数根问题 例例 5 当m 是什么整数时， 关于x 的方程2440mxx与2244450 xmxmm的根都是整数？ 题型四题型四 判别式法求极值判别式法求极值 例 6 若 x，y 是实数，且224644mxxyyxy,试确定 m
3、 的最小值 针对练习针对练习 1 1、当 k 时，关于 x 的二次三项式22(1)7xkxk是完全平方式 2、已知关于 x 的方程21(1)(1)04kxkx有两个相等的实数根，求 k 的值 3、m 为何值时，关于 x 的方程2(1)230mxmxm （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？ 4、已知关于 x 的一元二次方程2()2()0ac xbxac，其中 a,b,c 分别为ABC 的三边长 （1）如果 x1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次
4、方程的根. 5、若关于 x 的方程23xxm有且只有两个不相等的实数根，求 m 的值或取值范围. 板块二板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 方法技巧方法技巧 1、求方程中字母系数的值或取值范围 2、求代数式的值 3、结合根的判别式，判断根的符合特征； 利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：a0,判别式0 题型一题型一 根的定义与根系关系结合求值根的定义与根系关系结合求值 （一）对称式求值（一）对称式求值 例例 1 若2212510 ,
5、520,2baabaabbab ，且求的值 （二）非对称式求值（二）非对称式求值 例例 2 设方程210 xx 的两个根是12,x x，求5312410 xx的值 题型二题型二 求方程中待定系数的值求方程中待定系数的值 （一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值 例例 3 已知关于 x 的方程222(1)20 xmxm （1）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）若两实数根12,x x满足12(1)(1)8xx，求 m 的值 （二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验（二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验 例 4
6、 已知12,x x是关于 x 的一元二次方程22(31)210 xaxa 的两个实数根，使得 1212(3)(3)80 xxxx 成立，求其实数 a 的可能值 题型三题型三 利用根系关系求最值利用根系关系求最值 例 5 若关于 x 的方程222320 xmxmm有两个实数根12,x x，求21212()x xxx的最小值 题型四题型四 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 例 6 当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程2510 xxm 的两根都大于 2？ 例 7 已知关于 x 的一元二次方程2(23)100kxkx的两根都是负数，求 k 的取值范围 针对练习针对练习 2 1、若实数 a
7、,b 满足2252012909201250,0aaabbabb及且，则（ ） A.59 B.95 C.20125 D.52012 2、已知 a,b 是关于 x 的方程2(5)70 xmx的两个根，则22(7)(7)amabmb（ ） A.365 B.245 C.210 D.175 3、已知12,x x是关于 x 的方程22(21)350 xkxkk的两个实数根，且221239xx，则 k 的值为 4、已知方程2310 xx 的两个根为，求的值 5、已知 a,b 是方程240 xx的两个实数根，求32510ab的值 6、 已知关于 x 的方程2()10 xab xab 的两根12,x x， 给出
8、四个结论中： 12xx； 12x xab；222212xxab；若12xx，且 ab,，则12()()0 xa xb正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 7已知 a2，m22m20，n22an20，且 mn，则(m1) 2(n1)2的最小值是( ) A6 B3 C3 D0 8已知关于 x 的方程 x2(2k1)xk210 有两个实数根 x1，x2 (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 x1，x2满足 x12x2216x1x2，求实数 k 的值 9已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2xt0 的两个非负实数根设 yx14x24的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 10已知关于
9、x 的方程(k1)x22kx20 (1)求证：无论 k 为何值，方程总有实数根； (2)设 x1，x2是方程(k1)x22kx20 的两个根，记 S21xx12xxx1x2，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值若不能，请说明理由 11已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x22(m1)xm250 的两个实数根 (1)若(x11)(x21)19，求 m 的值； (2)已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长 第第 2 讲讲 根的判别式与根系关系根的判别式与根系关系 知识导航 1.一元二次方程根的判别式； 2.一元二次方程根与系
10、数的关系（韦达定理） 【板块一】一元二次方程根的判别式 方法技巧 1.不解方程，判断一元二次方程根的情况； 2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围； 3.解决一元二次方程的整数根的问题； 4.求代数式的最值； 5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题； 题型一题型一 用于参数方程根的判定用于参数方程根的判定 【例 1】关于x的一元二次方程2(3)220 xaxa （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求a的取值范围 【解析】 （1）22(3)4 1 (22)(1)0aaa ，方程总有两个实数根； （2）2(3)22(2)(1)0 xax
11、axxa，12x ，21xa， 13a ，2a 题型二题型二 判别式求参数的取值范围判别式求参数的取值范围 【例 2】若关于x的方程22(1)2(2)10mxmx 有实数根，求m的取值范围 【解析】分两种情况讨论：210m ，此时222(2)4(1)0mm ，解得54m且1m ； 210m ，即1m ，此时方程为一元一次方程，显然有实数根. 综合两种情况，得出m的取值范围为54m 【例 3】已知关于x的一元二次方程2(12 )2110k xkx 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【解答】2( 21)4 (12 )( 1)0kk ，且120k，且10k 解得12k，且12k k的取值范围是1
12、2k且12k 【点评】注意例 2 与例 3 的区别与联系 【例 4】若关于x的方程24xax只有3个不相等的实数根，求a的值或取值范围. 【解析】原方程可化为下面两个方程：240 xax，240 xax， 方程21160a ，方程22160a 因为12 ， 所以只可能20 ，即4a 故4a 题型三题型三 判别式用于整数根问题判别式用于整数根问题 例例 5 当m 是什么整数时， 关于x 的方程2440mxx与2244450 xmxmm的根都是整数？ 解析：由两个方程都有实数根，得514m， m 为整数， m1,0,1 当 m0 时，代入第二个方程，得250 ,5xx ，不合题意，舍去 当 m1
13、时，方程2440mxx为212440 ,2xxxx其根为 方程2244450 xmxmm为2450 xx，其根为125,1xx 当 m1 时，方程2440mxx为2440 xx其根不是整数； 综上，当 m1 时，方程2440mxx与2244450 xmxmm的根都是整数 题型四题型四 判别式法求极值判别式法求极值 例 6 若 x，y 是实数，且224644mxxyyxy,试确定 m 的最小值 解析： 解法一： 将原等式改写为2246440 xxyyxym， 即22(44)640 xyxyym， x 是实数， 判别式0，即22(44)4(64)0yyym， 配方，得28(3)8840ym， 当
14、y3 时，m 有最小值22 解法二：2222224(1)(22)64(22)(22)2(3)22mxyxyyyyxyy 当 x2y20 且 y30 时，即 x8 且 y3 时，m 取得最小值22 针对练习针对练习 1 1、当 k 时，关于 x 的二次三项式22(1)7xkxk是完全平方式 解：3 或 2 2、已知关于 x 的方程21(1)(1)04kxkx有两个相等的实数根，求 k 的值 解： 关于 x 的方程21(1)(1)04kxkx有两个相等的实数根，0 且 k10 221 (1)4(1)03204kkkk，解得 k1(舍去)或 k2， k2 3、m 为何值时，关于 x 的方程2(1)2
15、30mxmxm （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？ 解： （1）由题意得 m1 且0，得312mm且，当312mm且时，方程有两个实数根 （2）由题意，方程为一元一次方程，此时 m10, 当 m1 时，方程为 2x40，方程只有一个实数根 （3）当 m1 时，方程 2x40，方程有一个实数根；当 m1 时，由题意得 23=2 )4(1)(3)8120.2mmmmm （解得 当312mm且时，方程有两个实数根。综上所述，32m 时，方程有实数根 4、已知关于 x 的一元二次方程2()2()0ac xbxac，其中 a,b,c 分别为ABC 的三边长 （1）如果 x1 是方程
16、的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：（1）ABC 是等腰三角形，理由如下：把 x1 代入方程，得 ac2bac0,所以 ab，故ABC 是等腰三角形 （2） ABC 是直角三角形， 理由如下： 方程有两个相等的实数根， 则2222(2 )4()()0bac acabc，故2222(2 )4()()0bac acabc （3）如果ABC 是等边三角形，则 abc，所以方程可化为：2220axax，所以方程的解为120 ,1xx 5、若关于 x 的方程23xx
17、m有且只有两个不相等的实数根，求 m 的值或取值范围. 解：当 m0 时，方程230 xx，显然有两个不相等的实数根；当 m0 时，有230 xxm或230 xxm，1=9+4m，2=94m，很明显，12 因此94099404mmm解得，故 m 的取值范围是 m0 或94m 板块二板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 方法技巧方法技巧 1、求方程中字母系数的值或取值范围 2、求代数式的值 3、结合根的判别式，判断根的符合特征； 利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根
18、与系数的关系解题时，必须满足：a0,判别式0 题型一题型一 根的定义与根系关系结合求值根的定义与根系关系结合求值 （一）对称式求值（一）对称式求值 例例 1 若2212510 ,520,2baabaabbab ，且求的值 解析 222112510,520520aabbaa ；又， 1,ba可以看成是关于 x 的一元二次方程2520 xx的两根， 115 22,22 2222bbabaaab （二）非对称式求值（二）非对称式求值 例例 2 设方程210 xx 的两个根是12,x x，求5312410 xx的值 解析 由210 xx 得21xx ，由韦达定理得121xx 故532121122124
19、104(1)10(1)20()2242xxxxxxxx 点评 利用根的定义，将非对称式转化为对称式，再利用根系关系求值. 题型二题型二 求方程中待定系数的值求方程中待定系数的值 （一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值 例例 3 已知关于 x 的方程222(1)20 xmxm （1）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）若两实数根12,x x满足12(1)(1)8xx，求 m 的值 解析： （1） 方程总有两个实数根， 221 2(1)4(2)0,2mmm 得 （2）12,x x为方程的两个实数根， 212122(1)
20、,2xxmx xm 121212(1)(1)18xxx xxx 222218mm ， 解得121,3mm （舍去） m1 （二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验（二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验 例 4 已知12,x x是关于 x 的一元二次方程22(31)210 xaxa 的两个实数根，使得 1212(3)(3)80 xxxx 成立，求其实数 a 的可能值 解析 12,x x是关于 x 的一元二次方程22(31)210 xaxa 的两个实数根， 21212(31),21xxax xa ，而1212(3)(3)80 xxxx 221122310380 xx xx 212123(
21、)1680 xxx x 223 (31)16(21)80aa 233518990,35aaa或 当 a3 时，22(31)210 xaxa 的0,不合题意舍去， 335a 题型三题型三 利用根系关系求最值利用根系关系求最值 例 5 若关于 x 的方程222320 xmxmm有两个实数根12,x x，求21212()x xxx的最小值 解析 2222121212121212()()x xxxx xxxxxx x 又 122xxm 21232x xmm 原式222215( 2 )(32)3323()24mmmmmm 方程有实数根， 2244(32)0mmm 23m 当21533224mmm时，最小
22、值为 题型四题型四 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 例 6 当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程2510 xxm 的两根都大于 2？ 解析 方程有两根都大于 2 的条件是0，122)(2)0 xx（，由此得到关于 m 的不等式254(1)0215110404mmm 解得 例 7 已知关于 x 的一元二次方程2(23)100kxkx的两根都是负数，求 k 的取值范围 解析： 原方程有两个实数根， k0,0,即2(23)4 (10)2890kk kk 解得9028kk 且又原方程的两根都是负数，若设方程两实数根为12,x x 122330,02kxxkkk 解得或 12100,10
23、0kx xkkk解得或 所以 k 的取值范围是901028kk或 针对练习针对练习 2 1、若实数 a,b 满足2252012909201250,0aaabbabb及且，则（B ） A.59 B.95 C.20125 D.52012 2、已知 a,b 是关于 x 的方程2(5)70 xmx的两个根，则22(7)(7)amabmb（ D ） A.365 B.245 C.210 D.175 3、已知12,x x是关于 x 的方程22(21)350 xkxkk的两个实数根，且221239xx，则 k 的值为 3 4、已知方程2310 xx 的两个根为，求的值 解：3 5、已知 a,b 是方程240
24、xx的两个实数根，求32510ab的值 解： a,b 是方程240 xx的两个实数根， ab1,24aa,24bb 32510ab= (4)5(4)105()1419aabab 6、 已知关于 x 的方程2()10 xab xab 的两根12,x x， 给出四个结论中： 12xx； 12x xab；222212xxab；若12xx，且 ab,，则12()()0 xa xb正确结论的序号是（ B ） A. B. C. D. 7已知 a2，m22m20，n22an20，且 mn，则(m1) 2(n1)2的最小值是( ) A6 B3 C3 D0 答案：A 8已知关于 x 的方程 x2(2k1)xk2
25、10 有两个实数根 x1，x2 (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 x1，x2满足 x12x2216x1x2，求实数 k 的值 答案： (1)方程有两个实数根，(2k1)24(k21)0，得 k54； (2)x1x212k，x1x2k21，x12x22(x1x2)22x1x2(12k)22(k21)16k21， 解得 k12，k26(舍去)，k54，k2 9已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2xt0 的两个非负实数根设 yx14x24的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 答案：x1x21，x1x2t，yx14x24(x1x2)22x1x222x12x222t24t12(t1)21，
26、 根据题意14t0，t14，又x1，x2为非负实数根，t0，0t14 当 t0 时，y 取得最大值 M，且 M1， 当 t14时，y 取得最小值 m、且 m18，Mm78 10已知关于 x 的方程(k1)x22kx20 (1)求证：无论 k 为何值，方程总有实数根； (2)设 x1，x2是方程(k1)x22kx20 的两个根，记 S21xx12xxx1x2，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值若不能，请说明理由 答案： (1)当 k10 即 k1 时，方程为一元一次方程 2x2、x1 有一个解； 当 k10 即 k1 时，方程为一元二次方程， (2k)242(k1)4k28k84(k
27、1)240，方程有两不等根 综合得：无论 k 为何值，方程总有实数根； (2)由一元二次方程根与系教的关系得：x1x221kk，x1x2t21k ， 又S21xx12xxx1x22k2，当 S2 时，2k22，解得 k2 S 的值能为 2，此时 k 的值为 2 11已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x22(m1)xm250 的两个实数根 (1)若(x11)(x21)19，求 m 的值； (2)已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长 答案： (1)x1，x2是一元二次方程的两个实数根，x1x22(m1)，x1x2m25， (x11)(x21)x1x2(x1x2)1m252(m1)119，解得 m15，m23； 4(m1)24(m25)0，m2，m5； (2)当 x17 时，代人方程得 722(m1)7m250解得 m14m210 当 m4 时，x23； 当 m10 时，x215，此时 7715，不能组成三角形 当 x1x2时，方程有两个相等的实数根， 8m160，m2， x1x26，x1x23，此时 337，不能组成三角形 这个三角形的周长77317
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