1、第第 22 章相似形章相似形 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4 分，共计分，共计 40 分）分） 1下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A2cm，3cm，4cm，6cm B2cm，3cm，4cm，5cm C1cm，2cm，3cm，4cm D3cm，4cm，6cm，9cm 2已知（x0，y0） ，则下列错误的是（ ） A B C D 3如图：ABCDEF，AD：DF3：1，BE12，那么 CE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 4如图，在ABC 中，D 在 AC 边上，AD：DC1：2，O 是 BD 的中点，连接 AO 并延长交 BC 于 E，若BE1，则 EC（
2、） A B2 C3 D4 5如图，ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD 相似的是（ ） AAB2BDBC BBDABAC CADCC+B DADBCABAC 6如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，A，B，C，D 四个点均在格点上，AC 与 BD 相交于点 E，连接 AB，CD，则ABE 与CDE 的周长比为（ ） A1：4 B4：1 C1：2 D2：1 7 某天小明和小亮去某影视基地游玩， 当小明给站在城楼上的小亮照相时， 发现他自己的眼睛、 凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图） 已知小明的眼睛离地面的距离 AB 为 1.6 米，凉亭顶
3、端离地面的距离 CD 为 1.9 米，小明到凉亭的距离 BD 为 2 米，凉亭离城楼底部的距离 DF 为 38 米，小亮身高为1.7 米那么城楼的高度为（ ） A7.6 米 B5.9 米 C6 米 D4.3 米 8直角三角形 ABC 中，C90，三个正方形如图放置，边长分别为 a，b，c，已知 a2，b3，则 c值为（ ） A4 B2 C5 D6 9 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O， 点 E 是 OA 的中点， 连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已知 SAEF3，则下列结论：；SBCE27；SABE12；AEFACD其中一定正确的是（ ） A B C D
4、10如图，在 RtABC 中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，P 是 AE 边上一点，连结 PC 并延长交 HI 于点 Q，连结 CG 交 AB 于点 K若，则的值为（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 11我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形如图，已知矩形 ABCD 是黄金矩形，点 E 在边 BC 上，将这个矩形沿直线 AE 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 F 处，那么 EF 与 CE 的比值等于 12如图，一块三角形余料 ABC，它的边 BC80cm，高 AD60cm现在要把它加工成如
5、图所示的两个大小相同的正方形零件 EFGH 和 FGMN，则正方形的边长为 cm 13如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 的中点，连接 AE 交对角线 BD 于点 G，连接 BF 交 AE于点 H则 14如图，点 E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点，点 F 是 AB 上的一点，点 G 是 BC 上的一点，先以 CE 为对称轴将CDE 折叠，使点 D 落在 CF 上的点 D处，再以 EF 为对称轴折叠AEF，使得点 A 的对应点 A与点 D重合，以 FG 为对称轴折叠BFG，使得点 B 的对应点 B落在 CF 上 （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形） ； （
6、2）若A60，则的值为 三解答题（共三解答题（共 9 小题，小题，15、16、17、18 每题每题 8 分，分，19、20 每题每题 10 分，分，21、22 每题每题 12 分，分，23 题题 14 分，总共分，总共 90 分）分） 15如图，在ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 AC，CD4，BD2 求证：ACDBCA 16 （改编版）如图，已知 ABAC，BAC60，DAE120，探究并证明 DE、CD、BE 之间的数量关系 17如图，一块直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的边 BC 上，并且使一条直角边经过点 D另一条直角边与 AB 交于点 Q 求证：BPQCDP
7、18如图，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，1） ，B（1，2） ，C（4，3） 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 放大为原来的 2 倍得到A1B1C1，作出A1B1C1，并写出 A1，B1，C1的坐标 19如图 1，在ABC 中，ADBC 于点 D，ADBD，点 E 为边 AD 上一点，且 DEDC，连接 BE 并延长，交 AC 于点 F （1）求证：BEDAEF； （2） 过点 A 作 AGBC 交 BF 的延长线于点 G， 连接 CG， 如图 2 若 DE2AEAD， 求证： 四边形 ADCG是矩形 20如图，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相
8、交于点 B，直线 yx 与直线相交于点 C，点 P 是线段 OA 上一动点（点 P 不与点 O，A 重合） ，过点 P 作 PQx 轴交 AB于点 Q，以 OP，PQ 为邻边作矩形 OPQR，点 R 在 OB 上设 OPt，矩形 OPQR 与OAC 重叠部分的面积为 S （1）求点 C 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数解析式，并直接写出自变量 t 的取值范围 21如图，矩形 ABCD 中，AB15cm，BC10cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 匀速移动，动点 Q 从点 D 出发，沿 DA 边以 1cm/s 的速度向点 A 匀速移动，一个动点到达
9、端点时，另一个动点也停止运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，APQ 的面积为 16cm2？ （2）t 为何值时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似 22如图，在正方形 ABCD 中，AB3，E 是对角线 AC 上的点，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交 AB 于点F，连接 DF 交 AC 于点 G （1）求证：DEEF； （2）求证：DG2GEGC； （3）若 AF1，求 EG 的长 23四边形 ABCD 是正方形，E 是 AB 边上的一点，G 是 DE 上的点，AFG 是等腰直角三角形，AGFG （1）如图 1，连接 DF、EF，若点 G 是
10、 DE 的中点： 求EFD 的度数；连接 BF，证明：ABFDBE； （2）点 E 是 AB 的中点，点 G 是射线 DE 上一点时，如图 2，已知 AB2，当 FG 与正方形 ABCD 的对角线平行，求 DG 的长 第第 22 章相似形章相似形 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A2cm，3cm，4cm，6cm B2cm，3cm，4cm，5cm C1cm，2cm，3cm，4cm D3cm，4cm，6cm，9cm 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案 【解答】解：A、2634， 四条线
11、段成比例，故符合题意； B、2543， 四条线段不成比例，故不符合题意； C、1423， 四条线段不成比例，故不符合题意； D、3946， 四条线段不成比例，故不符合题意 故选：A 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断 2已知（x0，y0） ，则下列错误的是（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答 【解答】解：， 4x3y， A、， 4x3y， 故 A 不符合题意； B、， 4x+4y7y， 4x3y， 故 B 不符合题意； C、， 4x+123y+12， 4
12、x3y， 故 C 不符合题意； D、， 5x+54y+4， 5x4y1， 故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 3如图：ABCDEF，AD：DF3：1，BE12，那么 CE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据 AD：DF3：1，BE12，可计算出 CE 的长 【解答】解：ABCDEF， 3， BC3CE， CEBE123， 故选：A 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 4如图，在ABC 中，D 在 AC 边上，AD：DC1：
13、2，O 是 BD 的中点，连接 AO 并延长交 BC 于 E，若BE1，则 EC（ ） A B2 C3 D4 【分析】过 D 点作 DFCE 交 AE 于 F，如图，先由 DFBE，根据平行线分线段成比例得到 DFBE3，再由 DFCE 得到比例式，然后利用比例的性质求 CE 的长 【解答】解：过 D 点作 DFCE 交 AE 于 F，如图， DFBE， ， O 是 BD 的中点， OBOD， DFBE1， DFCE， AD：DC1：2， AD：AC1：3， ， CE3DF313 故选：C 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且
14、和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 5如图，ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD 相似的是（ ） AAB2BDBC BBDABAC CADCC+B DADBCABAC 【分析】由图可知，B 是ABC 与ABD 的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹B 的两边成比例即可判断 【解答】解：AAB2BDBC， ， BB， BADBCA， 故 A 不符合题意； BBDABAC，BB， BADBCA， 故 B 不符合题意； CADCC+B，ADCBAD+B， CBAD， BB， BADBCA， 故 C 不符合题
15、意； DADBCABAC， ， BBAD， 不能判定ABC 与ABD 相似， 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键 6如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，A，B，C，D 四个点均在格点上，AC 与 BD 相交于点 E，连接 AB，CD，则ABE 与CDE 的周长比为（ ） A1：4 B4：1 C1：2 D2：1 【分析】 利用网格图， 勾股定理求得AB， CD的长， 利用直角三角形的边角关系定理得出BAFHCD，进而得到BACDCA，则 ABCD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可 【解答】解：如图所示， 由网格图可知：BF
16、2，AF4，CH2，DH1， AB2， CD FACG， FACACG 在 RtABF 中， tanBAF， 在 RtCDH 中， tanHCD， tanBAFtanHCD， BAFHCD， BACBAF+CAF，ACDDCH+GCA， BACDCA， ABCD， ABECDE， ABE 与CDE 的周长比2：1 故选：D 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键 7 某天小明和小亮去某影视基地游玩， 当小明给站在城楼上的小亮照相时， 发现他自己的眼睛、 凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）
17、 已知小明的眼睛离地面的距离 AB 为 1.6 米，凉亭顶端离地面的距离 CD 为 1.9 米，小明到凉亭的距离 BD 为 2 米，凉亭离城楼底部的距离 DF 为 38 米，小亮身高为1.7 米那么城楼的高度为（ ） A7.6 米 B5.9 米 C6 米 D4.3 米 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可 【解答】解：过点 A 作 AMEF 于点 M，交 CD 于点 N， 由题意得：AN2 米，CN1.91.60.3（米） ，MN38 米， CNEM， ACNAEM， ， ， EM6， ABMF1.6 米， 城楼的高度为：6+1.61.75.9（米） 故选：B
18、 【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出ACNAEM是解题的关键 8直角三角形 ABC 中，C90，三个正方形如图放置，边长分别为 a，b，c，已知 a2，b3，则 c值为（ ） A4 B2 C5 D6 【分析】根据CEFOMEPFN，得，代入即可 【解答】解：直角三角形 ABC 中，C90，放置边长分别为 a，b，c 的正方形，且 a2，b3， CEFOMEPFN， ， MO2，PN3，EFc， OEc2，PFC3， ， 解得：c5 或 0（舍去） ， c5， 故选：C 【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明OMEPFN
19、是解题的关键 9 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O， 点 E 是 OA 的中点， 连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已知 SAEF3，则下列结论：；SBCE27；SABE12；AEFACD其中一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行四边形的性质得到 AECE，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到 AFAD，于是得到；故正确；根据相似三角形的性质得到 SBCE36；故正确；根据三角形的面积公式得到 SABE9，故错误；由于AEF 与ADC 只有一个角相等，于是得到AEF 与ACD 不一定相似，故错误 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，
20、AOCOAC，ADBC，ADBC， AFECBE， ， 点 E 是 OA 的中点， AECE， ， ， AFBC， AFAD， ，故正确； SAEF3， （）2， SBCE27；故正确； ， ， SABE9，故错误； BF 不平行于 CD， AEF 与ADC 只有一个角相等， AEF 与ACD 不一定相似，故错误， 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 10如图，在 RtABC 中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，P 是 AE 边上一点，连结 PC 并延长交 HI 于点 Q，连结 CG 交 AB 于点 K若，则的
21、值为（ ） A B C D 【分析】过点 C 作 CNFG 交 AB，FG 于点 M，N，由题意可证明ACPICQ，可得，设 AC3x，则 BC4x，可得 AB5x，然后由三角形面积可得 CMx，再根据 MKNG，平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解：如图，过点 C 作 CNFG 交 AB，FG 于点 M，N， 由题意可知：CAPCEQ90， ACPICQ， ACPICQ， ， 设 AC3x，则 BC4x， AB5x， MNAFAB5x， CMAB， SABCABCMACBC， CMx， MKNG， 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到ACPICQ
22、 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形如图，已知矩形 ABCD 是黄金矩形，点 E 在边 BC 上，将这个矩形沿直线 AE 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 F 处，那么 EF 与 CE 的比值等于 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形 ABEF 是正方形，可得 EFBE，进一步即可求出EF 与 CE 的比值 【解答】解：根据折叠，可知 ABAF，BEFE，BAEFAE， 在矩形 ABCD 中，BAFB90， BAEFAE45， AEB45， BABE， ABBEEFFA， 又B90， 四边形 ABEF 是正方形，
23、 EFBEAB， 矩形 ABCD 是黄金矩形， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键 12如图，一块三角形余料 ABC，它的边 BC80cm，高 AD60cm现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件 EFGH 和 FGMN，则正方形的边长为 24 cm 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即AHMABC，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答 【解答】解：设正方形零件的边长为 acm， 在正方形 EFGH 中，HMBC， AHMABC， AD 是高， ，即， a24， 答：正方形的边长为
24、 24cm 故答案为：24 【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形 13如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 的中点，连接 AE 交对角线 BD 于点 G，连接 BF 交 AE于点 H则 【分析】连接 EF，结合三角形的中位线证明BGHFEH，BEGDAG，列比例式可求解 【解答】解：连接 EF， E、F 分别是 BC、CD 的中点， EFBD，EFBD， BGHFEH， ， ADBC， BEGDAG， ， DG2BG， BDBG+DG3BG， BGBD， 故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判
25、定与性质，矩形的性质，三角形的中位线，证明BEGDAG是解题的关键 14如图，点 E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点，点 F 是 AB 上的一点，点 G 是 BC 上的一点，先以 CE 为对称轴将CDE 折叠，使点 D 落在 CF 上的点 D处，再以 EF 为对称轴折叠AEF，使得点 A 的对应点 A与点 D重合，以 FG 为对称轴折叠BFG，使得点 B 的对应点 B落在 CF 上 （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形） ECDFGB ； （2）若A60，则的值为 【分析】 （1）根据菱形性质和折叠性质证明 ECFG，进而可以解决问题； （2）过点 C 作 CHAB 延长线于点 H
26、，设菱形 ABCD 的边长为 2，设 AFAFa，根据勾股定理可得 a0.8，然后根据ECDFGB，进而可以解决问题 【解答】解： （1）ECDFGB， 理由如下： 四边形 ABCD 是菱形， BD， 由折叠可知：DCDE，BFBG， CDEFBG， 由折叠可知：DECDEC，AEFAEF， DEC+DEC+AEF+AEF180， DEC+AEF90， CEF90， 同理：EFG90， ECFG， ECDCAE， ECDFGB； 故答案为：ECDFGB； （2）如图，过点 C 作 CHAB 延长线于点 H， 四边形 ABCD 是菱形， ADCB， CBHA60， 设菱形 ABCD 的边长为 2
27、， BH1， CH， 设 AFAFa， 则 BFABAF2a， CFCD+AFCD+AF2+a， FHBF+BH2a+13a， 在 RtCFH 中，根据勾股定理得： FH2+CH2CF2， （3a）2+（）2（2+a）2， 解得 a0.8， CD2，BF2a1.2， ECDFGB， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 15如图，在ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 AC，CD4，BD2 求证：
28、ACDBCA 【分析】求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似 【解答】证明：AC，CD4，BD2， ， ， CC， ACDBCA 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键 16 （改编版）如图，已知 ABAC，BAC60，DAE120，探究并证明 DE、CD、BE 之间的数量关系 【分析】从图形中找相似关系，容易发现ADEEAC，进而得出与 DE、CD、BE 有关的线段间的数量关系 【解答】解：ABAC，BAC60， ABC 是等边三角形， ABC60，ABACBC DAE120，BAC60， DAB+EAC60， 又DAB+DA
29、BC60， DEAC 同理EDAB， ADEEAC BD：ABAC：CE，即 BDCEBC2 （DEBE） （DECD）（BE+CDDE）2， 化简得（BE+CD）2BECD+CDDE+BEDE 【点评】 本题考查相似三角形的判断和性质 解题的关键是找到DEAC ， 进而得出ADEEAC 17如图，一块直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的边 BC 上，并且使一条直角边经过点 D另一条直角边与 AB 交于点 Q 求证：BPQCDP 【分析】由余角的性质可证BPQPDC，由相似三角形的判定可得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， BC90， QPD90， BPQ+DPC9
30、0DPC+PDC， BPQPDC， BPQCDP 【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 18如图，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，1） ，B（1，2） ，C（4，3） 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 放大为原来的 2 倍得到A1B1C1，作出A1B1C1，并写出 A1，B1，C1的坐标 【分析】根据位似的性质作图即可，由图可得 A1，B1，C1 的坐标 【解答】解：如图，A1B1C1 即为所求 A1（6，2） ，B1（2，4） ，C1（8，6） 【点评】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键 19如图 1
31、，在ABC 中，ADBC 于点 D，ADBD，点 E 为边 AD 上一点，且 DEDC，连接 BE 并延长，交 AC 于点 F （1）求证：BEDAEF； （2） 过点 A 作 AGBC 交 BF 的延长线于点 G， 连接 CG， 如图 2 若 DE2AEAD， 求证： 四边形 ADCG是矩形 【分析】 （1）先证明ACDBED 得出EBDCAD，再由对顶角的性质，即可证明BEDAEF； （2） 先证明AEGDCA， 得出， 进而得出 AEADDCAG， 由 DE2AEAD， DEDC，得出 DCAG，继而证明四边形 ADCG 是平行四边形，即可证明四边形 ADCG 是矩形 【解答】证明： （
32、1）如图 1， ADBC， ADCBDE90， ADBD，DCDE， ACDBED（SAS） ， EBDCAD， BEDAEF， BEDAEF； （2）如图 2， AGBC， AGEEDB， EBDCAD， AGECAD， AEGBEDACD， AEGDCA， ， AEADDCAG， DE2AEAD， DCAGDE2， DEDC， DCAGDC2， DCAG， AGDC， 四边形 ADCG 是平行四边形， ADBC， 四边形 ADCG 是矩形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边
33、形的判定与性质，矩形的判定方法是解决问题的关键 20如图，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，直线 yx 与直线相交于点 C，点 P 是线段 OA 上一动点（点 P 不与点 O，A 重合） ，过点 P 作 PQx 轴交 AB于点 Q，以 OP，PQ 为邻边作矩形 OPQR，点 R 在 OB 上设 OPt，矩形 OPQR 与OAC 重叠部分的面积为 S （1）求点 C 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数解析式，并直接写出自变量 t 的取值范围 【分析】 （1）联立两条直线的解析式得出二元一次方程组，解方程组即可得出点 C 的坐标； （2）分 0t2 和
34、2t6 两种情况进行讨论，即可得出答案 【解答】解： （1）由题意得， 解得， 点 C 的坐标是（2，2） ； （2）当 0t2 时，如图 1， 把 xt 代入 yx 得：yt， D（t，t） ， OPDPt， ， 当 2t6 时，如图 2， 把 xt 代入得：， ， ， 四边形 OPQR 是矩形， ， ， 把代入 yx 得：， ， ， ， ， 综上， 【点评】一次函数的性质，矩形的性质，掌握二元一次方程组的解法，一次函数的性质，矩形的性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键 21如图，矩形 ABCD 中，AB15cm，BC10cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 2cm/s 的速度
35、向点 B 匀速移动，动点 Q 从点 D 出发，沿 DA 边以 1cm/s 的速度向点 A 匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，APQ 的面积为 16cm2？ （2）t 为何值时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似 【分析】 （1）由题意知，AP2t，AQ10t，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由ABCQAP，则当或时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，代入计算即可 【解答】解： （1）由题意知，AP2t，AQ10t， APQ 的面积为 16cm2， 16， 解得
36、t2 或 8， 0t7.5， t2 时，APQ 的面积为 16cm2； （2）ABCQAP， 当或时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似， 或， 解得 t或 t， t或时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用 22如图，在正方形 ABCD 中，AB3，E 是对角线 AC 上的点，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交 AB 于点F，连接 DF 交 AC 于点 G （1）求证：DEEF； （2）求证：DG2GEGC； （3）若 AF1，求 EG 的
37、长 【分析】 （1）证明DCEBCE，得 DEBE，证出 EFBE； （2）证出DGECGD，由比例线段可得出结论 DG2GEGC： （3）先求出 CE 长，将DEC 绕点 A 逆时针旋转 90得到DMA，连接 MG，易证DMGDEG，AMG 是直角三角形，得出 EG2AG2+CE2，设 EGx，则列出方程可求出 EG 【解答】 （1）证明：如图，连接 BE， 四边形 ABCD 为正方形， CBCD，BCEDCE45， 在BEC 和DEC 中， ， DCEBCE（SAS） ， DEBE，CDECBE， ADEABE， DAB90，DEF90， ADE+AFE180， AFE+EFB180， A
38、DEEFB， ABEEFB， EFBE， DEEF； （2）证明：GDEDCG45，DGECGD， DGECGD， ， 即 DG2GECG； （3）解：如图，过点 E 作 ENAB 于点 N， AF1，AB3， BF2，AC3， BEEF， FNBN1， AN2， AE2， CEACAE， 将DEC 绕点 A 逆时针旋转 90得到DMA，连接 MG， DMDE，MDAEDC， MDGEDG， DGDG， DMGDEG（SAS） ，AMG 是直角三角形， MGGE， MG2EG2AM2+AG2CE2+AG2， 设 EGx，则 AG2x， （）2+（2x）2x2， 解得：x， 即 EG 【点评】本
39、题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会利用旋转法， 添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 23四边形 ABCD 是正方形，E 是 AB 边上的一点，G 是 DE 上的点，AFG 是等腰直角三角形，AGFG （1）如图 1，连接 DF、EF，若点 G 是 DE 的中点： 求EFD 的度数；连接 BF，证明：ABFDBE； （2）点 E 是 AB 的中点，点 G 是射线 DE 上一点时，如图 2，已知 AB2，当 FG 与正方形 ABCD 的对角线平行，求 DG 的长 【分析】 （1）
40、根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理，即可求出结果； 证明点 F 位于正方形 ABCD 的对角线 BD 上， 再证明四边形 AEFD 有外接圆， 即可证明ABFDBE即可； （2）FG 可能平行于 BD，也可能平行于 AC，要进行分类讨论 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是正方形， DAE90， 点 G 是 DE 的中点，则 AG 是斜边 DE 上的中线， AGEGDG， 又AFG 是等腰直角三角形，则 AGFG， FGEGDG， GEFGFE，GDFGFD， EFDGFE+GFDGEF+GDF18090 证明：由可知 AGFGDG， ADGAGE，FDGFGE， ADFADG+F
41、DG（AGE+FGE）9045， 点 F 位于正方形 ABCD 的对角线 BD 上， 又由可如DFE90， DAEDFE90， 四边形 AEFD 有外接圆， EAFEDF，即BAFBDE， 又ABFDBE45， ABFDBE （2）如图 1，当 AF 与 AB 重合时，AFGABD45，则 FGBD， ABCD，点 E 是 AB 的中点， AEGCDG， ，则， 在 RtADE 中，AD2，AE1， DE， DGDE； 如图 2，当点 G 是 DE 与 CB 的延长线的交点时， 由 ADBC 得FAGAGC45， 又BAC45， AGFGAC90， 故此时 FGAC， AGBGAB45， BGABBC2， 在 RtCDG 中，CG4，CD2， 故 DG， 综上所述，DG 的长为或 2 【点评】本题考查了直角等腰三角形，相似三角形判定与性质，全等三角形，正方形的性质等知识，解题关键是正确掌握全等判定的条件以及分类讨论的思想
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