1、 第二十二章二次函数第二十二章二次函数 一、单选题一、单选题 1抛物线234yx的顶点坐标为（ ） A0, 4 B0,4 C1, 4 D3,4 2已知二次函数2yaxbxc的图像经过3,0与1,0两点，关于x的方程20axbxcm （0m）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（ ） A5 B3 C1 D3 3若二次函数 yx2b的图像经过点（0，4） ，则不等式x2b0 的解集为（ ） A2x2 Bx2 Cx2 Dx2 或 x2 4将抛物线21yx向右平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A22yx B24yx C231yx D231yx 5某企业的销售利润原来是 m 万元，
2、经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x，那么 y 与 x 的函数关系式是（ ） Ay=x+m By=m（x-1） Cy=m（1+x） Dy=m（1-x） 6已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数21253yxx 图像的一部分，其中x 为爆炸后经过的时间（秒） ，y为残片离地面的高度（米） ，请问在爆炸后 1 秒到 6 秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ） A0 米到 3 米 B5 米到 8 米 C203到 8 米 D5 米到203米 7某景点的“喷水巨龙”口中 C 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系如图所示
3、，D为该水流的最高点，DAOB，垂足为 A已知 OCOB8m，OA2m，则该水流距水平面的最大高度 AD的长度为（ ） A9m B10m C11m D12m 8若 y（a2）x23x+2 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba0 Ca2 Da0 9已知抛物线22()1yx，下列结论错误的是（ ） A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴为直线2x C抛物线的顶点坐标为(2,1) D当2x时，y随 x 的增大而增大 10已知抛物线2(1)22yxmxm（m是常数）与 x轴仅有一个交点，且与 y轴交于正半轴，则 m 的值为（ ） A7 或 1 B1 C7 D1 11下列二次函数的图象与 x
4、轴没有交点的是（ ） A239yxx B223yxx C2245yxx D244yxx 12关于二次函数 y=（x+1）2+2 的图象，下列判断正确的是（ ） A图象开口向上 B图象的对称轴是直线 x=1 C图象有最低点 D图象的顶点坐标为（1，2） 二、填空题二、填空题 13若函数2yx=的图象与关于x的函数yxa的图象有交点，则a的取值范围是_ 14二次函数 y=（x-1）2+2 的最小值是_ 15如图是二次函数2yaxbxc的部分图象，由图象可知不等式20axbxc的解集是_ 16如图，抛物线2yax与直线ybxc的两个交点坐标分别为 A(3，6)，21,3B，则方程20axbxc的解是
5、_ 17将抛物线 y3x2向上平移 4 个单位，再向右平移 2 个单位，所得抛物线的函数解析式为 _ 18如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在 l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 3 米，水面宽4 米如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_ 19已知抛物线21yxx与x轴的一个交点为( ,0)m，则代数式22022mm的值为_ 20已知二次函数24yxxc的图象与x轴的一个交点坐标是2 0 ,，则它与x轴的另一个交点坐标是_ 三、解答题三、解答题 21已知二次函数2221yxmxm（m 为常数） (1)求证：不论 m 为何值，该二次函数的图像与 x轴总有公共点 (2
6、)求证：不论 m 为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数2(1)yx 的图像上 22如图，桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为 1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 O点 0.4m 时，桥下水位刚好在 OA 处，有一名身高 1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平） 23大润发超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量 y（个）
7、与它的定价 x（元/个）的关系如图所示； (1)求这种文具盒每个星期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） ； (2)每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润为 1200 元？ (3)当每个文具盒定价多少元时，超市每星期的利润最高？最高利润是多少？ 24如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A(3，1)，点 B(0，4)，点 C(m，n)在该二次函数图象上 (1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标； (2)若 mx2 时，n 的最大值为 5，最小值为 4，请结合图象求 m的取值范围； (3)若点
8、C在直线 AB的上方，且 SABC=3，求点 C的坐标 25在平面直角坐标系中，设二次函数22yaxbx（a，b 是常数，0a） (1)若1a ，当1x时，4y 求 y的函数表达式 (2)写出一题 a，b的值，使函数22yaxbx的图象与 x 轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标 (3)已知，二次函数22yaxbx的图象和直线4yaxb都经过点（2，m） ，求证2212ab 参考答案解析参考答案解析 1B 【详解】解：234yx的对称轴为 x=0，开口向上，y的最小值为 4，顶点坐标为（0，4） ， 故选： B 2A 【详解】解：二次函数2yaxbxc的图像经过3,0与1,0两点， 当0y
9、时，20axbxc的两个根为3和1 函数2yaxbxc的对称轴是直线1x， 又关于x的方程20axbxcm （0m）有两个根，其中一个根是 3， 方程20axbxcm （0m）的另一个根为5 故选：A 3A 【详解】解：将（0，4）代入 yx2b中得 b=4， yx24 设 yx24 与 x 轴交于 A，B 两点， 令 y=0，即x24=0，解得122,2xx A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当x240 时的解集为：2x2， 故选：A 4D 【详解】解：将抛物线21yx向右平移 3 个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为231yx 故选：D 5C 【详解】根据题
10、意，某企业的销售利润原来是 m 万元，经过连续两年的增长达到了 y万元，每年增长的百分数都是 x，则2(1)ymx, 故选 C 6B 【详解】解：2211253833yxxx ， 当3x 时，8y ，即此时残片离地面的高度最大，最大为 8 米， 103 ， 在直线3x 的左侧，y 随x 的增大而增大；在直线3x 的右侧，y 随x 的增大而减小， 当1x 时，203y ，当6x 时，5y ，且2053 ， 在爆炸后 1 秒到 6 秒之间，残片距离地面的高度范围为 5 米到 8 米 故选：B 7A 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为 ya（x2）2+k， 将点 C（0，8） 、B（8，0）代入
11、，得： 48360akak， 解得149ak ， 抛物线解析式为 y14（x2）2+9， 当 x2 时，y9， 即 AD9m， 故选：A 8A 【详解】解：由题意得： 20a，则2a 故选：A 9D 【详解】解：抛物线22()1yx中，a0，抛物线开口向上，因此 A 选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线2x ，因此 B 选项正确，不符合题意； 由解析式得，当2x 时，y取最小值，最小值为 1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此 C 选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线2x ，因此当2x时，y随 x的增大而减小，因此 D 选项错误，符合题意； 故选 D 10C
12、 【详解】二次函数与 x 轴仅有一个交点，则2(1)4 ( 22)0mm ， 即2670mm，解得121,7mm ， 又因为二次函数图象与 y 轴交于正半轴，则220m， 将 1 和-7 代入22m分别得到 0 和 16，则应把 m=1 舍去，故 m=-7， 故选 C 11C 【详解】解：A、2=94 2 0810 ，所以与 x轴交于两点； B、2=(2)4 1 ( 3)140 ，所以与 x 轴交于两点； C、2=44 2 5240 ，所以图象与 x 轴没有交点； D、2=44 ( 1) ( 4)0 ，所以图象与 x 轴交于一点， 故选：C 12D 【详解】10， 函数的开口向下，图象有最高点
13、， 这个函数的顶点是（1，2） ， 对称轴是 x=1， 选项 A、B、C 错误，选项 D 正确， 故选 D 1314a 或0.25a 【详解】联立两个函数得到方程2xxa， 两个函数的图象有交点， 则0 ， 1 40a ， 14a ， 故答案为：14a 142 【详解】解：二次函数 y=（x-1）2+2 的展开式为：223yxx， 10a ， 抛物线的开口向上， 当212x 时，有最小值2y ， 故答案为：2 1515x 或 5x1 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线 x2， 与 x轴一个交点坐标（5，0） ， 由函数的对称性可得，与 x 轴另一个交点是（1，0） ， ax2+bx+
14、c0 的解集为1x5， 故答案为：1x5 1613x ，21x 【详解】 解： 由图象可知， 关于 x 的方程20axbxc的解， 就是抛物线2yax（a0） 与直线ybxc（b0）的两个交点坐标分别为 A(3，6)，B(1，3)的横坐标， 即13x ，21x 故答案为：13x ，21x 1723(2)4yx 【详解】抛物线23yx的顶点坐标是0,0， 将抛物线向上平移 4 个单位，然后向右平移 2 个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标是2,4， 平移后抛物线的解析式为2324yx， 故答案为：2324yx 18234yx 【详解】解：设出抛物线方程 y=ax2（a0） ，由图象可知该图象经过（
15、-2，-3）点， -3=4a， a=-34， 抛物线解析式为 y=-34x2 故答案为：234yx 192023 【分析】首先把点( ,0)m代入抛物线的解析式，可得21mm，再把21mm代入22022mm，即可求得 【详解】解：把点( ,0)m代入抛物线的解析式， 得21mm， 22022120222023mm ， 故答案为：2023 206,0 【详解】解：将2 0 ,代入24yxxc中，得， 2024 2c ，解得12c，即2412yxx， 令0y ，则24120 xx，解得，16x ，22x ， 图象与x轴的一个交点坐标是2 0 ,， 它与x轴的另一个交点坐标是6,0， 故答案为：6,
16、0 21(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 （1）问题等价于证明二元一次方程22210 xmxm 总是有解，证明0即可 （2）将原函数写成顶点式，求出顶点坐标，将顶点坐标代入2(1)yx 中，看是否满足，即可 （1）令0y ，则22210 xmxm 1a ，2bm，21cm22224(2 )4(21)4844(1)bacmmmmm24(1)0m240bac一元二次方程22210 xmxm 有实数根，故不论 m取何值，函数2221yxmxm与 x轴总有公共点； （2）22222221()21()(1)yxmxmxmmmxmm 该函数的顶点坐标为2(1) )mm，把xm代入2(1)yx
17、得2(1)ym 不论 m 为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数2(1)yx 上. 22(1)y=-14x2+2x （0 x8） ； (2)不会碰到头，理由见解析 【分析】 （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点 B （4，4） ，先设抛物线的顶点式 y=a（x-4）2+4，再 根据图象过原点，求出 a的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出 y的值，然后和 1.68 比较即可 （1）解：如图，由题意得：水面宽 OA是 8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m，结合函数图象可知，顶点 B （4，4） ，点 O （0，0） ，设二次函数的表达式为 y=a（x-4）2+
18、4，将点 O （0，0）代入函数表达式，解得：a=-14，二次函数的表达式为 y=-14（x-4）2+4，即 y=-14x2+2x （0 x8） ； （2）解：工人不会碰到头，理由如下：小船距 O点 0.4m，小船宽 1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距 O 点距离为 0.4+12 1.2=1，将 x=1 代入 y=-14x2+2x，解得：y=74=1.75，1.75m1.68m，此时工人不会碰到头 23(1)10300yx (2)当定价为 18 元或 20 元时，利润为 1200 元 (3)当定价 19 元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为 1210 元 【分析】 （1）根据
19、图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可； （2）根据利润等于每个利润 数量，建立方程求出其解就可以了； （3）利用利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论 （1）解：设这种文具盒每个星期的销售量 y（个）与它的定价 x（元/个）之间的函数关系式 y=kx+b，由题意，得，2001016014kbkb，解得：10300kb ，则 y=-10 x+300； （2）解：由题意，得（x-8）y=1200， （x-8） （-10 x+300）=1200，解得：x1=18，x2=20，答：当定价为 18元或 20 元时，利润为 1200 元； （3） 解： 由 （2） 知超市每星期的利润： W= （
20、x-8） y， = （x-8） （-10 x+300） =-10 （x-8） （x-30） =-10 （x2-38x+240）=-10（x-19）2+1210100a，当 x=19 即定价 19 元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为1210 元 24(1)224yxx ，顶点坐标为（1，5） (2)01m (3)(1，5)或(2，4) 【分析】 （1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标； （2）结合二次函数的最大值，令 y=4，求出对应的 x 的值，根据题意即可得出结论； （3）先求得直线 AB的解析式为 y=x+4，得到点 D的坐标为(m，m+4)，利用 SABC
21、的面积公式得到关于 m 的一元二次方程，解方程即可求解 （1）解：二次函数 y=-x2+bx+c的图象经过点 A（3，1） ，点 B（0，4） ， 9314bcc ，解得：24bc该二次函数的解析式 y=-x2+2x+4y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，顶点坐标为（1，5） ； （2）解：n的最大值为 5，点 C(m，n)在该二次函数图象上，m的最大值为 1，令 y=4，则x2+2x+4=4，解得：x1=0，x2=2，根据图象 m的取值范围为：0m1； （3）解：设直线 AB的解析式为 y=kx+b，则314kbb，解得，14kb ，直线 AB的解析式为 y=x+4，点 C在抛物线上，
22、n=m2+2m+4，过点 C作 y 轴的平行线交直线 AB于点 D， 则点 D的坐标为(m， m+4)， CD=m2+2m+4(m+4)=m2+3m， SABC=123(m2+3m)=32m2+92m=3，解得 m1=1，m2=2，当 m=1 时，n=5，当 m=2 时，n=4，点 C 的坐标为(1，5)或(2，4) 25(1)yx2x2 (2)（1，0） (3)见解析 【分析】 （1）把 a1 代入二次函数的关系式，再把 x1，y4 代入求出 b 的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令 y0，则 ax2bx20，当 0 时，求得 b28a，据此写出一组 a，b的值，化成顶点式即可求得顶点
23、坐标； （3）根据题意得到 4a2b22a4b，整理得 ba1，则 a2b22a22a12（a12）212，根据二次函数的性质即可得到 a2b212 （1）解：把 a1 代入得，yx2bx2，当 x1 时，y4，41b2，b1，二次函数的关系式为 yx2x2； （2）解：令 y0，则 ax2bx20，当 0 时，则 b28a0，b28a，若 a2，b4 时，函数 yax2bx2 的图象与 x轴只有一个公共点，此时函数为 y2x24x22（x1）2，此函数的顶点坐标为（1，0） ； （3）证明：二次函数 yax2bx2 的图象和直线 yax4b都经过点（2，m） ，4a2b22a4b，2a22b，ba1，a2b2a2（a1）22a22a12（a12）212，a2b212
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