1、第二章轴对称图形第二章轴对称图形 一选择题一选择题 1如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（ ） A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 2如图，ABC 中，AB4，BC9，线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，则ABE 的周长为（ ） A14 B13 C12 D11 3在如图所示的 RtABC 纸片中，ACB90，D 是斜边 AB 的中点，把纸片沿着 CD 折叠，点 B 到点 E 的位置，连接 AE若 AEDC，B，则EAC 等于（ ） A B90 C12 D902 4如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分
2、别是 30、40、50，ABC 和ACB 的角平分线交于 O，则 SABO：SBCO：SCAO等于（ ） A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5 5如图，在ABC 中，AB、AC 的中垂线 GF、DE 分别交 BC 于点 F、E，连接 AE、AF，B+C50，那么FAE 的度数是（ ） A80 B70 C60 D50 6 将一张长方形纸片 ABCD 按如图所示方式折叠， AE、 AF 为折痕， 点 B、 D 折叠后的对应点分别为 B、D，若BAD8，则EAF 的度数为（ ） A40 B40.5 C41 D42 7如图，ABC 中，CABCBA48，点 O 为ABC 内一点，OA
3、B12，OBC18，则ACO+AOB（ ） A190 B195 C200 D210 8如图，ABC 的两条内角平分线相交于点 D，过点 D 作一条平分ABC 面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ） A2：1 B1：1 C2：3 D3：1 二填空题二填空题 9如图，等边ABC 中，AD 是中线，ADAE，则ADE 10如右图，三角形纸片 ABC，点 D 是 BC 边上一点，连结 AD，把ABD 沿着 AD 翻折，得到AED，DE 与 AC 交于点 F 若点 F 是 DE 的中点， AD8， AEF 的面积为 9， 则点 B、 E 之间的距离为 11如图，APT 与CPT 关于直线
4、 PT 对称，AAPT，延长 AT 交 PC 于点 F，当A 时，FTCC 12 在ABC中， BAC90， P是BC的中点， M、 N分别是CA、 BA延长线上的点， 且AMAN=12BC， 则MPN 的度数为 13如图，在ABC 中，ABAC，ABC30，D、E 分别为 BC、AB 边上的动点，且ADE45，若ADE 为等腰三角形，则DAC 的大小为 14如图，在ABC 中，ABAC，BAC52，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线相交于点 O，C 沿 EF 折叠，点 C 与点 O 恰好重合则OEF 15如图，有一张三角形纸片 ABC，B30，C50，点 D 是 AB 边上的固定点（BD
5、12AB） ，请在 BC 上找一点 E，将纸片沿 DE 折叠（DE 为折痕） ，点 B 落在点 F 处，使 EF 与三角形 ABC 的一边平行，则BDE 的度数为 16如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 3，过 AB 边上一点 P 作 PEAC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点，取 PACQ，连接 PQ，交 AC 于 M，则 EM 的长为 三解答题三解答题 17以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半 18已知，在ABC 中，ABAC，BDAC 于 D，求证：A2CBD 19如图，点 E 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，BCEA+ACB，求证：点 E 在 BC 的垂直平分线上 20
6、在ABC 中，ABCACB，点 D 在 BC 边所在的直线上，点 E 在射线 AC 上，且始终保持ADEAED （1）如图 1，若BC30，BAD80，求CDE 的度数； （2）如图 2，若ABCACB70，CDE15，求BAD 的度数； （3）如图 3，当点 D 在 BC 边的延长线上时，猜想BAD 与CDE 的数量关系，并说明理由 21如图，在ABC 中，ABAC，BAC40，AD 是 BC 边上的高线段 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 AC 于点 F，连接 BE （1）填空：BAD 的度数为 ；ABC 的度数为 ；ACB 的度数为 （2）试问：线段 AE 与 BE 的长相等吗？
7、请说明理由； （3）求EBD 的度数 22如图 1，用两条线段（虚线） ，将一个顶角为 36的等腰三角形分成了三个小等腰三角形，并标出了三个小等腰三角形顶角的度数 （1）请你仿照图 1 的方法，在图 2 中，用两种不同的分制方法将顶角为 45的等腰三角形分成三个小等腰三角形 （2）在ABC 中，B30，请用线段 AD 和 DE（点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上）将ABC 分成三个小等腰三角形，且 ADBD，DECE 试仿图 1，在备用图中，画出示意图； 求出C 的所有可能度数 23如图，点 D 在等边ABC 的外部，连接 AD、CD，ADCD，过点 D 作 DEAB 交 AC 于
8、点 F，交BC 于点 E （1）判断CEF 的形状，并说明理由； （2）连接 BD，若 BC10，CF4，求 DE 的长 24如图，在ABC 中，A60BE，CF 交于点 P，且分别平分ABC，ACB （1）求BPC 的度数； （2）连接 EF，求证：EFP 是等腰三角形 25如图，在 RtABC 中，B90，D 为 BC 边上一点，将ABD 沿 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的点 E 处 （1）若C30，求证：ADECDE； （2）对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由 26如图，在四边形 ABCD 中，BAD，BCD180，BD 平分ABC
9、 （1）如图 1，若 90，根据教材中一个重要性质直接可得 DACD，这个性质是 （2）问题解决：如图 2，求证 ADCD； （3）问题拓展：如图 3，在等腰ABC 中，BAC100，BD 平分ABC，求证：BD+ADBC 第二章轴对称图形第二章轴对称图形 一选择题一选择题 1如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（ ） A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案 【解答】解：如图所示：将位置涂成黑色，能使整个阴影部分成为轴对称图形， 故选：C 【点评】此题主要考查了利用轴对
10、称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键 2如图，ABC 中，AB4，BC9，线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，则ABE 的周长为（ ） A14 B13 C12 D11 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 EAEC，根据三角形的周长公式计算，得到答案 【解答】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线， EAEC， ABE 的周长AB+BE+EAAB+BE+ECAB+BC， AB4，BC9， ABE 的周长AB+BC4+913， 故选：B 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 3在如图所示的 RtABC 纸片中
11、，ACB90，D 是斜边 AB 的中点，把纸片沿着 CD 折叠，点 B 到点 E 的位置，连接 AE若 AEDC，B，则EAC 等于（ ） A B90 C12 D902 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出 CDBDADED，BDCBDCECED，求出EADAED1802，CAD90，即可得出答案 【解答】解：ACB90，D 是斜边 AB 的中点， CDBDAD， 由折叠的性质得：BDED，BCED， CDBDADED， BDCBDCECED， EDC180DCECED1801802， AEDC， AEDEDC1802， EDAD， EADAED1802， B，ACB90， C
12、AD90， EACEADCAD1802（90）90， 故选：B 【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键 4如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 30、40、50，ABC 和ACB 的角平分线交于 O，则 SABO：SBCO：SCAO等于（ ） A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5 【分析】过 O 分别作 OECB，FOAB，ODAC，根据角平分线的性质可得 EODOFO，再根据三角形的面积公式可得 SABO：SBCO：SCAO30：40：503：
13、4：5 【解答】解：过 O 分别作 OECB，FOAB，ODAC， BO 是ABC 平分线， EOFO， CO 是ACB 平分线， EODO， EODOFO， SABO=12ABFO，SBCO=12CBEO，SCAO=12ACDO， SABO：SBCO：SCAO30：40：503：4：5 故选：D 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等 5如图，在ABC 中，AB、AC 的中垂线 GF、DE 分别交 BC 于点 F、E，连接 AE、AF，B+C50，那么FAE 的度数是（ ） A80 B70 C60 D50 【分析】由线段垂直平分线的性质可得 AFBF
14、，AECE，即可得BBAF，CCAE，再利用三角形的内角和定理可求解 【解答】解：AB、AC 的中垂线 GF、DE 分别交 BC 于点 F、E， AFBF，AECE， BBAF，CCAE， B+C50，B+C+BAC180， BAC130，BAF+CAE50， FAE1305080， 故选：A 【点评】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质， 线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等 6 将一张长方形纸片 ABCD 按如图所示方式折叠， AE、 AF 为折痕， 点 B、 D 折叠后的对应点分别为 B、D，若BAD8，则EAF 的度数为（ ） A40 B40.5 C41 D42 【分析】
15、可以设EAD，FAB，根据折叠可得DAFDAF，BAEBAE，进而可求解 【解答】解：设EAD，FAB， 根据折叠性质可知： DAFDAF，BAEBAE， BAD8， DAF8+， BAE8+， 四边形 ABCD 是长方形， DAB90， 8+8+8+90， +33， EAFBAD+DAE+FAB 8+ 8+33 41 则EAF 的度数为 41 故选：C 【点评】本题考查了翻折变换，角的计算，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质 7如图，ABC 中，CABCBA48，点 O 为ABC 内一点，OAB12，OBC18，则ACO+AOB（ ） A190 B195 C200 D210 【分析】根据已知
16、易证 CACB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，延长 BO 交 CD 与点 P，然后连接 AP，易证CAPCBP18，从而求出PAO18，再利用三角形的外角求出POA 的度数， 放在直角三角形中求出ACP 的度数， 进而证ACPAOP， 可得 ACAO，最后放在等腰三角形 ACO 中求出ACO 即可 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D，延长 BO 交 CD 与点 P，连接 AP， OBC18，CBA48， ABPCBAOBC30， CABCBA48， CACB， CDAB， CD 是 AB 的垂直平分线， PAPB， PABPBA30， CAP
17、CABPAB18， AOP 是AOB 的一个外角， AOPOAB+OBA42， CDA90， ACD90CAD42， AOPACD， PAB30，OAB12， PAOPABOAB18， CAPOAP， APAP， ACPAOP（AAS） ， ACAO， CAOCAP+OAP36， ACOAOC72， AOB180OABOBA138， ACO+AOB210， 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键 8如图，ABC 的两条内角平分线相交于点 D，过点 D 作一条平分ABC 面积的直
18、线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ） A2：1 B1：1 C2：3 D3：1 【分析】连接 AD，过 D 点作 DEAB 于点 E，作 DFAC 于点 F，作 DGBC 于点 G，根据角平分线的性质可知：AD 也是一条角平分线，D 为ABC 的内心，则有 DEDFDG，根据 MIN 平分ABC 的面积以此来列等式即可求解 【解答】解：连接 AD，过 D 点作 DEAB 于点 E，作 DFAC 于点 F，作 DGBC 于点 G， ABC 的两条内角平分线相交于点 D， AD 也是ABC 的角平分线， 则 D 点为ABC 的内心， DEDFDG， 设 MN 平分ABC 的面积，则 SBD
19、M+SBDNSADM+SADC+SDCN， SBDM=12BMDE，SADM=12AMDE，SADC=12ACDF，SDCN=12NCDG，SBDN=12BNDG， 12BMDE+12BNDG=12AMDE+12ACDF+12NCDG， BM+BNAM+AC+NC， MNMN， BM+BN+MNAM+AC+NC+MN， :=11， 即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1 故选：B 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等是解答本题的关键 二填空题二填空题 9如图，等边ABC 中，AD 是中线，ADAE，则ADE 【分析】 利用
20、等边三角形的性质先求出DAC， 再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出ADE 【解答】解：ABC 是等边三角形， BAC60 AD 是中线， DAC=12BAC30 ADAE， ADE=1802 =180302 75 故答案为：75 【点评】本题主要考查了等边三角形性质，掌握等边三角形、等腰三角形的性质是解决本题的关键 10如右图，三角形纸片 ABC，点 D 是 BC 边上一点，连结 AD，把ABD 沿着 AD 翻折，得到AED，DE 与 AC 交于点 F若点 F 是 DE 的中点，AD8，AEF 的面积为 9，则点 B、E 之间的距离为 9 【分析】先根据面积求 B 到 AD 的距离
21、，再求 B，E 的距离 【解答】解：F 是 DE 的中点， SADE2SAEF18 如图： 连接 B、E 交 AD 于 H，由翻折的性质得：BE2BH，BEAD，SABDSADE18， 12BHAD18， BH=36=368=92， BE292=9 故答案为：9 【点评】本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质，利用面积公式求高是求解本题的关键 11 如图， APT 与CPT 关于直线 PT 对称， AAPT， 延长 AT 交 PC 于点 F， 当A 36 时，FTCC 【分析】证明APFAFP2A，利用三角形内角和定理构建方程求解即可 【解答】解：APT 与CPT 关于直线 PT 对称， AC，
22、TATC，APTCPT， AAPT， ACAPTCPT， FTCC， AFPC+FTC2C2A， A+APF+AFP180， 5A180， A36， 故答案为：36 【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型 12 在ABC中， BAC90， P是BC的中点， M、 N分别是CA、 BA延长线上的点， 且AMAN=12BC， 则MPN 的度数为 45 【分析】连接 PA 并延长到点 D，根据直角三角形斜边上的中线性质可得 AP=12BC，从而可得 AMAP，ANAP，然后利用等腰三角形的性质可得MAPM，NAPN
23、，再利用三角形的外角可得DAM2APM，DAN2APN，从而可得MAN2MPN，即可解答 【解答】解：连接 PA 并延长到点 D， BAC90，P 是 BC 的中点， AP=12BC， AMAN=12BC， AMAP，ANAP， MAPM，NAPN， DAMM+APM，DANN+APN， DAM2APM，DAN2APN， MANDAM+DAN 2APM+2APN 2（APM+APN） 2MPN， MANBAC90， MPN=13MAN45， 故答案为：45 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 13如图，在ABC 中，ABAC，AB
24、C30，D、E 分别为 BC、AB 边上的动点，且ADE45，若ADE 为等腰三角形，则DAC 的大小为 30或 75或 52.5 【分析】分 ADAE；EAED；DADE 三种情况进行讨论即可求解 【解答】解：当 ADAE 时， AEDADE45， DAE18045290， 在ABC 中，ABAC，ABC30， CABC30， BAC180302120， DACBACDAE1209030； 当 EAED 时， DAEADE45， 在ABC 中，ABAC，ABC30， CABC30， BAC180302120， DACBACDAE1204575； 当 DADE 时， ADE45， DAE（18
25、045）267.5， 在ABC 中，ABAC，ABC30， CABC30， BAC180302120， DACBACDAE12067.552.5 综上所述，DAC 的大小为 30或 75或 52.5 故答案为：30或 75或 52.5 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键 14如图，在ABC 中，ABAC，BAC52，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线相交于点 O，C 沿 EF 折叠，点 C 与点 O 恰好重合则OEF 52 【分析】连接 OC，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出ABC，再根据线段垂直平分线上的
26、点到线段两端点的距离相等可得 OAOB，根据等边对等角可得ABOBAO，再求出OBC，然后判断出点 O 是ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得 OBOC，再根据等边对等角求出OCBOBC，根据翻折的性质可得 OECE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可 【解答】解：如图，连接 OC， BAC52，AO 为BAC 的平分线， BAO=12BAC=125226， 又ABAC， ABC=12（180BAC）=12（18052）64， O 是 AB 的垂直平分线上的点， OAOB， ABOBAO26， OBCABCABO642638， AO 为BAC 的平分线，AB
27、AC， OBOC， 点 O 在 BC 的垂直平分线上， 点 O 是ABC 的外心， BOCO OCBOBC38， 将C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合， OECE， COEOCB38， 在OCE 中，OEC180COEOCB1803838104， OEF=12OEC52 故答案为：52 【点评】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键 15如图，有一张三角形纸片 ABC，B30，C50，点 D 是 AB 边上的固定点（BD
28、12AB） ，请在 BC 上找一点 E，将纸片沿 DE 折叠（DE 为折痕） ，点 B 落在点 F 处，使 EF 与三角形 ABC 的一边平行，则BDE 的度数为 35或 75或 125 【分析】分三种情况：当 BDEF 时，当 ACEF 时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题 【解答】解：当 BDEF 时， 由折叠可知，BF30，BEDDEF， BDEF， BCEF30， BEF18030150， BEDDEF=12BEF=1215075， BDE180307575 当 ACEF 时，CBEF50， BEDFED=12BEF=125025， BDE180BBED1803025125， B
29、DE125， 当 ACEF 时，CCEF50， BGD50+3080， BDG180803070， BDE=12BDG=127035， 综上所述，BDE35或 75或 125 故答案为：35或 75或 125 【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键 16如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 3，过 AB 边上一点 P 作 PEAC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点，取 PACQ，连接 PQ，交 AC 于 M，则 EM 的长为 32 【分析】过 P 作 PFBC 交 AC 于 F，得出等边三角形 APF，推出 APPFQC，根据等腰三角形性质求出EFAE
30、，证PFMQCM，推出 FMCM，推出 ME=12AC 即可 【解答】解：过 P 作 PFBC 交 AC 于 F，如图所示： PFBC，ABC 是等边三角形， PFMQCM，APFB60，AFPACB60，A60， APF 是等边三角形， APPFAF， PEAC， AEEF， APPF，APCQ， PFCQ， 在PFM 和QCM 中， = = = ， PFMQCM（AAS） ， FMCM， AEEF， EF+FMAE+CM， AE+CMME=12AC， AC3， ME=32， 故答案为：32 【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质
31、等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键 三解答题三解答题 17以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半 【分析】根据轴对称变换的性质作出图形即可 【解答】解：图形如图所示： 【点评】本题考查作图轴对称变，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型 18已知，在ABC 中，ABAC，BDAC 于 D，求证：A2CBD 【分析】过 A 作 AEBC 于 E，根据等腰三角形的性质得到BAC2CAE，根据三角形的内角和得到CBECAE，于是得到结论 【解答】证明：过 A 作 AEBC 于 E， ABAC， BAC2CAE， BDAC， BDCAEC90，
32、CBD90C，CAE90C， CBECAE， BAC2CBD 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，垂直的定义，正确地作出辅助线是解题的关键 19如图，点 E 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，BCEA+ACB，求证：点 E 在 BC 的垂直平分线上 【分析】根据三角形的外角性质得出EBCA+ACB，求出BCEEBC，根据等腰三角形的性质求出 CEBE，再得出答案即可 【解答】证明：EBCA+ACB， 又BCEA+ACB， BCEEBC， CEBE， 点 E 在 BC 的垂直平分线上 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形外角性质等知识点，能熟记到线
33、段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解此题的关键 20在ABC 中，ABCACB，点 D 在 BC 边所在的直线上，点 E 在射线 AC 上，且始终保持ADEAED （1）如图 1，若BC30，BAD80，求CDE 的度数； （2）如图 2，若ABCACB70，CDE15，求BAD 的度数； （3）如图 3，当点 D 在 BC 边的延长线上时，猜想BAD 与CDE 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）在三角形 ABD 中，利用三角形内角和定理求出ADB 的度数，根据BACBAD 求出DAE 度数，进而求出ADE 度数，由AEDC 求出EDC 第三节课； （2）由ACB 为三角
34、形 DCE 外角，利用外角性质求出CDE 度数，进而求出ADB 度数，再由ABC为三角形 ABD 外角，利用外角性质求出BAD 度数即可； （3）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，设ABCACBx，ADEAEDy，CDE，BAD， 则有ADCx， 根据三角形内角和定理列出关系式， 消去 x 与 y 得到与关系式， 即可得证 【解答】解： （1）在ABD 中，BC30，BAD70， ADB180（B+BAD）18010080，BAC180（B+C）18060120， DAEBACBAD1207050， ADEAED， ADE=12（18050）65， EDC653035； （2）ACB 为D
35、CE 的外角， ACBAED+CDE， ABCACB70，CDE15， ADEAED55， ADCADECDE40， ABC 为ABD 的外角， ABCADC+BAD， BAD30； （3）CDE 和BAD 的数量关系是BAD2CDE，理由如下： 当点 D 在 BC 的延长线上时， 设ABCACBx，ADEAEDy，CDE，BAD，则有ADCy， 根据题意得： + + = 180 + + = 180， 得：20，即 2， 故BAD2CDE 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及三角形外角性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 21如图，在ABC 中，ABAC，BAC40，A
36、D 是 BC 边上的高线段 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 AC 于点 F，连接 BE （1）填空：BAD 的度数为 20 ；ABC 的度数为 70 ；ACB 的度数为 70 （2）试问：线段 AE 与 BE 的长相等吗？请说明理由； （3）求EBD 的度数 【分析】 （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论； （2）等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得出结论； （3）由等腰三角形的性质即可得出结论 【解答】解： （1）ABAC，BAC40，AD 是 BC 边上的高， BADCAD=12BAC20， ACBABC=12（180BAC） =12 （18040） 7
37、0， 故答案为：20，70，70； （2）线段 AE 与 BE 的长相等，理由如下： 如图，连接 CE， ABAC，AD 是 BC 边上的高， BDCD，ADBC， BECE， EF 是线段 AC 的垂直平分线， AECE， AEBE； （3）由（2）可知，ABC70，AEBE， ABEBAD20， EBDABCABE702050 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 22如图 1，用两条线段（虚线） ，将一个顶角为 36的等腰三角形分成了三个小等腰三角形，并标出了三个小等腰三角形顶角的度数 （1）请你仿照图
38、1 的方法，在图 2 中，用两种不同的分制方法将顶角为 45的等腰三角形分成三个小等腰三角形 （2）在ABC 中，B30，请用线段 AD 和 DE（点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上）将ABC 分成三个小等腰三角形，且 ADBD，DECE 试仿图 1，在备用图中，画出示意图； 求出C 的所有可能度数 【分析】 （1）45自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况第二种情形可以考虑题例中给出的方法， 试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角， 则另一底脚被分为 45和 22.5， 再以
39、22.5分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形 （2）用量角器，直尺标准作 30角，而后确定一边为 BA，一边为 BC，根据题意可以先固定 BA 的长，而后可确定 D 点，再标准作图实验分别考虑 AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾 A、E、C 在同一直线上，易得 2 种三角形 ABC根据图形易得 x 的值 【解答】解： （1）如图 2 作图， （2）如图 3 、作ABC 当 ADAE 时， 2x+x30+30， x20 当 ADDE 时， 30+30+2x+x180， x40 所以C 的度数是 20或 40 【点评】本题考查了学生学习的理解能力及动
40、手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目 23如图，点 D 在等边ABC 的外部，连接 AD、CD，ADCD，过点 D 作 DEAB 交 AC 于点 F，交BC 于点 E （1）判断CEF 的形状，并说明理由； （2）连接 BD，若 BC10，CF4，求 DE 的长 【分析】 （1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到 ABBC，CFCE4推出 BD 是线段 AC 的垂直平分线，根据角平分线的定义得到ABDCBD根据平行线的性质得到ABDBDE，于是得到结论 【解答】解： （1）CEF
41、 是等边三角形，理由如下： ABC 是等边三角形， ABCACB60 ABDE， CEFABC60， CEFCFEECF60， CEF 是等边三角形； （2）ABC 是等边三角形，CEF 是等边三角形， ABBC，CFCE4 ADCD， BD 是线段 AC 的垂直平分线， BD 平分ABC， ABDCBD ABDE， ABDBDE， BDECBD， BEDE BCBE+ECDE+CF， DEBCCF1046 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键 24如图，在ABC 中，A60BE，CF 交于点 P，且分别平分ABC，
42、ACB （1）求BPC 的度数； （2）连接 EF，求证：EFP 是等腰三角形 【分析】 （1）根据三角形内角和定理得出ABC+ACB180A120，根据角平分线定义得出ABECBE=12ABC， = =12，求出CBE+BCF=12ABC+12ACB60，再根据三角形内角和定理求出答案即可； （2）在 BC 上截取 BQBF，连接 PQ，根据全等三角形的判定得出FBPQBP，根据全等三角形的性质得出 FPQP，BFPBQP，求出CEPCQP，根据全等三角形的判定得出CQPCEP，根据全等三角形的性质得出 EFQP，求出 FPEP 即可 【解答】 （1）解：A60， ABC+ACB180A12
43、0， BE 平分ABC，CF 平分ACB， ABECBE=12ABC， = =12， CBE+BCF=12ABC+12ACB=12 120 =60， BPC180（CBE+BCF）18060120； （2）证明：在 BC 上截取 BQBF，连接 PQ， 在FBP 和QBP 中， = = = ， FBPQBP（SAS） ， FPQP，BFPBQP， A60，FPEBPC120， AFP+AEP36060120180， BFP+CEP180， CQP+BQP180， CEPCQP， 在CQP 和CEP 中， = = = ， CQPCEP（AAS） ， EFQP， FPEP， EFP 是等腰三角形
44、【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，能求出ABC+ACB 的度数是解（1）的关键，能正确作出辅助线是解（2）的关键 25如图，在 RtABC 中，B90，D 为 BC 边上一点，将ABD 沿 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的点 E 处 （1）若C30，求证：ADECDE； （2）对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由 【分析】 （1）根据直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半，可得 AB=12AC，由折叠可得：ABAE，BAED90，AE=12AC，进而可以解决问题； （2） 根据直角三角形中 3
45、0角所对的直角边是斜边的一半， 才能通过 AB=12AC， ABAE， AE+CEAC，得到 AECE，进而证明全等，所以对于任意一个直角三角形，不能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形 【解答】 （1）证明：在 RtABC 中， B90，C30， AB=12AC， 由折叠可得：ABAE，BAED90， AE=12AC， AE+CEAC， AECE， AED90，AED+CED180， CED90， 在ADE 和CDE 中， = = = ， ADECDE（SAS） ； （2）解：不能，理由如下： 直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半，才能通过 AB=12AC，ABAE，AE+CE
46、AC， 得到 AECE，进而证明全等， 对于任意一个直角三角形，不能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形 【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半 26如图，在四边形 ABCD 中，BAD，BCD180，BD 平分ABC （1）如图 1，若90，根据教材中一个重要性质直接可得 DACD，这个性质是 角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）问题解决：如图 2，求证 ADCD； （3）问题拓展：如图 3，在等腰ABC 中，BAC100，BD 平分ABC，求证：BD+ADBC 【分析】 （1）根据角平分线的性质定理解答
47、； （2）作 DEBA 交 BA 延长线于 E，DFBC 于 F，证明DEADFC，根据全等三角形的性质证明； （3）在 BC 时截取 BKBD，连接 DK，根据（2）的结论得到 ADDK，根据等腰三角形的判定定理得到KDKC，结合图形证明 【解答】解： （1）BD 平分ABC，BAD90，BCD90， DADC（角平分线上的点到角的两边距离相等） ， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图 2，作 DEBA 交 BA 延长线于 E，DFBC 于 F， BD 平分EBF，DEBE，DFBF， DEDF， BAD+C180，BAD+EAD180， EADC， 在DEA 和DFC 中， = = = DEADFC（AAS） ， DADC； （3）如图，在 BC 时截取 BKBD，连接 DK， ABAC，A100， ABCC40， BD 平分ABC， DBK=12ABC20， BDBK， BKDBDK80，即A+BKD180， 由（2）的结论得 ADDK， BKDC+KDC， KDCC40， DKCK， ADDKCK， BD+ADBK+CKBC 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
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