1、 第第 2222 章二次函数章二次函数 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1若 y（a+1）x|a+3|x+3 是关于 x 的二次函数，则 a 的值是（ ） A1 B5 C1 D5 或1 2下列关于二次函数 y（xm）2+m2+1（m 为常数）的结论错误的是（ ） A当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 B该函数的图象一定经过点（0，1） C该函数图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上 D该函数图象与函数 yx2的图象形状相同 3已知：抛物线的解析式为 y3（x2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 4将二次函数 y2x2向
2、左平移 5 个单位，再向上平移 3 个单位，所得新抛物线表达式为（ ） Ay2（x+5）23 By2（x+5）2+3 Cy2（x5）23 Dy2（x5）2+3 5二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： （1）4acb2； （2）abc0； （3）2a+b0； （4） （a+c）2b2 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 6已知抛物线 yax2+4ax8 与直线 yn 相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，AB4，且抛物线与 x轴只有一个交点，则 n 的值为（ ） A8 B4 C4 D8 7已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0
3、）两点，关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个整数根，其中一个根是 3，则另一个根是（ ） A5 B3 C1 D3 8物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： 小球在空中经过的路程是 40m 小球抛出 3s 后，速度越来越快 小球抛出 3s 时速度为 0 小球的高度 h30m 时，t1.5s 其中正确的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 9已知抛物线 yx2+bx+c 关于直线 x2 对称，设 x1，2，4 时对应
4、的函数值依次为 y1，y2，y4，那么 y1，y2，y4的大小关系是 （用“”连接） 10已知抛物线 yax22ax1（a0） （I）抛物线的对称轴为 ； （2）若当2x2 时，y 的最大值是 1，求当2x2 时，y 的最小值是 11已知二次函数 yax22ax+c（a0）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程ax22ax+c0 的两根之积是 12已知二次函数 yx2+4x+5 及一次函数 yx+b，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示） ，当直线 yx+b 与新图象有 4 个交点时，b的取值范
5、围是 13将抛物线 y（x3）21 向右平移 5 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 14如图，抛物线 yax2与直线 ybx+c 的两个交点坐标分别为 A（3，9） ，B（1，1） ，则方程 ax2bxc0 的解是 15抛物线 yax2+bx+tc（a0）交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C（0，3） ，其中点 B 坐标为（1，0） ，同时抛物线还经过点（2，5） （1）抛物线的解析式为 ； （2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点 E，与 x 轴交于点 H，连接 EC、EO，将抛物线向下平移 n（n0）个单位，当 EO 平分CEH 时，则 n 的值为 16某食品零售店
6、新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元，在销售过程中，每天的销售量 y（个）与销售价格 x（元/个）的关系如图所示，当 10 x20 时，其图象是线段 AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润总销售额总成本） 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17已知二次函数 yx2+mx+m23（m 为常数，m0）的图象经过点 P（2，4） （1）求 m 的值； （2）判断二次函数 yx2+mx+m23 的图象与 x 轴交点的个数，并说明理由 18 对于向上抛的物体， 如果空气阻力忽略不计， 有下面的关系式： hv0tgt2（h 是物体离起点的高度，v
7、0是初速度，g 是重力系数，取 10m/s2，t 是抛出后经过的时间） 杂技演员抛球表演时，以 10m/s 的初速度把球向上抛出 （1）球抛出后经多少秒回到起点？ （2）几秒后球离起点的高度达到 1.8m？ （3）球离起点的高度能达到 6m 吗？请说明理由 19在平面直角坐标系中，已知二次函数 yax2+（a1）x1 （1）若该函数的图象经过点（1，2） ，求该二次函数图象的顶点坐标 （2）若（x1，y1） ， （x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当 x1+x22 时，恒有 y1y2，试求此函数的最值 （3）当 a0 且 a1 时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由 20 某商场
8、新进一批拼装玩具， 进价为每个 10 元， 在销售过程中发现， 日销售量 y （个） 与销售单价 x （元）之间满足如图所示的一次函数关系 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）若该玩具某天的销售利润是 600 元，则当天玩具的销售单价是多少元？ （3）设该玩具日销售利润为 w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 21如图，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（4，0） ，B（0，2） M（m，0）为线段 OA 上一个动点（点 M与点 A 不重合） ，过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 D
9、、N （1）求直线 AB 的表达式和抛物线的表达式； （2）若 DN3DM，求此时点 N 的坐标； （3）若点 P 为直线 AB 上方的抛物线上一个动点，当ABP2BAC 时，求点 P 的坐标 22如图，已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，2） ，点 C（0，5） ，顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交二次函数 yx2+bx+c 的图象于点 B，连接 BC （1）求该二次函数的表达式及点 M 的坐标； （2）若将该二次函数图象向上平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC 的边界） ，求 m
10、 的取值范围； （3）若 E 为线段 AB 上一点，且 BE：EA3：1，P 为直线 AC 上一点，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 B、P、E、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1解：函数 y（a+1）x|a+3|x+3 是关于 x 的二次函数， |a+3|2 且 a+10， 解得 a5， 故选：B 2解：Ay（xm）2+m2+1（m 为常数） ， 抛物线开口向下，对称轴为直线 xm， xm 时，y 随 x 增大而减小，故 A 错误，符合题意； 当 x
11、0 时，y1， 该函数的图象一定经过点（0，1） ，故 B 正确，不合题意； y（xm）2+m2+1， 抛物线顶点坐标为（m，m2+1） ， 抛物线顶点在抛物线 yx2+1 上，故 C 正确，不合题意； y（xm）2+m2+1 与 yx2的二次项系数都为1， 两函数图象形状相同，故 D 正确，不合题意 故选：A 3解：y3（x2）2+1， 抛物线对称轴为直线 x2 故选：C 4解：将二次函数 y2x2向左平移 5 个单位，再向上平移 3 个单位，所得新抛物线表达式为 y2（x+5）2+3， 故选：B 5解：根据图象知道抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 即 4acb2， 故（1）正确
12、 抛物线开口朝下， a0， 对称轴在 y 轴右侧， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， c0， abc0，故（2）正确； 对称轴 x1， 2a+b0，故（3）错误； 根据图象知道当 x1 时，ya+b+c0， 根据图象知道当 x1 时，yab+c0， （a+c）2b2（a+c+b） （a+cb）0，故（4）正确； 故选：C 6解：抛物线与 x 轴只有一个交点， a0 且16a24a（8）0， a2， 抛物线解析式为 y2x28x8， 抛物线的对称轴为直线 x2， 而 AB 平行 x 轴，AB4， A 点的横坐标为4，B 点的横坐标为 0， 当 x0 时，y8， n 的值为8 故选
13、：A 7解：二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0）两点， 函数 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x1， 又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3 二次函数 yax2+bx+c 的图象与直线 ym 的一个交点的横坐标为 3， 对称轴是直线 x1， 二次函数 yax2+bx+c 的图象与直线 ym 的另一个交点的横坐标为5， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根是5， 故选：A 8解：由图象知小球在空中达到的最大高度是 40m；故错误； 小球抛出 3 秒后，速度越来越快；故正确； 小球抛出 3 秒时达到最高点即速
14、度为 0；故正确； 设函数解析式为：ha（t3）2+40， 把 O（0，0）代入得 0a（03）2+40，解得， 函数解析式为， 把 h30 代入解析式得， 解得：t4.5 或 t1.5， 小球的高度 h30m 时，t1.5s 或 4.5s，故错误； 故选 D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 9解：抛物线 yx2+bx+c 的开口向上，对称轴是直线 x2， 当 x2 时取最小值， 又|12|42|， y1y4， 故答案为：y2y1y4 10解： （1）抛物线的对称轴为：直线 x1， 故答案为：直线 x1； （2）抛物线 yax22ax1a（x1）2a1（a0
15、） ， 该函数图象的开口向下，对称轴是直线 x1，当 x1 时，取得最大值a1， 当2x2 时，y 的最大值是 1， x1 时，ya11，得 a2， y2（x1）2+1， 2x2， x2 时，取得最小值，此时 y2（21）2+117， 故答案为：17 11解：二次函数 yax22ax+c（a0）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 该函数的对称轴是直线 x1， 该函数图象与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ， 关于 x 的一元二次方程 ax22ax+c0 的两实数根是 x11，x23， 两根之积为3， 故答案为：3 12解：如图，当 y0 时，x2+4x+50，解得 x11，x25，
16、则 A（1，0） ，B（5，0） ， 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为 y（x+1） （x5） ， 即 yx24x5（1x5） ， 当直线 yx+b 经过点 A（1，0）时，1+b0，解得 b1； 当直线 yx+b 与抛物线 yx24x5（1x5）有唯一公共点时，方程 x24x5x+b 有相等 的实数解，解得 b， 所以当直线 yx+b 与新图象有 4 个交点时，b 的取值范围为b1 故答案为：b1 13解：将抛物线 y（x3）21 向右平移 5 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 y（x35）21+2，即 y（x8）2+1，
17、 故答案为：y（x8）2+1 14解：抛物线 yax2与直线 ybx+c 的两个交点坐标分别为 A（3，9） ，B（1，1） ， 方程 ax2bx+c 的解为 x13，x21， ax2bxc0 的解是 x13，x21， 故答案为：x13，x21 15解： （1）将点 C（0，3） 、B（1，0） 、 （2，5）代入抛物线 yax2+bx+tc 中，得： a+b+c0，c3，4a+2b+c5； 解得：a1，b2，c3， 抛物线的解析式为 yx22x+3 （2）抛物线向下平移 n 个单位后，E 为（1，4n） ，C 为（0，3n） ， EC， COEH， 当 COCE时，CEOCOEOCH， 3n
18、或 n3， 即 n3或 3+ 16解：当 10 x20 时，设 ykx+b，把（10，20） ， （20，10）代入可得： ， 解得， 每天的销售量 y（个）与销售价格 x（元/个）的函数解析式为 yx+30， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 w 元， w（x8）y（x8） （x+30）x2+38x240（x19）2+121， 10， 当 x19 时，w 有最大值为 121， 故答案为：121 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17解： （1）将（2，4）代入 yx2+mx+m23 得 44+2m+m23， 解得 m11，m23， 又m0， m1
19、（2）m1， yx2+x2， b24ac12+890， 二次函数图象与 x 轴有 2 个交点 18解：初速度为 10m/s，g 取 10m/s2， h10t10t210t5t2， （1）当 h0 时， 10t5t20， 解得 t0 或 t2， 球抛出后经 2 秒回到起点； （2）当 h1.8 时， 10t5t21.8， 解得 t0.2 或 t1.8， 0.2 秒或 1.8 秒后球离起点的高度达到 1.8m； （3）球离起点的高度不能达到 6m，理由如下： 若 h6，则 10t5t26， 整理得 5t210t+60， （10）2456200， 原方程无实数解， 球离起点的高度不能达到 6m 19
20、解： （1）函数图象过点（1，2） ， 将点代入 yax2+（a1）x1， 解得 a2， 二次函数的解析式为 y2x2+x1， x， y21， 该二次函数的顶点坐标为（，） ； （2）函数 yax2+（a1）x1 的对称轴是直线 x， （x1，y1） ， （x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且 x1+x22，则 y1y2， 1， a1， yx22x1（x+1）20， 当 x1 时，函数有最大值 0； （3）yax2+（a1）x1， 由顶点公式得：x+，y， a0 且 a1， x0，y0， 该二次函数图象的顶点在第二象限 20解： （1）设一次函数的关系式为 ykx+b， 由题图可知，
21、函数图象过点（25，50）和点（35，30） 把这两点的坐标代入一次函数 ykx+b， 得， 解得， 一次函数的关系式为 y2x+100； （2）根据题意，设当天玩具的销售单价是 x 元， 由题意得， （x10）（2x+100）600， 解得：x140，x220， 当天玩具的销售单价是 40 元或 20 元； （3）根据题意，则 w（x10）（2x+100） ， 整理得：w2（x30）2+800； 20， 当 x30 时，w 有最大值，最大值为 800； 当玩具的销售单价定为 30 元时，日销售利润最大；最大利润是 800 元 21解： （1）设直线 AB 的解析式为 ypx+q， 把 A（4
22、，0） ，B（0，2）代入得， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx+2； 把 A（4，0） ，B（0，2）代入 yx2+bx+c 得， 解得； 抛物线解析式为 yx2+x+2； （2）MNx 轴，M（m，0） ，点 D 在直线 AB 上，点 N 在抛物线上， N（m，m2+m+2） ，D（m，m+2） ， DNm2+2m，DMm+2， DN3DM， m2+2m3（m+2） ， 解得 m3 或 m4（舍） ， N（3，2） （3）如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B， OBOB，B（0，2） ， AOBAOB90，OAOA， AOBAOB， OABOAB， BAB2BAC， A（4，0）
23、，B（0，2） ， 直线 AB的解析式为：yx2， 过点 B 作 BPAB交抛物线于点 P，则ABPBAB2BAC，即点 P 即为所求， 直线 BP 的解析式为：yx+2， 令x+2x2+x+2，解得 x2 或 x0（舍） ， P（2，3） 22解： （1）将点 A（3，2） ，点 C（0，5）代入 yx2+bx+c， ， 解得， yx22x5， M（1，6） ； （2）平移后的函数解析式为 y（x1）26+m， 平移后的顶点坐标为（1，m6） ， 抛物线的顶点在 x1 的直线上， 设直线 CA 的解析式为 ykx+b， ， ， yx5， 当 x1 时，y4， 4m62， 解得 2m4； （3）存在一点 Q，使以 B、P、E、Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 当 y2 时，x22x52， 解得 x1 或 x3， B（1，2） ， AB4， BE：EA3：1， AE1， E（2，2） ， 设 P（t，t5） ，Q（x，x22x5） ， 当 BE 为平行四边形的对角线时， ， 解得或， Q（，）或（，） ； 当 BP 为平行四边形的对角线时， ， 解得或， Q（，）或（，） ； 当 BQ 为平行四边形的对角线时， ， 此时无解； 综上所述： Q 点坐标为 （，） 或 （，） 或 （，） 或 （，）
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