1、 第第 2121 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1下列是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2x2 Cx22x（x2） D 2关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的解是 x1m3，x21m，那么方程 a（xm）2+bx+cmb 的解是（ ） Ax13，x21 Bx12m3，x21 Cx12m3，x212m Dx13，x212m 3关于 x 的一元二次方程 ax2+2x10 有两个实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 且 a0 Ba1 且 a0 Ca1 Da1 4用配方法解一元二次方程 2x2
2、2x10，下列配方正确的是（ ） A B C D 5等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x26x+n+20 的两个根，则 n 的值为（ ） A6 B6 或 7 C7 或 8 D7 6已知 x1，x2是方程 x2x20220 的两个实数根，则代数式 x132022x1+x22的值是（ ） A4045 B4044 C2022 D1 7有关于 x 的两个方程：ax2+bx+c0 与 ax2bx+c0，其中 abc0，下列判断正确的是（ ） A两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C若两个方程都有实数根，则必有一
3、根相等 D若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 8某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x）2182 B50+50（1+x）+50（1+x）2182 C50（1+x）+50（1+x）2182 D50+50（1+x）182 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 9已知 x1 是关于 x 的一元二次方程的解，则 m1+a 的值为 10若关于 x 的一元二次方程 x2+2（m+1）x+c10 有两个相等的实数根，则 c 的最小值是 ，此时原方程的解是 11已
4、知实数 a、b 满足（a2+b2）2（a2+b2）20，则 a2+b2 12已知 a，b（ab）满足 a22a10，b22b10，则 13已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 x27x+100 的根，则这个三角形的周长为 ； 14已知关于 x 的方程 ax2bxc0（a0）的系数满足 abc0，且 4a+2bc0，则该方程的根是 15已知直角三角形的其中两条边长是方程 x212x+320 的根，则该三角形的第三条边长为 16商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件据
5、此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到 2100 元 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17用适当的方法解下列方程 （1）x24x450； （2）2x25x+10 18已知关于 x 的一元二次方程 x2 2x+m 10 （1）当 m 取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若 x1 是这个方程的一个根，求 m 的值和另一根 19已知关于 x 的方程 x2（2m+1）x+m（m+1）0 （1）求证：无论 m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为 x1，x2，且 x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为
6、 6，求m 的值 20如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为 60m 的篱笆围成， 与墙平行的一边 BC 上要预留 2m 宽的入口 （如图中 MN 所示， 不用篱笆） ， 已知墙长为 28m （1）当矩形的长 BC 为多少米时，矩形花园的面积为 300 平方米； （2）能否围成 500 平方米的矩形花园？若能求出 BC 长；若不能，说明理由 21如图，在ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动若 P，Q
7、 两点同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，P，Q 两点同时停止运动求： （1）几秒后，PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）几秒后，PQ 的长度等于 2cm？ （3）PBQ 的面积能否等于 7cm2？说明理由 22某超市销售一种衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件 （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出 件衬衫，此时每天销售获利 元 （2） 在每件盈利不少于 25 元的前提下， 要使该衬衫每天销售获利为 1200 元， 问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每
8、天的销售获利能达到 1300 元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解：A、当 a0 时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意； B、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； C、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意 故选：B 2解：方程 a（xm）2+bx+cmb 可变形为 a（xm）2+b（xm）+c0， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的解是 x1m3，x21m， 方程 a（xm）
9、2+bx+cmb 的解为 x1mm3，x2m1m，即 x12m3，x21 故选：B 3解：根据题意得 a0 且224a（1）0， 解得 a1 且 a0 故选：B 4解：方程 2x22x10， 整理得：x2x， 配方得：x2x+，即（x）2 故选：C 5解：三角形是等腰三角形， a2，或 b2；ab 两种情况， 当 a2，或 b2 时， a，b 是关于 x 的一元二次方程 x26x+n+20 的两个根， x2， 把 x2 代入 x26x+n+20 得，2262+n+20， 解得：n6， 当 n6，方程的两根是 2 和 4，而 2，4，2 不能组成三角形， 故 n6 不合题意， 当 ab 时，方程
10、 x26x+n+20 有两个相等的实数根， （6）24（n+2）0 解得：n7 故选：D 6解：把 xx1代入方程得：x12x120220，即 x122022x1， x1，x2是方程 x2x20220 的两个实数根， x1+x21，x1x22022， 则原式x1（x122022）+x22 x12+x22 （x1+x2）22x1x2 1+4044 4045 故选：A 7解：两个方程的根的判别式相等为b24ac，所以两个方程解的情况相同，所以排除 A； 两个方程只有 b 的系数是相反数，其他系数相同，所以必有一根是互为相反数， 故选：B 8解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么得五、六月
11、份的产量分别为 50（1+x） 、50（1+x）2， 根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2182 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 9解：由题意得： ， 解得 m2， 故关于 x 的一元二次方程为 4x23x2a0， 因为 x1 是关于 x 的一元二次方程的解， 所以 432a0， 解得 a， 所以 m1+a1 故答案为：1 10解：方程 x2+2（m+1）x+c10 有两个相等的实数根， 4（m+1）24（c1）0， （m+1）2c1， （m+1）20， c10， c1 c 的最小值是 1， m+10， 此时原方程为 x20，方程的解
12、为 x1x20 故答案为：1，x1x20 11解： （a2+b2）2（a2+b2）20， 设 a2+b2x，则原方程化为 x2x20， 解得：x2 或1， 当 x2 时，a2+b22， 当 x1 时，a2+b21， 不论 a、b 为何值，a2+b2都不能为负数， 此时不符合题意，舍去， 即 a2+b22， 故答案为：2 12解：a，b（ab）满足 a22a10，b22b10， a，b 为方程 x22x10 的两根， a+b2，ab1， 则原式6 故答案为：6 13解：x27x+100， （x5） （x2）0， x50 或 x20， 所以 x15，x22， 等腰三角形的每条边长都是一元二次方程
13、x27x+100 的根， 等腰三角形的边长为 2、2、2 或 5、5、2 或 5、5、5， 这个三角形的周长为 6 或 12 或 15 故答案为：6 或 12 或 15 14解：关于 x 的方程 ax2bxc0（a0）的系数满足 abc0，且 4a+2bc0， 该方程的根是 x11，x22 故答案为：x11，x22 15解：方程分解因式得： （x4） （x8）0， 所以 x40 或 x80， 解得：x4 或 x8， 当 8 是直角边时，根据勾股定理得：第三条边长为4； 当 8 是斜边时，根据勾股定理得：第三条边长为4 故答案为：4或 4 16解：降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可
14、多售出 2x 件，盈利的钱数50 x， 由题意得： （50 x） （30+2x）2100， 化简得：x235x+3000， 解得：x115，x220， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选 x20， 故答案为：20 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17解： （1）x24x450， （x9） （x+5）0， x90 或 x+50， x19，x25； （2）2x25x+10， （5）2421 258 170， x， x1，x2 18解： （1）关于 x 的一元二次方程 x22x+m10 有两个不相等的实数根， b24ac44m+40， 即 m2
15、（2）当 x1 时，12+m10， m2， x2 2x+10， 解得 x1x21 即另一根是 1 19 （1）证明：（2m+1）24m（m+1）4m2+4m+14m24m10， 0， x2（2m+1）x+m（m+1）0 总有两个不相等的实数根； （2）方程 x2（2m+1）x+m（m+1）0 的两根分别为 x1，x2， x1x2m（m+1） ， x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为 6， x1x26， m（m+1）6， 解得 m4 或 m3， 当 m4 时，x13，x24，不符合题意，舍去， 当 m3 时，x13，x24 符合题意， m 的值为 3 20解： （1）设矩形花
16、园 BC 的长为 x 米，则矩形花园 AB 的长为（60 x+2）米， 依题意得：（60 x+2）x300， 整理得：x262x+6000， 解得：x112，x250， 2850， x250（不合题意，舍去） ， x12 答：当矩形的长 BC 为 12 米时，矩形花园的面积为 300 平方米 （2）不能，理由如下： 设矩形花园 BC 的长为 y 米，则矩形花园 AB 的长为（60y+2）米， 依题意得：（60y+2）y500， 整理得：y262y+10000， b24ac（62）24110001560， 该方程无实数根，即不能围成 500 平方米的矩形花园 答：不能围成 500 平方米的矩形花
17、园 21解：72（s） 当运动时间为 ts（0t）时，PB（5t）cm，BQ2tcm （1）依题意得：2t（5t）4， 整理得：t25t+40， 解得：t11，t24（不合题意，舍去） 答：1 秒后，PBQ 的面积等于 4cm2 （2）依题意得： （5t）2+（2t）2（2）2， 整理得：t22t30， 解得：t13，t21（不合题意，舍去） 答：3 秒后，PQ 的长度等于 2cm （3）不能，理由如下： 依题意得：2t（5t）7， 整理得：t25t+70 （5）241730， 该方程没有实数根， PBQ 的面积不能等于 7cm2 22解： （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出 20
18、+4228（件） ， 此时每天销售获利（404）281008（元） 故答案为：28；1008 （2）设每件衬衫降价 x 元，则每件盈利（40 x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依题意得： （40 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220， 当 x10 时，40 x40103025，符合题意； 当 x20 时，40 x40202025，不符合题意，舍去 答：每件衬衫应降价 10 元 （3）不能，理由如下： 设每件衬衫降价 y 元，则每件盈利（40y）元，平均每天可售出（20+2y）件， 依题意得： （40y） （20+2y）1300， 整理得：y230y+2500， （30）2412501000， 该方程没有实数根， 即该衬衫每天的销售获利不能达到 1300 元
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