1、 第第 2121 章一元二次方程章一元二次方程 一、单选题一、单选题 1某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场） ，计划安排 21 场比赛，设参赛队数为 x，列方程为（ ） Ax（x1）21 B12x（x1）21 C2x（x1）21 Dx（x1）21 2 我国古代著作 四元玉鉴 记载“买椽多少”问题： “六贯二百一十钱， 遣人去买几株椽 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x株，则符合题
2、意的方程是（ ） A316210 xx B316210 x C316210 xx D36210 x 3已知1x、2x是一元二次方程220 xx的两个根，则1211xx的值是（ ） A1 B12 C1 D12 4已知关于 x的一元二次方程 x2mx30 有一个根为 1，则 m的值为（ ） A1 B1 C2 D2 5某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ） A100(1+x)2=81 B100 (1-x2)=81 C100(1-2x)=81 D100(1-x)2=81 6若2x 是一元二次方程220 xx
3、m的一个根，则方程的另一个根及 m 的值分别是（ ） A0，2 B0，0 C2，2 D2，0 7如图，一次函数 y=-3x+4 的图象交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，过点 P分别作 OA和 OB 的垂线，垂足为 C，D若矩形 OCPD 的面积为 1 时，则点 P的坐标为（ ） A （13，3） B （12，2） C （12，2）和（1，1） D （13，3）和（1，1） 8关于 x的方程2320 xkx实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A有两个相等实数根 B有两个不相等实数根 C没有实数根 D有一个实数根 9如图，一农户要建一个矩形花圃，
4、花圃的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，花圃面积为 80m2，设与墙垂直的一边长为 xm，则可以列出关于 x 的方程是（ ） Ax（262x）=80 Bx（242x）=80 C （x1） （262x）=80 D （x-1） （252x）=80 10用配方法解一元二次方程 x210 x110，此方程可化为（ ） A （x5）214 B （x5）214 C （x5）2 36 D （x5）2 36 11一元二次方程2520 xx的解是（ ） A10 x ，225x B10 x ，225x C10 x 252x D1
5、0 x ，252x 12某商店从厂家以每件 18 元的价格购进一批商品该商品可以自行定价据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价 a 元，则可卖出320 10a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的 25%，如果商店计划要获利 400 元则每件商品的售价应定为（ ） A22 元 B24 元 C26 元 D28 元 13直线yxa不经过第二象限，则关于x的方程2210axx 实数解的个数是（ ）. A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 14已知226Axxn，222423Bxxn，下列结论正确的个数为( ) 若226Axxn是完全平方式，则3n； BA的最小值是
6、2； 若 n 是0AB的一个根，则2216549nn； 若202220192AA，则22202220194AA A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 15若关于x的一元二次方程2500axbxa有一根为 2022，则方程2115a xb x 必有根为（ ） A2022 B2020 C2019 D2021 16关于 x 的一元二次方程2(3)10 xkxk 根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 17对于一元二次方程200 axbxca，下列说法： 若0a b c ，则240bac； 若方程20axc有两个不相等的实根，则方程20
7、axbxc必有两个不相等的实根； 若 c 是方程20axbxc的一个根，则一定有10acb 成立； 若0 x是一元二次方程20axbxc的根，则22042bacaxb其中正确的（ ） A只有 B只有 C D只有 18据统计 2019 年某款 APP 用户数约为 2400 万，2021 年底达到 5000 万假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款 APP用户数首次突破一亿的年份是（ ） A2022 年 B2023 年 C2024 年 D2025 年 19若，是方程2x2x20180的两个实数根，则23的值为( ) A2015 B2016 C2016 D2019 20关于x的一元二次方程
8、2220 xmxn有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程2220ynym同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；22(1)(1)2mn；1221mn ，其中正确结论的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题二、填空题 21某单位 10 月份的营业额为 100 万元，12 月份的营业额为 200 万元，假设该公司 11、12 两个月的增长率都为 x，那么可列方程是 _ 22若2110mmxmx 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是_ 23已知 x1、x2是关于 x的方程 x22x+k10 的两实数根，且2112xxxxx12+2x21
9、，则 k 的值为 _ 24若等腰三角形的一边长为 6，另两边的长是关于x的一元二次方程280 xxm的两个根，则m的值为_ 2522096xx因式分解结果为_，方程 220960 xx 的根为_ 三、解答题三、解答题 26关于 x 的一元二次方程 kx2+（k+1）x+4k0 （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若其根的判别式的值为 3，求 k 的值及该方程的根 27如图，在 ABC 中，B90 ，AB12cm，BC24cm，动点 P从点 A出发沿边 AB 向点 B 以 2cm/s的速度移动，同时动点 Q从点 B出发沿边 BC 向点 C以 4cm/s 的速度移动，当 P
10、运动到 B点时 P、Q两点同时停止运动，设运动时间为 ts (1)BP cm；BQ cm； （用 t的代数式表示） (2)D是 AC的中点，连接 PD、QD，t为何值时 PDQ的面积为 40cm2？ 28 2022 年某地桑葚节于 4 月 5 日到 4 月 20 举行， 热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、 桑葚酒、 桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友已知桑葚酒是桑葚酱单价的45，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共 7500 千克，桑葚酒销售额为 2
11、00000 元，桑葚酱销售额为 125000 元 (1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价； (2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销桑葚酱在预计单价的基础上降低2(0)5a% a 销售，桑葚酒比预计单价降低14a元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了 a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了 3500a元求 a的值 29某汽车租赁公司用 650 万元资金购进 A、B 两种型号小轿车共 30 辆，已知 A 型车每辆 25 万元，比每辆B 型车贵 10 万元 (1)求该公司购进
12、A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆 A 型车的月租金为 4000 元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加 300 元，未租出的车将增加 1 辆B型车的月租金为每辆 3000 元，因价格相对较低，每月均能全部租出租出的车每辆每月的平均维护费为 500 元，未租出的车辆每月平均维护费为 100 元规定每辆车月租金不能超过 5000 元，当每辆A 型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 9.95 万元？ 30对于任意一个三位数 k，如果 k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的 数字与个位上的数字之积的 4 倍，那么称这个
13、数为“喜鹊数”例如：k169，因为 624 1 9，所以 169 是“喜鹊数” (1)已知一个“喜鹊数”k100a+10b+c（1a、b、c9，其中 a，b，c为正整数） ，请直接写出 a，b，c 所满足的关系式 ；判断 241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”） ，并写出一个“喜鹊数” ； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的 a，b，c 构造两个一元二次方程 ax2+bx+c0与 cx2+bx+a0，若 xm是方程的一个根，xn是方程的一个根，求 m 与 n 满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且 m+n2，请直接写出满足条件的所有 k的值. 参考答案参考答案 1-10BADDD BDBA
14、A 11-20BADBD AABCD 21100（1x）2200 222 232 2412 或 16 25 （x+24）(x-4) x1=-24 ， x2=4 26 （解： （1）该方程的判别式为：214214kkkk， 方程有两个不相等的实数根， 2k+10， 解得12k ， 又该方程为一元二次方程， 0k ， k 的取值范围为：12k 且0k （2）由题意得 2k+13 解得 k1， 原方程为：2120,4xx 11,2,4abc 2124 130,4 解得：12232323,.222xx 27 （1）根据题意得：AP2tcm，BQ4tcm，所以 BP（122t）cm故答案是： （122t
15、） ；4t （2）如图，过点 D作 DHBC于 H，B90，即 ABBC，ABDH，又D 是 AC 的中点，BH=12BC12cm，DH是ABC的中位线，DH1=2AB6cm，根据题意，得1112 24-422t（122t）1-2（244t）61-22t1240，整理，得 t26t+80，解得：t12，t24，即当 t2 或 4 时，PBQ的面积是 40cm2 28(1)解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为 x元/千克，则销售桑葚酒的单价为45x元/千克， 根据题意得：200000125000750045xx， 解得：50 x 经检验，50 x 是方程的解， 4405x 答：预计销售桑葚酱的单价
16、为 50 元/千克，则销售桑葚酒的单价为 40 元/千克 (2)桑葚酱降价后的单价为250(1%)(0)5aa，桑葚酒降价后的单价为1(40)4a元， 桑葚酱的销量为125000=250050千克，桑葚酒的销量为200000(1%)5000(1%)40aa千克， 2150(1%) 2500(40) 5000(1%)54aaa125000 200000 3500a 解得：a=20 或 a=0（舍去） ， a=20 29（1） 解： 设该公司购进 A 种型号的轿车 x 辆， B种型号的轿车 y辆， 根据题意得：302525 10650 xyxy，解得：2010 xy，答：该公司购进 A 种型号的轿
17、车 20 辆，B种型号的轿车 10 辆； （2）解：设每辆 A 型车的月租金定为 m 元，则可租出4000201300m辆，根据题意得： 400040004000(201)3000 10500(201)500 10 100199500300300300mmmm ，整理得：210400269500000mm， 解得：124900,5500mm， 规定每辆车月租金不能超过 5000 元， m=4900，答：当每辆 A 型车的月租金定为 4900 元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 9.95 万元 30（1）k100a+10b+c是喜鹊数， b24ac，即 b24ac0； 4216，
18、4 2 18，168， 241 不是喜鹊数； 各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的 4 倍， 十位上的数字的平方最小为 4， 224，4 1 14， 最小的“喜鹊数”是 121 故答案为：b24ac0；不是；121 （2）xm是一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根，xn是一元二次方程 cx2+bx+a0 的一个根， am2+bm+c0，cn2+bn+a0， 将 cn2+bn+a0 两边同除以 n2得：a（1n）2+b（1n）+c0， 将 m、1n看成是方程 ax2+bx+c的两个根， b24ac0， 方程 ax2+bx+c有两个相等的实数根， m1n，即 mn1； 故答案为：mn1 （3） m+n2，mn1， m1，n1， ab+c0， ba+c， b24ac， （a+c）24ac， 解得：ac， 满足条件的所有 k 的值为 121，242，363，484 故答案为：121，242，363，484
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