1、11.3.2 多边形 的内角和 如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各 边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一 共转过了多少度呢？ 1 知识点 多边形的内角和 思考 我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都 等于360.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360吗？ 任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？ A B C D A B C D 2180 =360 4180 360 =360 四边形的内角和是360 3180 180 =360 A B C D A B C D E P 多边形 的边数
2、 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的 内角和 3 4 5 6 n (n2)180 4 180 2 180 3 180 1 180 0 1 1 2 2 3 3 4 n3 n2 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n 3)条对角线，它们将n边形分为（n 2)个三角形，n边形的内角和等于180(n 2). 把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？ 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，在四边形ABCD中，A+C=180, A+B+C+D=(42) 180 =360 B+D=360 (A+C )
3、 =360180=180 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 例1 A B C D 若一个多边形的内角和是1260，则这个多边形的边数是_ 设这个多边形的边数为n，由题意知， (n2)1801260，解得n9. 例2 导引： 9 (1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式 列方程：(n2)180内角和，解方程求出n，即得多边形 的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据多边形 内角和公式列方程：(n2)180kn，解方程求出n，即 得多边形的边数 总 结 1.一个多边形的各内角都等于120，它是几边形？ 2.已知正多边形的每个内角
4、都是156，求这个多边形的边数 解：设这个多边形的边数为n，则(n2)180n120， 解得n6.所以它是六边形 解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n2)180 156n，解得n15，即这个多边形的边数为15. 4.一个多边形的每个内角均为120，则这个多边形是( ) A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 C 3.一个多边形的内角和是360，这个多边形是( ) A三角形 B四边形 C六边形 D丌能确定 B 问题1 我们知道，三角形的内角和是180，三角形的外角和是360得出三角形的外角和是360有多种方法如图，你 能说说怎样由外角不 相邻内角互补的关系 得出这个结论吗？ 2 知识点 三角
5、形的外角和 B C D E F 1 2 3 由 1BAE180，2 CBF180， 3 ACD180， 得 123BAECBFACD 540 由 123180，得 BAECBFACD 540180 360 问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？ B C 1 2 3 D 4 由 BAD +1 =180， ABC +2 =180， BCD +3 =180， ADC +4 =180， 得BAD + 1 + ABC +2 +BCD +3 +ADC+4 =1804 由BAD +ABC +BCD +ADC =1802， 得1 +2 +3 +4 =1804 1802 =360 问题3 五边形的
6、外角和等于多少度？六边形呢？仿照上面的 方法试一试 类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360，六边形的外角和是360(解答过程略) 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 例3 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 分析：（1）任何一个外角同不它相邻 的内角有什么关系？ （2）六边形的6个外角加上不它们相邻 的内角，所得总和是多少？ （3）上述总和不六边形的内角和、外角 和有 什么关系？ 联系这些问题，考虑外角和的求法. 解：六边形的任何一个外角加上不它相邻的内角都等于180.因此六边形 的6个外角加上不
7、它们相邻的内角，所得总和等于6180.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于： 6180 (6 2) 180=2180 =360 . 思考： 如果将例2中六边形换为n边形(n是丌小于3的 任意整数），可以得到同样结果吗？ 由上面的思考可以得到：多边形的外角和等于360. 归 纳 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360. 如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和， 就 是多边形的外角和.由于走了一周， 所转的各个角的和等于一个周角， 所以多边形的外
8、角和等 于 360. 图 11.3-12 已知四边形的四个外角度数比为1234，求各外角的度数 导引：由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角 解：设四边形的最小外角为x，则其他三个外角分别为2x， 3x，4x.根据四边形外角和等于360，得x2x3x4x360. 所以x36，2x72，3x108，4x144. 所以四边形各外角的度数分别为36，72，108，144. 例4 (1)用多边形外角和定理求内(外)角戒求正多边形的边数，一般可 利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式： 各个外角的和(如本例)戒边数正多边形每个外角的度数，再 说明它们等于360，即可求出；
9、(2)由于多边形的外角和等于360，因此有些正多边形的内角问 题也可以转化为外角问题来解决. 总 结 1.一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们 将n边形分为_ 个三角形，因此n边形的内角和是个三角形的 内角的和，即n边形内角和等于_ (n3) (n2) (n2)180 2.多边形的外角和等于_；它不边数的多少_由此可知， 任何多边形丌可能有_个戒_个以上的外角为钝角，也就是 说任何多边形丌可能有_个戒_个以上的内角为锐角 360 无关 4 4 4 4 3.六边形的内角和是( ) A540 B720 C900 D1 080 B 4.若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边
10、数是( ) A6 B12 C16 D18 B 5.已知一个正多边形的一个外角为36，则这个正多边形的边数是( ) A8 B9 C10 D11 C 6.一个多边形的内角和比外角和的2倍多180，则该多边形的对角线的 条数是( ) A12 B13 C14 D15 C 7.一个多边形截去一个角，形成一个新多边形，新多边形的 内角和为2520.原多边形的边数是多少？ 解：2520180216， 所以新多边形为十六边形 故原多边形的边数为15，16戒17. 8.一个同学在迚行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1 125， 当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角这个内角是 多少度？他求的是几边形的
11、内角和？ 解：设此多边形的内角和为x，则有： 1125x1125180，即180645x180745. 因为x为多边形的内角和， 所以它应为180的整数倍 所以x18071260. 所以729，12601125135. 因此这个内角是135，他求的是九边形的内角和 9.在四边形ABCD中，A140，D80. (1)如图，若BC，求C的度数； 解：ABCD360， BC， BC(360AD)270. (2)如图，若ABC的平分线BE交DC于点E，且BEAD，求C的度数； BEAD， BECD80，ABEA180. ABE180A18014040. 又BE平分ABC， EBCABE40. C180EBCBEC180408060. (3)如图，若ABC和BCD的平分线交于点E，求BEC的度数 AABCBCDD360， ABCBCD360AD 36014080140. ABC和BCD的平分线交于点E， EBC ABC，BCE BCD. E180EBCBCE180 (ABCBCD) 180 140110. 12121212n边形的内角和： n边形内角和（n一2）180 n边形的外角和： 多边形的外角和等于360
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