1、22.1.3 二次函数y=a(x-h)+k图象和性质 第1课时 前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质,同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗?今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 1 知识点 二次函数y=ax2+k的图象 思考: 观察抛物线y2x21,y2x21,你能说出它们的开口方向、对称轴和顶点各是什么吗?这两个图象有什么共同点?由此你能得出抛物线yax2k有怎样的几何性质? 归 纳 几何性质: (1)抛物线yax2k开口方向由a决定,当a0时,开口向 上,当a0时,函数有最小值k,当a0,当
2、x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小. 例1 已知二次函数y=3x2+k的图象上有A( ,y1),B(2,y2), C( ,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A. y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y3y2y1 25 D 因为a=30,所以图象开口向上,因为对称轴为y轴,所以当 x0时,y随x的增大而增大,因为x1= 0,x2=20,x1x2, 所以y1y2,又 所以点C( ,y3)到对称轴的距离 于点B(2,y2)到对称轴的距离,所以y2y2y1. 252 ,5 导引: 归 纳 解答此类题有两种思路, 思路一:将三点的横
3、坐标分别代入函数解析式,求出对应的y1,y2,y3的值,再比较大小,但这样计算比较困难,显然丌是最佳的方案; 思路二:根据二次函数图象的特征来比较,利用增减性以及点在抛物线上的大致位置,关键是这些点不对称轴的位置关系来确定y1,y2,y3的大小,显然这种方法比较简单 观察例1中抛物线y=2x2+1,抛物线y=2x2-1不抛物线y=2x2,它们之间有什么关系? 问 题(一) 归 纳 这三条抛物线的开口方向,开口大小都相同,对称轴都是y轴,把抛物线y2x2向上平秱1个单位长度,就得到抛物线y2x21;把抛物线y2x2向下平秱1个单位长度,就得到抛物线y2x21. (1)一般地,抛物线y=ax2+k
4、不y=ax2形状相同,位置丌同; (2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平秱 个单位长 度得到(当k0时,向上平秱;当k0时,开口向上; 当a0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点为(0,k). k1.对于二次函数y3x22,下列说法错误的是( ) A最小值为2 B图象不x轴没有公共点 C当x0时,y随x的增大而增大 D图象的对称轴是y轴 C 2.抛物线y2x21是由抛物线y2x2 ( )得到的 A向上平秱2个单位长度 B向下平秱2个单位长度 C向上平秱1个单位长度 D向下平秱1个单位长度 C 1.二次函数yax2k的图象不抛物线yax2的开口方向_, 对称轴是_,只是位置丌同,可以由抛物
5、线yax2上下平 秱_个单位长度得到,其顶点坐标是_ 相同 y轴 |k| (0,k) 2.二次函数yax2k的性质: 若a0,当x0时,y随x的增大而_;当x0时,y随 x的增大而_;当x0时,y取最小值_ 若a0,当x0时,y随x的增大而_;当x0时,y随 x的增大而_;当x0时,y取最大值_ 增大 减小 k 减小 增大 k 3.抛物线yax2c的顶点是(0,2),且形状及开口方向不抛物 线y x2相同,则a,c的值分别为( ) A ,2 B ,2 C. ,2 D. ,2 1212121212A 4.在二次函数:y3x2 ; y x21;y x23中, 图象开口由大到小用序号表示为( ) A
6、 B C D C 12435.在同一坐标系中,一次函数ymxn2不二次函数yx2m 的图象可能是( ) D 6.已知yax2k的图象上有三点A(3,y1),B(1,y2),C(2,y3), 且y2y3y1,则a的取值范围是( ) Aa0 Ba0 Ca0 Da0 A 7.抛物线yax2k的顶点坐标是(0,2),且形状及开口方向不 抛物线y x2相同 (1)确定a,k的值; (2)画出抛物线yax2k. 12解: 略 解:由题意易知a , 把点(0,2)的坐标代入y x2k, 得k2. 12128.如图,直线l经过A(3,0),B(0,3)两点,且不二次 函数yx21的图象在第一象限内相交于点C.
7、 (1)求AOC的面积; 设直线l的函数解析式为ykxb(k0),把A,B两点坐标代入得: 故直线l的函数解析式为yx3. 交点C在第一象限,C(1,2), SAOC OA|yC| 323. 330bkb , ,解得 31bk , ,由 231yxyx , 得 12122152xxyy , ,1212(2)二次函数图象的顶点为D,求ABD的面积 由题意可知抛物线的顶点为D(0,1), SABD BD|xA| 233. 12129.已知抛物线yx23如图所示 (1)作出抛物线yx23关于x轴对称的图象; 画图略 易知新图象不抛物线yx23形状相同, 且顶点为(0,3),对称轴为y轴, 新图象对应
8、的函数解析式为yx23. (2)求出新图象对应的函数解析式; (3)两个图象的顶点为C,D,不x轴的交点为A,B,试判断四边 形ACBD的形状,并说明理由 四边形ACBD为菱形理由如下: 设C(0,3),D(0,3),令x230,得x . A( ,0),B( ,0) 易求得ACBCBDAD2 . 四边形ACBD为菱形 3333二次函数y=ax2+k的图象不性质: 二次函数解析式 a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 yax2k a0 向上 y轴 (0, k) 当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小 当x0时, y最小值k a0 向下 y轴 (0, k) 当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小 当x0时, y最大值k