1、第22课时尺规作图一、解答题1（2021北京中考真题）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆取的中点，那么直线表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在
2、中，_，是的中点，（_）（填推理的依据）直线表示的方向为东西方向，直线表示的方向为南北方向2（2020北京中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CDAB求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且ABP=作法：以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；连接BP线段BP就是所求作线段（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：CDAB，ABP= AB=AC，点B在A上又BPC=BAC（ ）（填推理依据）ABP=BAC3（2018北京中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线及直线外一点求作：，使
3、得作法：如图，在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；作直线所以直线就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：_，_，（_）（填推理的依据）4（2022北京东城二模）如图，在中，求作：直线，使得/小明的作法如下：以点A为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；分别以点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；画直线直线即为所求，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面
4、的证明。证明：由作法可知：平分（_）（填推理的依据），_/（_）（填推理的依据）5（2022北京东城一模）已知：线段AB求作：，使得，作法：分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接BD，在BD的延长线上截取；连接AC则为所求作的三角形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接AD，为等边三角形（）（填推理的依据），_（）（填推理的依据）在中，6（2022北京西城二模）已知：如图，ABC求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且ADC+ABC=180作法：分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线
5、l1与l2交于点O；以点O为圆心，OA的长为半径画圆，O与l1在直线BC上方的交点为D；连接DA，DC所以点D就是所求作的点(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接OA，OB，OC直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，OA=OC，DA=DC直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，_=_OA=OB=OC点A，B，C都在O上点D在O上，ADC+ABC=180（_）（填推理的依据）7（2022北京西城一模）已知：如图，线段AB求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB作法：作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接
6、BG；以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC所以点C，D就是所求作的点(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：EH=BG，BH=EG，四边形EGBH是平行四边形（_）（填推理的依据），即AC_=AEAGAE=EF=FG，AE=_AGAC=CD=DB8（2022北京朝阳二模）已知：线段AB求作：ABC，使得，作法：分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线AB的一侧相交于点D；连接BD并延长，在BD的延长线上取一点C，使得；连接ACABC就
7、是所求作的三角形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接AD，ABD是等边三角形（）（填推理的依据）， （）（填推理的依据）9（2022北京朝阳一模）中国古代数学家李子金在几何易简集中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”由记载可得作法如下：作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；连接，都是圆内接正三角形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（
8、保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，证明：连接，为_同理可得，（_）（填推理的依据），是等边三角形同理可得，是等边三角形10（2022北京海淀一模）元史天文志中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度如图1所示春分时，太阳光直射赤道此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所
9、以根据太阳光与杆子MN所成的夹角可以推算得到M地的纬度，即的大小(1)图2是中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角的示意图过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ（保留作图痕迹）；(2)依据图1完成如下证明证明：，_（_）（填推理的依据）M地的纬度为11（2021北京东城二模）已知：如图，点C在MON的边OM上求作：射线CD，使CDON，且点D在MON的角平分线上作法：以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；画射线OQ；以点C为圆心，CO长为
10、半径画弧，交射线OQ于点D；画射线CD射线CD就是所求作的射线（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：OD平分MON，MOD=_OC=CD，MOD=_NOD=CDOCDON（ ）（填推理的依据）12（2021北京东城一模）尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长作法：作直线m，在m上任意截取线段；作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；分别连接AB，BC，CD，DA；则四边形ABCD就是所求作的葵形（1）使用直尺和圆规，依作法补全
11、图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：，四边形ABCD是_，四边形ABCD是菱形（_）（填推理的依据）13（2021北京西城二模）如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）步骤作法推断第一步在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接 ，理由是 第二步过点C作的垂线，交于点D，交于点E， 第三步作射线射线平分射线为所求作14（2021北京西城一模）阅读材料并解决问题：已知：如图，及内部一点P求作：经过点P的线段，使得点E，F分别在射线，上，且作法：如图以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点M，N；
12、连接，作线段的垂直平分线，得到线段的中点C；连接并在它的延长线上截取；作射线，分别交射线，于点F，E线段就是所求作的线段（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接由得，线段_（填“”，“”或“”）在和中，（_）（填推理的依据）又由得，线段可得15（2021北京朝阳二模）已知：如图，ABC为锐角三角形，ABAC求作：BC边上的高AD作法：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F(不与点A重合)；连接AF交BC于点D线段AD就是所求作的线段（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕
13、迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AE，EF，BFAB=AE= EF = BF，四边形ABFE是_（_）（填推理依据）AFBE即AD是ABC中BC边上的高16（2021北京朝阳一模）已知：如图，中，求作：线段，使得点D在线段上，且作法：以点A为圆心，长为半径画圆；以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P（不与点B重合）；连接交于点D线段就是所求作的线段（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接，点C在上点P在上，（_）（填推理的依据），_17（2021北京海淀二模）已知：，B为射线AN上一点求作：，使得点C在射线AM上，且作法：以点A为圆心，AB长为半径
14、画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；连接FB，交射线AM于点C就是所求作的三角形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EF，AF，点B，E，F在上，（_）（填写推理的依据）在中，_18（2020北京东城二模）下面是“作一个角”的尺规作图过程已知：平面内一点A求作：，使得作法：如图，作射线；在射线取一点O，以O为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点C；分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E；作射线则即为所求作的角（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）
15、完成下面的证明证明：，_（_）（填推理的依据）19（2020北京西城二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：ABC求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等作法：如图，作BAC的平分线，交BC于点D则点D即为所求根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明证明：作DEAB于点E，作DFAC于点F，AD平分BAC， = () (填推理的依据) 20（2020北京西城一模）先阅读下列材料，再解答问题尺规作图已知:ABC，D是边AB上一点，如图1，求作:四
16、边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形小明的做法如下：请你参考小明的做法，再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明21（2020北京朝阳二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线，使得作法：如图，任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；以P为圆心，长为半径画弧，交l于点，连接；分别以点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线的两旁）；作直线所以直线就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的
17、证明证明：连接，_，_，四边形是平行四边形（_）（填推理依据）22（2020北京海淀二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线，使得作法：如图，在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B，以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接，以A为圆心，为半径画弧与线段交于点，则直线即为所求根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：，（_）（填推理的依据）_，（_）（填推理的依据）即23（2019北京东城二模）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程已知：四边形是
18、平行四边形求作：菱形（点在上，点在上）作法：以为圆心，长为半径作弧，交于点；以为圆心，长为半径作弧，交于点；连接所以四边形为所求作的菱形根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：， 在中，即四边形为平行四边形，四边形为菱形（ ）（填推理的依据）24（2019北京东城一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P求作：直线PE，使得PEBC作法：如图2在直线BC上取一点A，连接PA；作PAC的平分线AD；以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；作直线PE所以直线P
19、E就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PAD ，PEA ，PEBC（ ）（填推理依据）25（2019北京西城一模）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60”的尺规作图过程已知：O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于O，且其对角线AC，BD的夹角为60作法：如图作O的直径AC；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；连接BO并延长交O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形
20、（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点A，C都在O上，OAOC同理OBOD四边形ABCD是平行四边形AC是O的直径，ABC90（）（填推理的依据）四边形ABCD是矩形AB BO，四边形ABCD四所求作的矩形26（2019北京西城二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程已知：平行四边形求作：点，使点为边的中点作法：如图，作射线；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；连接交于点所以点就是所求作的点根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 （填推理的依据） （填推
21、理的依据）点为所求作的边的中点27（2019北京海淀二模）下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程已知：在ABC中，C90求作：ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上作法：如图，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E所以线段DE就是所求作的中位线根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，PAPC，QA，PQ是AC的垂直平分线（）（填推理的依据）E为AC中点，ADDCDACDCA，又在RtABC中，有BAC+A
22、BC90，DCA+DCB90ABCDCB（）（填推理的依据）DBDCADBDDCD为AB中点DE是ABC的中位线28（2022北京丰台二模）已知：如图，射线AM求作：ABC，使得，作法：在射线AM上任取一点O（不与点A重合）；以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于A，C两点；以点C为圆心，CO长为半径画弧，交于点B；连接AB，BCABC就是所求作的三角形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接OB在O中，OBOC在C中，OCBCOBOCBCOCB是等边三角形AC是O的直径，ABC_（_）（填推理的依据）29（2022北京石景山一模）已知：如图
23、，RtABC中，ACB=90，CBCA求作：线段AB上的一点M，使得MCB=A作法：以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；作直线CE，交AB于点MMCB即为所求根据小伟设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接CD，ED，EBCD=CB，ED=EB，CE是DB的垂直平分线（_）（填推理的依据）CMABMCB+B=90ACB=90，A+B=90MCB=A（_）（填推理的依据）30（2022北京房山二模）已知：如图，四边形是平行四边形求作：菱形，使点E，F分别在上
24、作法：连接；作的垂直平分线分别交于点E，F；交于点O；连接所以，四边形就是所求作的菱形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形（_）（填推理的依据）又，平行四边形是菱形（_）（填推理的依据）参考答案1（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【解析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在中，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）直线表示的方向为东
25、西方向，直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键2（1）见解析；（2）BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：BPC=BAC，从而可得答案【详解】解：（1）依据作图提示作图如下： （2）证明：CDAB，ABP= AB=AC，点B在A上又BPC=BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 ）（填推理依据）ABP=BAC故答案为：BPC
26、；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半掌握以上知识是解题的关键3(1)作图见解析（2），三角形中位线平行于三角形的第三边【解析】分析：根据作图过程，补全图形即可.详解：（1）尺规作图如下图所示：（2），三角形中位线平行于三角形的第三边点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.4(1)补画图形见详解(2)角平分线的定义，同位角相等，两直线平行【解析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定解决问
27、题即可(1)解：补画图形如下：(2)由作法可知：平分（角平分线的定义），/（同位角相等，两直线平行）故答案为：角平分线的定义，同位角相等，两直线平行【点睛】本题主要考查了尺规作图作角平分线以及平行线的判定等知识，解题关键是掌握基本尺规作图方法和平行线的判定方法5(1)见解析(2)等边三角形的定义；三角形中等边对等角【解析】(1)根据题意和作法即可画出图形；(2) 连接AD，根据等边三角形的定义及性质，可得，再根据三角形中等边对等角，可证得，根据三角形外角的性质即可求得，据此即可证得为所求作的三角形(1)解：如图：作法：分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接BD，在BD的延
28、长线上截取；连接AC则为所求作的三角形(2)证明：如图：连接AD，为等边三角形（等边三角形的定义），（三角形中等边对等角）在中，【点睛】本题考查了作直角三角形，等边三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，按要求作出图形是解决本题的关键6(1)见解析(2)OB，OC，圆内接四边形对角互补【解析】（1）根据题意作出图形即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得OB=OC，OA=OC，DA=DC，则可判断点A、B、C都在O上，然后根据圆内接四边形的性质得到ADC+ABC=180(1)解：如图，点D就是所求作的点(2)证明：连接OA，OB，OC直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l
29、1上，OA=OC，DA=DC直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，OB=OCOA=OB=OC点A，B，C都在O上点D在O上，ADC+ABC=180（圆内接四边形对角互补）故答案为：OB，OC，圆内接四边形对角互补【点睛】本题考查了基本作图作已知线段的垂直平分线，内接四边形的性质，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键7(1)见解析；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；【解析】（1）根据要求作出图形即可（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题(1)补全图形如下图所示：(2)证明：EH=BG，BH=EG，四边形EGBH是平行四边形（两组对边分别相等
30、的四边形是平行四边形），即ACAB=AEAGAE=EF=FG，AE=AGAC=CD=DB故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8(1)见解析；(2)三边相等的三角形是等边三角形；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【解析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）证明，可得到所求角的度数(1)解：补全的图形如图所示：(2)证明：连接AD，ABD是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）【点睛】本题考查尺规
31、作图，等边三角形的判定及性质和三角形的外角的性质等知识，按要求正确的作出图形是解题的关键9(1)见解析(2)等边三角形，同弧上的圆周角等于圆心角的一半【解析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答(1)根据作步骤，画图如下：(2)证明：如图，连接，为等边三角形同理可得，（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据），是等边三角形同理可得，是等边三角形【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键10(1)详见解析(2)OND；两直线平行，内错角相等【解析】（1）过M点作线段MN的垂
32、线，与CD的交点即为Q点；（2）同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以有两直线平行，同位角相等可得答案(1)解：如图所示：作法：作射线NM，以M为圆心，MN的长为半径作圆，与射线NM交于点B，则MN=MB；分别以N，B为圆心，大于的长为半径作圆，两圆交于点E，F，作直线EF，与CD交于点Q，则MQ即为所求(2)证明：，OND（两直线平行，内错角相等）（填推理的依据）M地的纬度为【点睛】本题考查过线段的一个端点作已知线段的垂线，属于知识的应用类型的题目，准确理解题意，结合学习过的尺规作图准确判断作图方法是解题的关键11（1）见解析；（2）NOD；CDO；内错角相等，两直线平行【解析】（1）
33、根据作图方法要求，依次完成即可；（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论【详解】（1）解：补全图形，如图：（2）证明： OD平分MON，MOD=NODOC=CD，MOD=CDONOD=CDOCDON（内错角相等，两直线平行）故答案为：NOD；CDO；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键12（1）作图见解析；（2）平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形【解析】（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可【详解】（1）
34、按照步骤，作图如图所示：（2）证明：，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形【点睛】本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是解题关键13见解析；90；直径所对的圆周角是直角；【解析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示OQ是直径OPQ=90故答案为：90；故答案为：直径所对的圆周角是直角；CEPQ由垂径定理得：故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键14（
35、1）见解析；（2）=；内错角相等，两直线平行【解析】（1）根据题目的提示作出图形即可；（2）连接MN，证明MCNDCP，利用内错角相等，两直线平行即可证明MN/EF，从而证明OE=OF【详解】解：（1）补全的图形如图1所示（2）证明：连接MN由得，线段CN=CP（填“”，“”或“”）在MCN和DCP中，MCNDCP，NMC=PDCMN/EF（内错角相等，两直线平行）又由得，线段OM=ON可得OE=OF故答案为：，CN=CP，MCN=DCP，CM=CD内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是灵活
36、运用所学知识解决问题15（1）见解析；（2）菱形，四条边相等的四边形是菱形【解析】（1）尺规做图，过直线外一点做已知直线的垂线，按照步骤画图即可（2）四条边相等的四边形是菱形，依据是菱形的判定定理【详解】（1）依作法补全图形，如下图（2）菱形四条边相等的四边形是菱形故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形16（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，【解析】（1）根据题目提供的作法作图即可；（2）根据圆周角定理证明即可【详解】解：（1）补全图形，如下图（2）证明：连接，点C在上点P在上，（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对
37、的圆心角的一半【点睛】此题主要考查了圆的有关作图，熟练掌握圆财迷角定理是解答此题的关键17（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；【解析】（1）根据题干描述即可直接作图（2）根据圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等即可填空【详解】解：（1）如图即为所求（2）根据圆周角定理即可填写“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”；由同弧或等弧所对圆心角相等即可填写“”故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，【点睛】本题为作图-复杂作图掌握圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等是解答本题的关键18（1）作图见解析；（2），90，45，一条弧所对的圆周角是它所对圆心
38、角的一半【解析】（1）根据题意则可所求角；（2）根据三角形全等求出的度数为，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半这一知识点，即可求出，即可求证【详解】解：（1）如下图所示： （2）AD=CD，AO=CO AOE=COE=90EAB=45（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半）（填推理的依据）故答案为：COE，90，45，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图的知识点，熟练应用尺规作图作出所求角及应用圆的性质求证是解题的关键19（1）详见解析；（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等【解析】(1)根据尺规作图角平分线的做法画图即可得到答案；(2)根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到答案；【详解】解：（1）作BAC的角平分线，如图：（2）作DEAB于点E，作DFAC于点F，AD平分BAC，DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)故答案为：DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等
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