1、第19课时全等三角形1一、填空题1（2022北京中考真题）如图，在中，平分若则_2（2020北京中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）只需添加一个条件即可证明ABDACD，这个条件可以是_（写出一个即可）3（2022北京朝阳二模）如图，OP平分MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，只需添加一个条件即可证辱，这个条件可以是_（写出一个即可）4（2022北京海淀一模）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点请画出一个，使得与全等_5（2021北京东城二模）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使ABCEDF，只需添加
2、一个条件，这个条件可以是_ 二、解答题6（2022北京中考真题）在中，D为内一点，连接，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明7（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”在图中画出点；连接交线段于点求证：(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时
3、直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）8（2022北京中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接(1)求证：(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线9（2021北京中考真题）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆取的中点，那么直线表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示使用直尺和圆规
4、，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在中，_，是的中点，（_）（填推理的依据）直线表示的方向为东西方向，直线表示的方向为南北方向10（2020北京中考真题）在中，C=90，ACBC，D是AB的中点E为直线上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明11（2018北京中考真题）
5、如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明12（2022北京东城二模）如图，在中，在ABC的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点(1)依题意补全图形；(2)连接，求证：；(3)过点作于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明13（2022北京东城二模）如图，在中，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作(1)求证：是A的切线；(2)若，求的长14（
6、2022北京东城二模）如图，在中，求作：直线，使得/小明的作法如下：以点A为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；分别以点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；画直线直线即为所求，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明。证明：由作法可知：平分（_）（填推理的依据），_/（_）（填推理的依据）15（2022北京东城一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE(1)求证：；(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG依题意补全图形；用等式表示BE与DG的数量关系，并证明16（2022北京东城一模
7、）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若，求BE的长17（2022北京西城二模）在ABC中，AB=AC，过点C作射线CB，使ACB=ACB（点B与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且DAE+ACD=90(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是_，若，则CD的长为_；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE用等式表示与之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明18（2022北京西城二模）如图，AB是的直径
8、，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F(1)求证：；(2)若，求FA的长19（2022北京西城二模）已知：如图，ABC求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且ADC+ABC=180作法：分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；以点O为圆心，OA的长为半径画圆，O与l1在直线BC上方的交点为D；连接DA，DC所以点D就是所求作的点(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：连接OA，OB，OC直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，OA=OC，
9、DA=DC直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，_=_OA=OB=OC点A，B，C都在O上点D在O上，ADC+ABC=180（_）（填推理的依据）20（2022北京西城一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分ABC，AB=4，则AEC=_，四边形ABCE的面积为_；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，在图2中依题意补全图形，并求AEC的度数；作EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明21（2022北京西城一模）在平面直角坐
10、标系xOy中，对于ABC与O，给出如下定义：若ABC与O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称ABC为O的“点A关联三角形” (1)如图，O的半径为1，点AOC为O的“点A关联三角形”在，这两个点中，点A可以与点_重合；点A的横坐标的最小值为_；(2)O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，ABC是等边三角形，且ABC为O的“点A关联三角形”设点C的横坐标为m，求m的取值范围；(3)O的半径为r，直线与O在第一象限的交点为A，点若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得ABC是等腰直角三角形，且ABC为O的“点A关联三角形
11、”，直接写出r的取值范围22（2022北京朝阳二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，依题意补全图2；用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明23（2022北京朝阳二模）已知：线段AB求作：ABC，使得，作法：分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线AB的一侧相交于点D；连接BD并延长，在BD的延长线上取一点C，使得；连接ACABC就是所求作的三角形(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面
12、的证明证明：连接AD，ABD是等边三角形（）（填推理的依据）， （）（填推理的依据）24（2022北京朝阳一模）在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E(1)如图，若，依题意补全图形；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(2)若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）25（2022北京海淀二模）已知AB = BC，ABC = 90，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E(1)如图1，当45ABD90时，求证：CE +DE =AD；连接AE，过点D作D
13、HAE于H，过点A作AFBC交DH的延长线于点F依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长26（2022北京海淀二模）已知：如图1，在ABC 中，AB = AC，D为边AC上一点求作：点P，使得点P 在射线BD上，且APB =ACB作法：如图2，以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交BD的延长线于点E，连接AE； 点P就是所求作的点(1)补全作法，步骤可为 （填“a”或“b”）；a：作BAE的平分线，交射线BD于点Pb：作CAE的平分线，交射线BD于点P(2)根据（1）中的选择，在图2中使用直尺和圆规，依作法
14、补全图形（保留作图痕迹）；(3)由可知点B, C, E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，所以CBE =CAE其依据是 由可得PAD = ，所以PAD =CBE又因为ADP =BDC，可证APB =ACB27（2022北京海淀一模）元史天文志中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度如图1所示春分时，太阳光直射赤道此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子通过测量杆子与它的影子的长度，可
15、以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角可以推算得到M地的纬度，即的大小(1)图2是中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角的示意图过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ（保留作图痕迹）；(2)依据图1完成如下证明证明：，_（_）（填推理的依据）M地的纬度为28（2021北京东城二模）已知ADE和ABC都是等腰直角三角形，ADE=BAC=90，P为AE的中点，连接DP（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）
16、将图1中的ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上 在图2中，按要求补全图形，并证明BAE=ACP；连接BD，交AE于点F判断线段BF与DF的数量关系，并证明29（2021北京东城二模）已知：如图，点C在MON的边OM上求作：射线CD，使CDON，且点D在MON的角平分线上作法：以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；画射线OQ；以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；画射线CD射线CD就是所求作的射线（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下
17、面的证明：OD平分MON，MOD=_OC=CD，MOD=_NOD=CDOCDON（ ）（填推理的依据）30（2021北京东城一模）尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长作法：作直线m，在m上任意截取线段；作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；分别连接AB，BC，CD，DA；则四边形ABCD就是所求作的葵形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：，四边形ABCD是_，四边形ABCD是菱形（_）（填推理的依据）参考答案11【分析
18、】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可【解析】解：如图，作于点F，平分，故答案为：1【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键2BAD=CAD（或BD=CD）【分析】证明ABDACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案【解析】解： 要使 则可以添加：BAD=CAD，此时利用边角边判定：或可以添加： 此时利用边边边判定：故答案为：BAD=CAD或（）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键3答案不唯一，如OAOB【分析】添加OA=OB，根据OP平分MON，得出AOP=BO
19、P，利用SAS证明AOPBOP【解析】解：添加OA=OB，OP平分MON，AOP=BOP，在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），故答案为OA=OB（答案不唯一）【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解题关键4见解析（只要画出一种即可）【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等进行作图即可【解析】解：DE=AB，分两种情况：或，找出点F的位置，连接DF、EF，BC=EF或FD=CB，ABCDEF（SAS）或ABCEDF（SAS），即为要求作的，如图所示：故答案为：见解析（只要画出其中一种即可）【点睛】本题主要考查了在方格纸中作一个三角形与已知三角形全等，解
20、题的关键是确定点F的位置5A=E【分析】要判定ABCEDF，已知AD=BE，AC=EF，则AB=DE，AC=EF，具备了两组边对应相等，故添加A=E，利用SAS可证全等【解析】解：增加一个条件：A=E，AD=BE，AB=DE，在ABC和FDE中，ABCEDF(SAS)故答案为：A=E（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取6(1)见解析(2)；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平
21、行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到【解析】(1)证明：在和中， ， ， ，(2)解：补全后的图形如图所示，证明如下：延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，CMCB， 垂直平分BM，在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键7(1)见解析(2)【分析】（1）先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求
22、出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则【解析】(1)解：点Q如下图所示点，点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，点的横坐标为：，纵坐标为：，点，在坐标系内找出该点即可；证明：如图延长ON至点，连接AQ， ，在与中， ，；(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，又，OMST，NM为的中位线， ，在中，结合题意，即长的最大值与最小值的差为【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两
23、点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键8(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；（2）连接，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线【解析】(1)证明：设交于点，连接，由题可知， ，；(2)证明： 连接，同理可得：,，点H是CD的中点，点F是AC的中点，为的直径，直线为的切线【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键9（1）图见详解；（2），
24、等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答【解析】解：（1）如图所示：（2）证明：在中，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）直线表示的方向为东西方向，直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键10（1）；（2）图见解析，证明见解析【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与
25、性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证【解析】（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点DE为的中位线，且，四边形DECF为矩形则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG，D是AB的中点在和中，又DF是线段EG的垂直平分线，在中，由勾股定理得：【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直
26、角三角形是解题关键11（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析【分析】（1）连接根据对称的性质可得证明，根据全等三角形的性质得到进而证明，即可证明；（2）在上取点使得，连接证明，根据等腰直角三角形的性质即可得到线段与的数量关系【解析】（1）证明：连接 ，关于对称在和中，四边形是正方形， ，在和中，（2）证明：在上取点使得，连接四这形是正方形，同理：，在和中，在中，【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用12(1)作图见解析(2)
27、证明见解析(3)BE+2EF=DE，理由见解析【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可；（2）根据垂直平分线的性质得出AD=AC，结合AB=AC，求出AD=AB，则可求得ABE=ADE，然后根据垂直平分线的性质和角的和差关系推出ADE=ACE，则可得出结论；（3）线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE；作AGBD于G，根据等腰三角形的性质推出BE+2GE=DE，然后利用“AAS”证明AGEAFE，得出GE=GF，则可得出结论【解析】(1)解：如图，(2)证明：如图，由题意得：AP是CD的垂直平分线，AD=AC，又AB=AC，AD=AB，ABE=ADE，AP是CD的垂直平分线，C
28、E=DE，DA=CA，CDE=DCE，CDA=DCA，CDE-CDA=DCE-DCA，即ADE=ACE，ACE=ABE；(3)线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE，理由如下：如图：作AGBD于G，由（2）得AB=AD，GD=GB，DE-GE=BE+EG，BE+2GE=DE，由（2）得ED=EC，又EP是CD的垂直平分线，DEP=CEP（三线合一），AGED，AFEC，AG=AF，AGEAFE（AAS），GE=GF，BE+2EF=DE【点睛】本题考查了作对称图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，把EF转化为GE13(
29、1)见解析(2)【分析】（1）过点作于，根据同旁内角互补证得，可证得，利用可证得，则可证得，根据切线的判定即可求证结论（2）根据角相等即可得，利用相似三角形的性质即可求解【解析】(1)过点作于，如图所示，在和中，且为的半径，是的半径，是的切线(2)，解得，的长为【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键14(1)补画图形见详解(2)角平分线的定义，同位角相等，两直线平行【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的判定解决问题即可【解析】(1)解：补画图形如下：
30、(2)由作法可知：平分（角平分线的定义），/（同位角相等，两直线平行）故答案为：角平分线的定义，同位角相等，两直线平行【点睛】本题主要考查了尺规作图作角平分线以及平行线的判定等知识，解题关键是掌握基本尺规作图方法和平行线的判定方法15(1)见解析(2)见解析；【分析】（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；（2）根据题中作图步骤补全图形即可；连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论（1）四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，在和中，（2）补全图形如下：连接GE，如图，又，由（1）知：，即，由勾股定理得，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三
31、角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键16(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由，可知，证明，则，进而结论得证；（2）由，可知，由平行四边形的性质可知，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求解的值，根据，求解的值即可【解析】(1)证明：，在和中，四边形AECD是平行四边形(2)解：，四边形AECD是平行四边形，在中，由勾股定理得，即，解得，的长为3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用17(1)ADCB；(2)BAC=2DAE，理由见解析；BE=CD+DE，理由见解
32、析【分析】（1）先证明ADC=90，再过点A作AFBC于点F，根据角平分线的性质，证明ADCAFC(HL)，即可求解；（2）ACB=ACB=B，利用三角形内角和定理得到=90-BAC，再由DAE+ACD=90，推出ACD=90-DAE=，进一步计算即可求解；在BC上截取BG=CD，先后证明ABGACD(SAS)，GAEDAE (SAS)，即可求解【解析】(1)解：点E与点C重合，且DAE+ACD=90，ADC=90，ADCB；过点A作AFBC于点F，AB=AC，CF=BF=BC=，ACB=ACB，AFBC，ADCB，AF= AD，ADCAFC(HL)，CD=CF=，故答案为：ADCB；(2)解
33、：BAC=2DAE，理由如下：设ACB=ACB=B，ACB+B=180-BAC，即=90-BAC，DAE+ACD=90，ACD=90-DAE=，90-BAC=90-DAE，BAC=2DAE；BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在ABG和ACD中，ABGACD(SAS)，AG=AD，BAG=CAD，BAC=BAG+GAC，GAD=CAD+GAC，BAC=GAD，BAC=2DAE，GAD=2DAE，GAE=DAE，在GAE和DAE中，GAEDAE (SAS)，GE=DE，BE=BG+GC=CD+DE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等
34、三角形是解题的关键18(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD，证明CDOCBO（SSS），得COD=COB，即BOD=2COB，又因为OD=OA，得OAD=ODA，所以BOD=OAD+ODA=2OAD，即可证得COB=OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；（2）由FA=FE，得FAE=FEA，又由（1）知：COB=OAD，所以COE=CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OBCB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在RtCBE中，由勾股定理，得CF=，最后证EOCEAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE
35、得出答案【解析】(1)证明：如图，连接OD，CB，CD分别与相切于点B，D，CD=CB，OD=OB，OC=OC，CDOCBO（SSS），COD=COB，即BOD=2COB，OD=OA，OAD=ODA，BOD=OAD+ODA=2OAD，2COB=2OAD，即COB=OAD，FAOC；(2)解：FA=FE，FAE=FEA，由（1）知：COB=OAD，COE=CEO，CO=CE，CB是O的切线，OBCB，OB=BE=2，OA=OB=2，AE=6，OE=4，CB、CD是O的切线，CB=CD=4，在RtCBE中，由勾股定理，得CE=，FAOC，EOCEAF，即，FE=3，FA=FE=3【点睛】本题考查切
36、线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键19(1)见解析(2)OB，OC，圆内接四边形对角互补【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得OB=OC，OA=OC，DA=DC，则可判断点A、B、C都在O上，然后根据圆内接四边形的性质得到ADC+ABC=180【解析】(1)解：如图，点D就是所求作的点(2)证明：连接OA，OB，OC直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，OA=OC，DA=DC直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，OB=OCOA=OB=OC点A，B，C都在O上点D在O上，AD
37、C+ABC=180（圆内接四边形对角互补）故答案为：OB，OC，圆内接四边形对角互补【点睛】本题考查了基本作图作已知线段的垂直平分线，内接四边形的性质，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键20(1)135，(2)作图见解析，45；【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，继而可证明，便可求解；（2）根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明 即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系【
38、解析】(1)过点E作于点K 四边形ABCD是正方形 BE平分ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE ， ，四边形ABCE的面积为 故答案为：135，(2)作图如下 四边形ABCD是正方形 由旋转可得， ，理由如下：如图，过点B作 垂足为H ，EBC的平分线BF交EC于点G 为等腰直角三角形 即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键21(1)，(2)m的取值范围为1m；(3)4【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的
39、定义，只有除OC与O有一个交点外，线段AC与O也只有一个交点，所以当过点C作O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；（2）先求出BC=，过点C作CGy轴于G，构造直角三角形，表示出GM=BG，BM=2BG，进而用勾股定理求出BG，即可求出答案；（3）符合ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时 r=，分r，4，进行讨论，即可求解【解析】(1)解：当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；过C作
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