1、第21课时 直角三角形与锐角三角函数2一、单选题1（2020北京海淀一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为，且sincos，则点M所在的线段可以是（）AAB和CDBAB和EFCCD和GHDEF和GH2（2019北京东城二模）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）为了测量，两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升1000米到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离约为（）A米B米C米D米3（2022北京石景山一模）如图，ABC中，D，E分别为CB，AB上的点，
2、若，则DE的长为（）AB2CD1二、填空题4（2020北京东城二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_5（2020北京海淀一模）如图，在RtABC中，C=90，BC=2，且tanA=，则AC=_三、解答题6（2021北京海淀一模）我国是世界上最早发明历法的国家之一周礼中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点
3、D，测得（1）判断：这个模型中与是否垂直答：_（填“是”或“否”）；你的理由是：_（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：节气夏至秋分冬至太阳光线与地面夹角记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；记秋分时的表影为，推测点P位于（）A线段中点左侧B线段中点处C线段中点右侧7（2020北京东城二模）在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使，连接（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长8（2020北京东城一模）如图，直线与相离，于点，与相交于点，是直线上一点，连接并延长，交于点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长9（2
4、020北京东城一模）如图，在正方形ABCD中，AB3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BFDM，连接EF，AF（1）依题意补全图1；（2）若DM1，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使AEF为等腰三角形，直接写出此时tanDAM的值10（2020北京西城二模）如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，且，连接OC，BD，OD（1）求证：OC垂直平分BD；（2）过点C作O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD依题意补全图形；若AD=6，求CD的长11（2020北京西城二模）对于平面直角坐标系xOy中的定点P
5、和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点（1）如图，点P关于点B的定向对称点的坐标是 ；在点，中，_是点P关于线段AB的定向对称点（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，M是以点为圆心，为半径的圆当时，若M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围；对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于M的定向对称点在M上，直接写出b的取值范围12（2020北京西城一模）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BEAC于点E（1）求证：ABCD是矩形；（2）若AD=，cosAB
6、E=，求AC的长13（2020北京西城一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP线段OP的最小值为_，最大值为_；线段CP的取值范直范围是_；在点O，点C中，点_与线段DE满足限距关系；(2)如图2，O的半径为1，直线(b0)与x轴、y轴分别交于点F，G若线段FG与O满足限距关系，求b的取值范围；(3)O
7、的半径为r(r0)，点H，K是O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到H和K，若对于任意点H，K，H和K都满足限距关系，直接写出r的取值范围14（2020北京朝阳二模）如图，四边形内接于，对角线经过点O，过点D作的切线，交的延长线于点E（1）求证：；（2）若，求的长15（2020北京朝阳二模）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交于点M，作射线PN交于点N，使得NPB45，连接MN已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的
8、变化而变化的规律进行了探究下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y/cm4.22.92.62.01.60（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN2AP时，AP的长度约为 cm16（2020北京海淀二模）如图，在中，D为的中点，连接，过点A作，过点C作与相交于点G（1）求证：四边形是菱形（2）若，求的长17（2020北京海淀二模）如图，为的直径，C为上一点，于点E，的切线交的延长
9、线于点D（1）求证：；（2）若求的长18（2020北京海淀一模）已知MON=，A为射线OM上一定点，OA=5，B为射线ON上一动点，连接AB，满足OAB，OBA均为锐角点C在线段OB上（与点O，B不重合），满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD，OD（1）依题意补全图1；（2）求BAD的度数（用含的代数式表示）；（3）若tan=，点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BPOD，并证明19（2019北京东城二模）如图，是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长20（2019北京海淀二模）如图，在ABCD
10、中，BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE（1）求证：DADF；（2）若ADECDE30，DE2，求ABCD的面积21（2018北京西城二模）如图1，在等边ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设DAQ=（060且30）（1）当030时，在图1中依题意画出图形，并求BQE（用含的式子表示）；探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当3060时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系22（2018北京西城一模）如图，O中，AB是O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交O于
11、点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC(1)求证：BC是O的切线；(2)O的半径为5，tanA=，求FD的长23（2018北京朝阳二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DECD，连接AE（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，若ABC60，且ADDE4，求OE的长24（2018北京朝阳二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点（1）当直线m的表达式为yx时，在点，中，直线m的平行点是_；O的半径为，点Q在O上，若点Q为直线m的
12、平行点，求点Q的坐标（2）点A的坐标为（n，0），A半径等于1，若A上存在直线的平行点，直接写出n的取值范围25（2018北京海淀一模）如图，、分别是的直径和弦，于点过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点(1)求证：是的切线；(2)若，求线段的长26（2022北京丰台一模）如图，在四边形ABCD中，DCB90，ADBC，点E在BC上，ABDE，AE平分BAD(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O若AE6，sinDBE，求CD的长27（2022北京石景山一模）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE/AB交CB的延长线于
13、点E(1)求证：直线DE是O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长28（2022北京房山二模）已知：如图，在四边形中，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长29（2022北京顺义一模）如图，在四边形ABCD中，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，求BC的长30（2022北京昌平二模）如图，在中，与交于点，为直径，点在上，连接，(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长参考答案1D【解析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM根据正弦函数，余弦函数的
14、定义判断sin，cos的大小当点M在EF上时，作MJOP于J判断sin，cos的大小即可解决问题【详解】如图，当点M在线段AB上时，连接OMsin=，cos=，OPPM，sincos，同法可证，点M在CD上时，sincos，如图，当点M在EF上时，作MJOP于Jsin=，cos=，OJMJ，sincos，同法可证，点M在GH上时，sincos，故选：D【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题2C【解析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=1000米，根据，即可解决问题【详解】解：在中，米，米故选C【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰
15、角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3D【解析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长【详解】解：ABC中， ， ， ， ， ，又，故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键4【解析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解【详解】在网格上取个点D，得CD=4，AD=3故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用
16、所学知识56【解析】根据正切的定义列式计算，得到答案【详解】解： tanA=，即，解得，AC=6，故答案为：6【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切是解题的关键6（1）是，答案见解析 ；（2） 作图见解析；A【解析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；根据夹角的大小计算判断【详解】（1）是，理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知（2）如图，tanADB=1，ADB45，AMBADB，点M在点D的左边；tanADB=1，ADB45，ANBADB，点N在点D的右边；
17、如图，点M,点N即为所求tanADB=1，ADB45，APBADB，点P在点D的左边；故选A【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键7（1）证明见解析；（2）【解析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形ABCD的性质得AOB=90即可推出四边形是菱形（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得OF=AD=5，然后在直角三角形AOF中，解直角三角形可以求出AO的长，从而得到AC的长.【详解】（1）证明：点E是的中点，四边形是平行四边形又四边形是菱形，即四边形是矩形（2）解：四边形是矩形，又四边形
18、是菱形，在中，【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键8（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可求，可得结论；（2）过点作于，设，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长，由等腰三角形的性质可求的长【详解】解：(1) 证明：如图，连结，则，而，即即，故是的切线（2） ， 在RtACP中，设AP=x，AC=2x ， ，由勾股定理，得即 解得 AP=2 过作于，在和中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是
19、本题关键9（1）详见解析；（2）；（3）1或【解析】（1）根据题意作出图形便可，（2）连接BM，先证明ADMABF，再证明FAEMAB，求得BM，便可得EF；（3）设DMx（x0），求出AE、AF、EF，当AEF为等腰三角形，分两种情况：AEEF或AFEF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果【详解】解：（1）根据题意作图如下：（2）连接BM，如图2，点D与点E关于AM所在直线对称，AEAD，MADMAE，四边形ABCD是正方形，ADAB，DABF90，BMBF，ADMABF（SAS），AFAM，FABMAD，FABNAE，FAEMAB，FAEMAB（SAS），EFBM，四边形ABCD是正方形
20、，BCCDAB3，DM1，CM2，BM，EF；（3）设DMx（x0），则CM3x，EFBM，AEAD3，AFAM，AFAE，当AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AEEF，或AFEF，当AEEF时，有3，解得x3tanDAM；当AFEF时，解得，x，tanDAM，综上，tanDAM的值为1或故答案为：tanDAM的值为1或【点睛】本题是正方形的综合题，涉及正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解三角形等知识，以及分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等10（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）根据等弧所对的圆心角相等可得COD =COB，由等
21、角对等边的性质可得OD = OB，继而由线段垂直平分线的判定可求证结论；（2）根据题意补全图形即可；先根据切线的性质和题（1）可知DBCE，进而可得AEC=ABD，继而在RtABD中，推出BD=8，AB=10，然后推导出DF=4，CF=2，继而在RtCFD中，由勾股定理即可求出CD的长【详解】（1）证明：COD =COBOD = OB，OC垂直平分BD（2）解：补全图形，如图所示CE是O切线，切点为C，OCCE于点C记OC与BD交于点F，由（1）可知OC垂直BD，OCE=OFB=90DBCEAEC=ABD在RtABD中，AD=6，BD=8，AB=10OA= OB=OC=5由（1）可知OC平分B
22、D，即DF= BF，BF=DF=4CF=2在RtCFD中，【点睛】本题主要考查与圆有关的计算，圆周角定理、线段垂直平分线的判定、勾股定理、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是综合运用所学知识11（1）；点C，D；（2） 或；【解析】（1）求出点P关于直线OB的对称点G即可求出OP，OC，OD，OE的长即可判断（2）求出两种特殊位置b的值即可如图2中，作M关于y轴的对称图形M，当直线GH与M在第一象限相切时，设切点为P，连接PM如图3中，以O为圆心，3为半径作O，当直线GH与O在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题如图4中，设M交x轴于K，T，则K（1，0），T（5，0
23、）求出两种特殊位置b的值即可判断【详解】解：（1）如图1中， P（0，2），B（1，1），点P关于OB的对称点G（2，0），故答案为：（2，0）点C（0，2），D（1，），E（2，1），OP2，OD2，OC2，OE，OPODOC，点C，D是点P关于线段AB的定向对称点故答案为：点C，D（2）如图2中，作M关于y轴的对称图形M，当直线GH与M在第一象限相切时，设切点为P，连接PM， 当b0时，由题意得：tanHGO，PGM30，PM1，MPG90，MG2MP2，OGGM+OM4，OHOGtan30，当直线经过（-1，0）时， .若b0时，当当直线经过（1，0）时， .如图3中，以O为圆心，3为半
24、径作O，当直线GH与O在第四象限点相切于点P时，连接OP， 同法可得OH2，观察图象可知满足条件的b的值：2b综上所述，b的取值范围是 或.如图4中，设M交x轴于K，T，则K（1，0），T（5，0） 以O为圆心，5为半径作O，当直线GH与O在第二象限相切于点J时，可得OH，此时直线GH的解析式为yx+，当直线GH经过点K（1，0）时，0+b，可得b，此时直线GH的解析式为yx+，观察图象可知满足条件的b的值为：b【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题
25、12（1）见解析；（2）5【解析】（1）先说明.OA=OC，OB=OD，再证得AC=BD，即可证明ABCD是矩形；（2）先说明BAD=ADC=90，再求得CAD=ABE，最后解直角三角形即可【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形OA=OC，OB=OD又OA=OB，OA=OB=OC=OD，AC=BD，OABCD是矩形；（2）解四边形ABCD是矩形，BAD=ADC=90，BAC+CAD=90，BEAC，BAC+ABE=90，CAD=ABE，在RtACD中，AD=，cosCAD=cosABE= AC=5【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，掌握矩形的判定
26、和性质定理是解题答本题的关键13（1），O；（2）；（3）0r3【解析】（1）根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题根据限距关系的定义判断即可（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：线段FG在O内部，线段FG与O有交点，线段FG 与O没有交点，分别构建不等式求解即可（3）如图3中，不妨设K，H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据H和K都满足限距关系，构建不等式求解即可【详解】（1）如图1中， D（-1，0），E(0，)， OD=1，EDO=60，当OPDE时，此时OP的值最小，当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，当CPDE时，CP的值最
27、小，最小值，当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，故答案为：，.根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，故点O与线段DE满足限距关系故答案为O（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），当0b1时，线段FG在O内部，与O无公共点，此时O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，线段FG与O满足限距关系，1+b2（1-b），解得，b的取值范围为当1b2时，线段FG与O有公共点，线段FG与O满足限距关系，当b2时，线段FG在O的外部，与O没有公共点，此时O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，线段FG与O满足限距关系，而总成立，b2
28、时，线段FG 与O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为（3）如图3中，不妨设K，H的圆心在x轴上位于y轴的两侧， 两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，H和K都满足限距关系，2r+22（2r-2），解得r3，故r的取值范围为0r3【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型14（1）见解析（2）【解析】（1）连接，根据为直径，再根据，得，根据是的切线，根据同旁内角互补可证；（2）根据，为直径，可得，根据，可得，再根据等腰直角三角形得性质可得【详解】（1）证明
29、：如图，连接，为直径，是的切线，（2）解：，为直径，在中，【点睛】本题考查平行的证明，切线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题15（1）2.3；（2）见解析；（3）1.4【解析】（1）如图（见解析），由圆心角定理可得由三角函数值可求和的值，然后利用勾股定理即可求出答案；（2）在平面直角坐标系中，先描点，再顺次连接即可；（3）根据（2）所得到的函数图象即可得.【详解】（1）如图，当时，点P与点O重合，连接，过点作由题意得由圆心角定理得在等腰中，则在中，因此，补全表格如下：x/cm0123456y/cm4.22.92.62.32.01.60（2）根
30、据（1）的表格描点，再顺次连接，描绘的图象如下所示：（3）从图象可以看出：当时，AP的长度约为故答案为.【点睛】本题考查了函数的图象，圆心角的性质、三角函数值等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型.16（1）证明见解析（2）【解析】（1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出AD=DC，进而可得出结论；（2）由菱形的性质可得出，设BC=3k，AC=4k，运用勾股定理求解即可.【详解】（1）证明：，四边形为平行四边形 中，D为边的中点，四边形是菱形（2）解：四边形是菱形，设BC=3
31、k，AC=4k，即 解得，k=2（负舍去）【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键17（1）证明见解析；（2）【解析】（1）先根据圆的切线的性质得出，再根据圆周角定理得出，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据等量代换即可得证；（2）先利用正切函数值可求出CB的长，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形的性质可得，又根据（1）的结论可得，从而可得，最后根据等腰三角形的定义即可得【详解】（1）是的切线是的直径；（2）在中，可得，由（1）可知，【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、正切函数值、等腰三角形的性质等知识
32、点，熟记并灵活运用圆的相关性质与定理是解题关键18（1）补全图见解析；（2）1802；（3），理由见解析【解析】（1）根据要求画出图形即可（2）首先证明D+ABO=180，再利用四边形内角和定理解决问题即可（3）假设PBOD，求出AB的值即可【详解】解：（1）图形，如图所示（2），关于对称，（3）如图2中，不妨设作于，于在中，设，则，解得，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题19（1）证明见解析；（2）7.【解析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知AOC=2ABC=90，利
33、用平行线的性质即可求出OAD=90，从而可知AD是O的切线；（2）过C作CEAB于E，根据勾股定理得到AC=5，根据三角函数的定义得到CE=3，AE=4，于是得到结论【详解】解：（1）连接，是的半径，是的切线；（2）过作于，【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键20（1）详见解析；（2）4【解析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，ADBC，求出FAD=AFB，根据角平分线定义得出FAD=FAB，求出AFB=FAB，即可得出答案；（2）求出ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，ABE=60，在RtBEF中，BFA=6
34、0，BE=，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案【详解】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCDBAFFAF平分BAD，BAFDAFFDAFADFD（2）解：ADECDE30，ADFD，DEAFtanADE，AE2S平行四边形ABCD2SADEAEDE4【点睛】本题考查了平行四边形的性质及解直角三角形的知识，体现了转化的数学思想，难度不大21（1）图形见解析；BQE=60+2；（2）CE+AC=CQ；证明见解析；（3）AC-CE=CQ【解析】（1）先根据等边三角形的性质的QA=QB，进而得出QB=QE，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；延
35、长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QHAC于点H先判断出QAFQEC，得出QF=QC，再判断出QCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论；（2）同的方法即可得出结论【详解】（1）当030时，画出的图形如图1所示，ABC为等边三角形，ABC=60CD为等边三角形的中线，CD是AB的垂直平分线，Q为线段CD上的点，QA=QBDAQ=，ABQ=DAQ=，QBE=60-线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，QE=QAQB=QEQEB=QBE=60-，BQE=180-2QBE=180-2（60-）=60+2；CE+AC=CQ；证明：如图2，延长CA到点F，使得AF=CE，
36、连接QF，作QHAC于点HBQE=60+2，点E在BC上，QEC=BQE+QBE=（60+2）+（60-）=120+点F在CA的延长线上，DAQ=，QAF=BAF+DAQ=120+QAF=QEC又AF=CE，QA=QE，QAFQECQF=QCQHAC于点H，FH=CH，CF=2CH在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，ACQ=ACB=30，即QCF为底角为30的等腰三角形CHCQcosHCQCQcos30CQCE+AC=AF+AC=CF=2CHCQ（2）如图3，当3060时，在AC上取一点F使AF=CE，ABC为等边三角形，ABC=60CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，CD
37、是AB的垂直平分线，由等边三角形的对称性得QA=QBDAQ=，ABQ=DAQ=，QBE=60-线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，QE=QAQB=QEQEB=QBE=60-=QAF，又AF=CE，QA=QE，QAFQECQF=QCQHAC于点H，FH=CH，CF=2CH在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，ACQ=ACB=30，即QCF为底角为30的等腰三角形CHCQcosHCQCQcos30CQAC-CE=AC-AF=CF=2CHCQ【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅
38、助线构造出全等三角形是解本题的关键22（1）证明见解析（2） 【解析】（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知ODAE，由等腰三角形的性质可得CBF=DFG，D=OBD，从而OBD+CBF=90，从而可证结论；（2）连接AD，解RtOAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再证明DAGFDG，由相似三角形的性质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.【详解】（1）点G是AE的中点，ODAE，FC=BC，CBF=CFB，CFB=DFG，CBF=DFGOB=OD，D=OBD，D+DFG=90，OBD+CBF=90即ABC=90OB是O的半径，BC是O的切线；（2）连接AD，OA=5
39、，tanA=，OG=3，AG=4，DG=ODOG=2，AB是O的直径，ADF=90，DAG+ADG=90，ADG+FDG=90DAG=FDG，DAGFDG，DG2=AGFG，4=4FG，FG=1由勾股定理可知：FD=.【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出CBF=DFG，D=OBD是解（1）的关键，证明证明DAGFDG是解（2）的关键.23(1)见解析;(2)2.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，可得AB=DE， AB/DE ，则四边形ABDE是平行四边形；(2)因为AD=DE=4，则AD=AB=4，四边形ABCD是菱形，由菱形的性质及解直角三角形可得AO=ABsinABO=2，BO=ABcosABO=2， BD=4 ，则AE=BD，利用勾股定理可得OE【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD
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