1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 00第二节 洛必达法则 第三三章 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究本节研究: 洛必达法则洛必达法则 一、一、 )()(lim)3xFxfax存在 (或为 ) )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf定理定理 1. 型未定式型未定式 00(洛必达法则) ( 在 x , a 之间) 证证: 无妨假设 , 0)()(aFaf在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 )()()()()()(aFxFafxfxFxf)
2、()(Ff)()(limFfax)3定理条件定理条件: 西定理条件, )()(lim)3xFxfax存在 (或为 ) ,)()()()2内可导在与axFxf推论推论1. 定理 1 中 ax换为 ,ax之一, 推论推论 2. 若 )()(limxFxf理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. ,x洛必达法则 例例1. 求 解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 266lim1xxx166lim1x332x1232 xx例例2. 求 解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx型
3、二、二、 型未定式型未定式 )()(lim)3xFxfax存在 (或为) )()(limxFxfax定理定理 2. )()(limxFxfax(洛必达法则) ,)()()()2内可导在与axFxf说明说明: 定理中 ax换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. ,ax,ax,xx,x例例3. 求 解解: 型原式 11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求 n 为正整数的情形. 解解:原式 0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型. )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. . )0, 0(0li
4、mnexxnx说明说明: 1) 例3 , 例4 表明 x时, ,lnx后者比前者趋于 更快 . 例如, 而 )0(xe用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 3) 若 ,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如, xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在 )sin1 (limxxx1三、其他未定式三、其他未定式: 解决方法解决方法: 通分 转化转化 000取倒数 转化转化 0010取对数 转化转化 例例5. 求 ).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式 nxxxlnlim0110limnxx
5、xn0)(lim0nxnx型. )tan(seclim2xxx解解: 原式 )cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例例6. 求 通分 转化转化 000取倒数 转化转化 0010取对数 转化转化 例例7. 求 .lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5 通分 转化转化 000取倒数 转化转化 0010取对数 转化转化 例例8. 求 .sintanlim20 xxxxx解解: 注意到 原式 30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型0
6、0nnnneln11例例9. 求 . ) 1(limnnnn型021 limnn解：解： ) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0 u1ue原式 内容小结内容小结 洛必达法则洛必达法则 型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令 取对数 思考与练习思考与练习 1. 设 )()(limxgxf是未定式极限 , 如果 )()(xgxf不存在 , 是否 )()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 原式 xxxxx120cossin3lim21)1ln(x x)03(2123分析分析: 分析分析: 203cos1limxxx30 limxx3. 原式 xsin x1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1 221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim
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