1、转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法: xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 xxfd)( 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有 称为方程的隐式通解. 同样,当F(x) = f (x)0 时, 上述过程可逆, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 例例1.
2、 求微分方程 的通解. 解解: 分离变量得 xxyyd3d2两边积分 得 13lnCxyCxylnln3即 1CeC令( C 为任意常数 ) 或 例例2. 解初值问题 0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得 xxxyyd1d2两边积分得 即 Cxy12由初始条件得 C = 1, 112xy( C 为任意常数 ) 故所求特解为 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解: 解解: 令 , 1yxu则 故有 uu2sin1即 Cxutan解得 Cxyx) 1tan( C 为任意常数 ) 所求通解: 练习练习: 解解 分离变量 Ceexy即 01)(yxeCe( C 0 ) 例例4. 子的含量 M
3、 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有 )0(ddMtM00MMt(初始条件) 对方程分离变量, ,lnlnCtM得即 teCM利用初始条件, 得 0MC 故所求铀的变化规律为 .0teMMM0Mto然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 例例5. 成正比, 求 解解: 根据牛顿第二定律列方程 tvmdd00tv初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 )0( vkgm此处利用初始条件, 得 )(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,
4、 )1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时 内容小结内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明说明: 通解不一定是方程的全部解 . 0)(yyx有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶; 通解; 特解 y = x 及 y = C (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 : 提示提示: xxxyyyd1d122(1) 分离变量 (2) 方程变形为 yxysincos2Cxysin22tanln
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