1、第二节 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 思路思路: ( 构造性定义 ) 求导法则求导法则 其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式 0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题初等函数求导问题 本节内容 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论
2、和 例题 . )0)(xv此法则可推广到任意有限项的情形. 证证: 设 , 则 vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立. 例如, (2) vuvuvu )(证证: 设 , )()()(xvxuxf则有 hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立. )()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论
3、: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log() 3xaaxlnlnaxln1( C为常数 ) 例例1. 解解: xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3) 2vvuvuvu证证: 设 )(xf则有 hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()
4、(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立. )()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论: 2vvCvC( C为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证 证证: xxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证: ,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增
5、量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11例例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解解: 1) 设 则 , )2,2(y)(sinyycos1y2sin11类似可求得 xxarcsin2arccos利用 0cosy, 则 2) 设 , )1,0(aaayx则 ),0(,logyyxa)(log1ya 1ayln1aylnxxe)e( )arcsin(x )arccos(
6、x )arctan(x )cotarc(xaaaxxln)(xxe)e(特别当 ea时, 小结小结: 在点 x 可导, lim0 xxyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 定理定理3. 在点 可导 复合函数 且 )()(ddxgufxy在点 x 可导, 证证: )(ufy 在点 u 可导, 故 )(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 ) 故有 )()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy例如, xydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例例4
7、. 求下列导数: 解解: (1) )()(lnxex)ln(xx1x)()(lnxxxex)ln(xxxx)1ln(x(2) (3) 2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得 ;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax例例5. 设 求 解解: )cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若 存在 , 如何求 )cos(lnxef的导数? xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同 练习练习: 设 ,)(xfffy .,)(yxf求可
8、导其中例例6. 设 解解: 112xx 11212xx2112x记 , )1(lnarsh2xxx则 )(arshx112x(反双曲正弦) 其它反双曲函数的导数见 P94例例16. 2shxxeex的反函数 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sinxxcos )(cosxxsin )(tanxx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsinx211x )(arccosx2
9、11x )(arctanx211x )cot(arcx211x2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 ) )0( v3. 复合函数求导法则 )(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 , 说明说明: 最基本的公式 uyddxudd其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数 例例7. 求 解解: ,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8.
10、设 ),0( aaaxyxaaaxa解解: 1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求 .yaaxln例例9. 求 解解: ,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sinxe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cosx2sinxe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 例例10. 设 求 ,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1
11、xxx内容小结内容小结 求导公式及求导法则 (见 P94) 注意注意: 1) ,)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 41143x1. xx1431x思考与练习思考与练习 对吗? 2114341xx2. 设 其中 )(x在 ax 因 )()()()(xaxxxf故 )()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法: )(af 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 3. 求下列函数的导数 解解: (1) 1bxaby(2) y)(xxbabaln或 xabyababxln4. 设 ),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求 解解: 方法方法1 利用导数定义. 0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式. )(xf)(xx!99)0(fEx: 1. 设 解：解： ,)(xfffy 求
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