高等数学第八章第四节《空间曲线及其方程》课件

1、一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC 2又如又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. yxzazyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 vb

2、t,令bh2的参数方程为 上升高度 , 称为螺距螺距 . M例例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzyxC1o例如例如, , 在xoy 面上的投影曲线方程为 002222zyyx1) 1() 1(1:2222

3、22zyxzyxCzxyo1C又如又如, , 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 . 0, 122zyx所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 内容小结内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 思考与练习思考与练习 P51 题 1，2，7（展示空间图形） P51 题1 (2) ozyxo121x2y(1) 224yxz0 xyxzyo2答案答案: (3) zxyo oaoa222azx222ayxP51 题2 (1) ozy15 xy3 xy15 xy3 xyyz2x3思考思考: : by 对平面交线情况如何? 交线情况如何? P51 题2(2) 19422yx3yP51题 7 022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzayxza22yxz122zyxyxz0122zyxyxEx: 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解： 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的