1、第六节 一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 一、空间直线方程一、空间直线方程 xyzo01111DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程 1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) ),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程 故有 说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. mxx000yyxx设直线上的动点为 则 ),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程) 直线方程为 s已知直线上一点 ),(0000zyxM),(zyxM例如, 当 ,0, 0时p
2、nm和它的方向向量 3. 参数式方程参数式方程 设 得参数式方程 : tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0例例1 1.用对称式及参数式表示直线 解解: :先在直线上找一点. 632zyzy再求直线的方向向量 2,0zy令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . .s21ns ,ns21nns故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 t41x1y解题思路解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. ) 3, 1,4(21nns312111kji2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹
3、角 满足 21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss 1s2s特别有特别有: 21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例2. . 求以下两直线的夹角 解解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 0202:2zxyxL cos从而 4的方向向量为 的方向向量为 ) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(22010112kjis 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称
4、为直线与平面间的夹角; L 2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直 ),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn特别有特别有: : L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量 421zyx则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1, 3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面 (1)平面束方程平面束方程 (1) 过直线 00:
5、22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束 )(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程 0,21不全为12 kji到直线 的距离 为 (2) 点 2221pnm010101 zzyyxxpnm d ssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxM例例4. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线 提示提示: 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 43x) 1, 3,4(32y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nns例例5. 求直线 与平面 的交点 . 提示提示: : 化直线
6、方程为参数方程 代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）. t例例6. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程. 提示提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 431122zyx的平面的法向量为 故其方程为 ),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线 P例例7. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 提示提示：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 001zyxzy这是投影平面 0) 1(1zyxzyx即 使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程 , 1例例8. 设一平面平行于已知
7、直线 0502zyxzx且垂直于已知平面 ,0347zyx求该平面法线的 的方向余弦. 提示提示: 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 ,503cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n417211kji)4,5, 3(2所求为 1. 空间直线方程空间直线方程 一般式 对称式 参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxL：直线 ,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系 直线 夹角公式:
8、 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss , 0DzCyBxACpBnAm平面 : L L / 夹角公式： 0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系 直线 L : ),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L,11231:1zyxLiL设直线解：解： ,2上在因原点LO相交,求此直线方程 . 的方向向量为 过 A 点及 的平2L面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法方法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以 OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线 Ex1: nOA2L2s设所求直线与 的交点为 512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量 方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 即 故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有 2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523( 3kji),(000zyxB0) 1()2(2) 1( 3000zyx512231zyx0000,2yzyx将代入上式 , 得 由对称式得所求直线方程 而 ) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB
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