1、 第第 1 1 章勾股定理章勾股定理 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1在ABC 中，A25，B65，则下列式子成立的是（ ） AAC2+AB2BC2 BAB2+BC2AC2 CAC2BC2AB2 DAC2+BC2AB2 2在ABC 中，AB30，AC25，高 AD24，则 BC 的长是（ ） A25 B18 C25 或 11 D25 或 18 3如图，字母 A 所代表的正方形的面积是（ ） A12 B13 C25 D194 4在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B7，8，10 C5，12，14 D1，1，2 5如图，在ABC
2、中，C90，AB10，BC8，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 的长不可能为（ ） A5 B6 C7 D9 6如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5 米，高 3 米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A4 米 B8 米 C9 米 D7 米 7勾股定理被誉为“几何明珠” ，如图是我国古代著名的“赵爽弦图” ，它由 4 个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为 25，小正方形面积为 1，若用 a、b 表示直角三角形的两直角边（ab） ，则下列说法：a2+b225，ab1，ab12，a+b7正确的是（ ） A B C D 8如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 AO 上，测得 AO4m，若梯
3、子的顶端沿墙下滑 1m，这时梯子的底端也下滑 1m，则梯子 AB 的长度为（ ） A5m B6m C3m D7m 二填空题（共二填空题（共 9 小题，满分小题，满分 36 分）分） 9ABC 中，AC8，BC6，在ABE 中，DE 为 AB 边上的高，DE12，SABE60，则 AB ，C 10一个直角三角形的两条直角边分别为 3cm，4cm，则这个直角三角形斜边上的高为 cm 11某住宅小区有一块草坪如图所示，已知 AB3 米，BC4 米，CD12 米，DA13 米，且 ABBC，这块草坪的面积是 米2 12已知直角三角形斜边长为 10cm，周长为 22cm，则此直角三角形的面积为 13如图
4、，已知ABC 中，AB6，AC9，ADBC 于 D，M 为 AD 上任一点，则 MC2MB2 14如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 分米，3 分米和 2 分米，A 和 B 是这个台阶的两个端点，A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 15如图，要在河边 l 上修建一个水泵站，分别向 A 村和 B 村送水，已知 A 村、B 村到河边的距离分别为2km 和 7km，且 AB 两村庄相距 13km，则铺设水管的最短长度是 km 16如图，将一根长为 20cm 的吸管，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度
5、是为 hcm，则 h 的取值范围是 17已知在ABC 中，AB13cm，AC15cm，高 AD12cm则ABC 的周长为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 58 分）分） 18如图，有两根长杆隔河相对，一杆高 3m，另一杆高 2m，两杆相距 5m两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上 E 处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼求两杆底部距小鱼的距离各是多少米 （假设小鱼在此过程中保持不动） 19如图是“赵爽弦图” ，其中ABH、BCG、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和 EFGH
6、都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理设 ADc，AEa，DEb，取 c10，ab2 （1）正方形 EFGH 的面积为 ，四个直角三角形的面积和为 ； （2）求（a+b）2的值 20如图，C90，AC3，BC4，AD12，BD13 （1）求 AB 的长； （2）求BAD 的度数 21一根直立于水中的芦节（BD） 高出水面 （AC）2 米，一阵风吹来， 芦苇的顶端 D 恰好到达水面的 C 处，且 C 到 BD 的距离 AC6 米，求水的深度（AB）为多少米？ 22如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8cm，BC6cm，CDAB 于 D，求： （1）斜边 AB 的长； （2）A
7、BC 的面积； （3）高 CD 的长 23在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由于某种原因，由C 到 A 的路现在已经不通， 某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H （A、 H、 B 在一条直线上） ，并新修一条路 CH，测得 CB3 千米，CH2.4 千米，HB1.8 千米 （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？（即问：CH 与 AB 是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线 AC 的长 24在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为 10 米的高台 A，利用旗杆顶部的绳索，划过 90到达与高台 A 水平距离为 1
8、7 米，高为 3 米的矮台 B， （1）求高台 A 比矮台 B 高多少米？ （2）求旗杆的高度 OM； （3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1解：在ABC 中，A25，B65， C180AB90， ABC 是直角三角形， AC2+BC2AB2，故选项 D 正确，选项 A、B、C 错误， 故选：D 2解：如图 1，在 RtABD 中，BD18， 在 RtADC 中，CD7， BCBD+CD18+725， 如图 2，BCBDCD18711， 综上所述，BC 的长为 25 或 11， 故选：C 3解
9、：由勾股定理得：字母 A 所代表的正方形的面积16914425 故选：C 4解：A、32+4225，5225， 32+4252， 3，4，5 能构成直角三角形， 故 A 符合题意； B、72+82113，102100， 72+82102， 7，8，10 不能构成直角三角形， 故 B 不符合题意； C、52+122169，142196， 52+122142， 5，12，14 不能构成直角三角形， 故 C 不符合题意； D、1+12， 1，1，2 不能构成三角形， 故 D 不符合题意； 故选：A 5解：AB10，BC8， AC6， 则 6AP10， AP 长不可能是 5， 故选：A 6解：由勾股定
10、理得： 楼梯的水平宽度4（米） ， 地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是 3+47（米） 故选：D 7解：由图可得， a2+b2c225，故正确； 小正方形面积为 1， 小正方形的边长为 1， ab1，故正确； 大正方形面积为 25，小正方形面积为 1， ab（251）4， 解得 ab12，故正确； a2+b225，ab12， （a+b）2a2+2ab+b249， a+b7，故正确； 故选：D 8解：设 BOxm， 由题意得：AC1m，BD1m，AO4m， 在 RtAOB 中，根据勾股定理得：AB2AO2+OB242+x2， 在 RtCOD 中，根据勾
11、股定理得：CD2CO2+OD2（41）2+（x+1）2， 42+x2（41）2+（x+1）2， 解得：x3， AB5（m） ， 即梯子 AB 的长为 5m， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 9 小题，满分小题，满分 36 分）分） 9解：SABE60， ABDE60，即AB1260， 解得：AB10， AC2+BC282+62100，AB2102100， AC2+BC2AB2， C90， 故答案为：10，90 10解：设斜边上的高为 h， 直角三角形的两条直角边为 4cm，3cm， 斜边的长5cm， 345h， 解得 h 故答案为： 11解：连接 AC，如图， ABBC，ABC90， AB
12、3 米，BC4 米，AC5 米， CD12 米，DA13 米， ACD 为直角三角形， 草坪的面积等于SABC+SACD342+51226+3036 米2 故答案为 36 12解：直角三角形斜边长为 10cm，周长为 22cm， 设一条直角边为 acm，另一条直角边为 bcm， a+b221012（cm） ，a2+b2102100， （a+b）2a2+b2+2ab1212144， 2ab144（a2+b2）14410044， ab11 此三角形的面积为 11cm2 故答案为：11cm2 13解：在 RtABD 和 RtADC 中， BD2AB2AD2，CD2AC2AD2， 在 RtBDM 和
13、RtCDM 中， BM2BD2+MD2AB2AD2+MD2，MC2CD2+MD2AC2AD2+MD2， MC2MB2（AC2AD2+MD2）（AB2AD2+MD2） AC2AB2 45 故答案为：45 14解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20 分米，宽为（2+3）3 分米， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x 分米， 由勾股定理得：x2202+（2+3）32252， 解得：x25 答：蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 25 分米 故答案为：25 分米 15解：作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A，连接 AB
14、 交 l 于 P，则点 P 为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短； 过 B 点作 l 的垂线，过 A作 l 的平行线，设这两线交于点 C， 过 A 作 AEBC 于 E，则四边形 AACE 和四边形 AMNE 是矩形， ENAM2，ECAA2+24，ACAE， 在 RtABE 中，依题意得：BEBNEN725，AB13， 根据勾股定理可得：AE12， 在 RtB AC 中，BCBE+EC5+49，AC12， 根据勾股定理可得：AB15， PAPA， PA+PBAB15（km） ， 故答案为：15 16解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h 最短，
15、 此时 AB13，故 h最短20137（cm） ； 当吸管竖直插入水杯时，h 最大，此时 h最大20128（cm） 故答案为：7h8 1732cm 或 42cm 解：分两种情况说明： （1）当ABC 为锐角三角形时，在 RtABD 中， BD5， 在 RtACD 中， CD9， BC5+914， ABC 的周长为：15+13+1442（cm） ； （2）当ABC 为钝角三角形时， BCBDCD954 ABC 的周长为：15+13+432（cm） ； 故答案为：42cm 或 32cm 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 18解：由题意可得：AEDE， 则 AB2+
16、BE2EC2+DC2， 故 22+BE2（5BE）2+32， 解得：BE3， 则 EC532（m） ， 答：两杆杆底到 E 处的水平距离分别是 3m 和 2m 19解： （1）HEab2， S正方形EFGHHE24， ADc10， S正方形ABCDAD2100， 四个直角三角形的面积和S正方形ABCDS正方形EFGH100496， 故答案为：4；96； （2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为 96， 4ab96，解得 2ab96， a2+b2c2100， （a+b）2a2+b2+2ab100+96196 20解： （1）在ABC 中，C90， AB2CB2+AC242+3252， AB5；
17、 （2）在ABD 中，AB2+AD252+122132， AB2+AD2BD2， ABD 为直角三角形， BAD90 21解：先设水深为 x，则 ABx，BC（x+2） ， AC6 米， 在ABC 中，AB2+AC2BC2，即 62+x2（x+2）2，解得 x8（米） 答：水深 AB 为 8 米 22解： （1）在 RtABC 中，ACB90，AC8cm，BC6cm， AB10cm； （2）ABC 的面积ACBC6824cm2； （3）由（2）可知，ACBCCDAB24， CD4.8（cm） 23解： （1）是， 理由是：在CHB 中， CH2+BH2（2.4）2+（1.8）29 BC29 C
18、H2+BH2BC2 CHAB， 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路 （2）设 ACx 在 RtACH 中，由已知得 ACx，AHx1.8，CH2.4 由勾股定理得：AC2AH2+CH2 x2（x1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得 x2.5， 答：原来的路线 AC 的长为 2.5 千米 24解： （1）1037（米） （2）如图： 作 AEOM，BFOM， AOE+BOFBOF+OBF90 AOEOBF 在AOE 和OBF 中， AOEOBF（AAS） ， OEBF，AEOF 即 OE+OFAE+BFCD17（m） EFEMFMACBD1037（m） ， 2EO+EF17， 则 2EO10， 所以 OE5m，OF12m， 所以 OMOF+FM15m （3） ）由勾股定理得 OBOAON13， MN15132（m） 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为 2 米
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