1、 第二章二次函数第二章二次函数 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1下列函数中，一定是二次函数的是( ) Ayax2bxc Byx(x1) Cy(x1)2x2 Dy1x2 2抛物线 y2x21 的对称轴是( ) A直线 x12 B. 直线 x12 C. y 轴 D. 直线 x2 3已知函数 y(m3)x24 是二次函数，则 m 的取值范围为( ) Am3 Bm3 Cm3 D任意实数 4 下表是二次函数 yx2x3 的 y 与 x 的部分对应值， 那么方程 x2x30 的一个近似根是( ) A1.2 B2.3 C3.4 D4.
2、5 x 1 2 3 4 y 3 1 3 9 5已知二次函数 yax24xc，当 x1 时，函数值是5，则下列关于 a，c 的关系式中，正确的是( ) Aac1 Bac9 Cac9 Dac1 6已知抛物线 yx2bxc 的对称轴为直线 x2，且抛物线与 x 轴有交点，则 c 的最大值为( ) A0 B2 C4 D8 7将抛物线 y2x24x1 先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则平移后抛物线的表达式为( ) Ay2(x2)21 By2(x4)21 Cy2(x2)23 Dy2(x4)23 8如果点 P1(1，y1)，P2(3，y2)和 P3(4，y3)均在二次函数 yx26x
3、c 的图象上，那么 y1，y2，y3之间的大小关系是( ) Ay1y3y2 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy1y2y3 9在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标与纵坐标相等，则称点 P 为和谐点，例如：点(1，1)，(2，2)，(0.5，0.5)，都是和谐点若二次函数 yax27xc(a0)的图象上有且只有一个和谐点(1，1)，则此二次函数的表达式为( ) Ay3x27x3 By2x27x4 Cyx27x5 Dy4x27x2 10 二次函数 yax2bxc(a0)的部分图象如图所示， 下列结论： abc0； abc0；2ab0；3ac0；b2c24a 中，正确的个数为( ) A1 B2
4、C3 D4 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 11抛物线 yx22x3 与坐标轴的交点的个数为_ 12图象顶点坐标为(3，1)，形状与函数 y13x2的图象相同且开口方向相反的函数表达式为_ 13二次函数 yax2bxc(a0)的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为(4，0)，对称轴为直线 x1，则当 y0 时，x 的取值范围为_ 14若 A(m2，n)，B(m2，n)为抛物线 y(xh)22 022 上的两点，则 n_ 15如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度 AB 为 20 m，当水位上升 3 m 时，达到警戒线CD， CD的宽度为10 m 若洪水到
5、来时， 水位以每小时0.2 m的速度上升， 则再持续_小时水位才能到拱桥顶 三、解答题(一)：本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分 16已知函数 y(m22m)x2mxm1. (1)当 m 为何值时，此函数是一次函数？ (2)当 m 为何值时，此函数是二次函数？ 17已知抛物线 y(m1)x2m22m2 的开口向下，且经过点(0，1) (1)求 m 的值 (2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴 (3)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ 18已知抛物线 ya(x1)2h 经过点(0，3)和(3，0) (1)求 a，h 的值； (2)将该抛物线先向上平移 2 个单位长度，再向右平
6、移 1 个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线的表达式 四、解答题(二)：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 19已知二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，且当 x3 时，y3，求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象 20如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 27 m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 宽的门当所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？ 21定义：如图 1，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线
7、上(点P 不与点 A，B 重合)，若ABP 的三边满足 AP2BP2AB2，则称点 P 为抛物线 yax2bxc(a0)的勾股点 (1)求证：点 M(0，1)是抛物线 yx21 的勾股点； (2)如图 2，已知抛物线 yax2bx(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P(1， 3)是该抛物线的勾股点，求该抛物线的表达式 五、解答题(三)：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分 22某公司计划购进一批原料进行加工销售，已知该原料的进价为 6.2 万元/吨，加工过程中原料的质量有 20%的损耗， 加工费 m(万元)与原料的质量 x(吨)之间的函数关系式为 m500.2x，销售价 y
8、(万元/吨)与原料的质量 x(吨)之间的函数关系如图所示 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式 (2)设销售收入为 P(万元)，求 P 与 x 之间的函数关系式 (3)原料的质量为多少吨时， 该公司所获得的销售利润最大， 最大销售利润是多少万元？(销售利润销售收入总支出) 23如图，已知抛物线 yx2bxc 与直线 l 相交于 A(1，0)，C(2，3)两点，与 y 轴交于点 N，顶点为 D. (1)求抛物线及直线 l 的表达式 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得以 A，N，M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案答案 一、1B
9、2C 3C 4B 5C 6C 7D 8A 9A 点拨：易得 b24ac624ac0，a7c1， ac9，c6a. 把 c6a 代入 ac9，得 a(6a)9，解得 a1a23， c633， 此二次函数的表达式为 y3x27x3. 10C 点拨：由图象可知，当 x1 时，yabc0， 故不正确 抛物线的开口向下，a0. 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c0， 抛物线的对称轴为直线 x1，b2a1， 即 b2a， b0，abc0.故正确 b2a，2ab0.故不正确 易知抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)， 当 x1 时，yabca2ac3ac0. 故正确 a0，4a0.又b2c
10、20，b2c24a.故正确 正确的结论有 3 个 二、113 12y13x22x2 13.x4 或 x2 142 018 155 三、16解：(1)函数 y(m22m)x2mxm1 是一次函数， m22m0，m0，解得 m2. (2)函数 y(m22m)x2mxm1 是二次函数， m22m0， m2 且 m0. 17解：(1)抛物线 y(m1)x2m22m2 的开口向下，且经过点(0，1)， m22m21，m10，解得 m1. (2)当 m1 时， 此抛物线的表达式为 y2x21， 故顶点坐标为(0， 1)， 对称轴为 y 轴 (3)当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 18解：(1)将(0
11、，3)和(3，0)分别代入 ya(x1)2h，得 3ah，04ah，解得a1，h4.所以 a 的值为 1，h 的值为4. (2)新的抛物线的表达式为 y(x2)22，即 yx24x2. 四、19解：二次函数图象的顶点坐标为(1，1)， 设该二次函数的表达式为 ya(x1)21(a0)， 当 x3 时，y3，3a(31)21， 解得 a12， 该二次函数的表达式为 y12(x1)21. 列表如下： x 1 0 1 2 3 y 3 32 1 32 3 该二次函数的图象如图所示 20解：设矩形猪舍的面积为 y m2，垂直于住房墙的一边的长为 x m，则平行于住房墙的一边 的长为(272x1) m，
12、由题意，得 yx(272x1)2(x7)298，可知图象的对称轴为直线 x7. 根据题意，得272x112，272x10， 8x14. 在 y2(x7)298 中，20， 当 8x14 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x8 时，y 有最大值，最大值为 96.此时 272x112. 答： 当所围成矩形猪舍的长、 宽分别为 12 m， 8 m 时， 猪舍的面积最大， 最大面积是 96 m2. 21(1)证明：设抛物线 yx21 与 x 轴交于 E，F 两点，且点 E 在点 F 的左边令 y0，则x210，解得 x11，x21，E(1，0)，F(1，0) EF24. M(0，1)， EM22，F
13、M22， EM2FM2EF2， 点 M(0，1)是抛物线 yx21 的勾股点 (2)解：过点 P 作 PHAB 于点 H， P(1， 3)， OH1，PH 3， tanPAHPHOH31 3， PAH60 . 点 P(1， 3)是抛物线 yax2bx(a0)的勾股点， AP2BP2AB2. APB90 ， PBA30 ， BHPHtan 30 3 33， B(4，0) 把 P(1， 3)和 B(4，0)的坐标分别代入 yax2bx(a0)， 得ab 3，16a4b0，解得a33，b4 33. 该抛物线的表达式为 y33x24 33x. 五、22解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 yk
14、xb， 将(20，15)，(30，12.5)分别代入 ykxb， 得20kb15，30kb12.5， 解得k14，b20， y 与 x 之间的函数关系式为 y14x20. (2)由题意，得 P(120%)xy4514x20 x15x216x， P 与 x 之间的函数关系式为 P15x216x. (3)设销售利润为 W(万元)， WP6.2xm15x216x6.2x(500.2x)， 整理，得 W15x2485x50， 配方，得 W15(x24)265.2， 150， 当 x24 时，W 有最大值，最大值为 65.2， 答：原料的质量为 24 吨时，该公司所获得的销售利润最大，最大销售利润是 6
15、5.2 万元 23解：(1)将 A(1，0)，C(2，3)的坐标分别代入 yx2bxc，得1bc0，42bc3， 解得b2，c3， 故抛物线的表达式为 yx22x3. 设直线 l 的表达式为 ykxn，将 A(1，0)，C(2，3)的坐标分别代入 ykxn，得kn0，2kn3， 解得k1，n1， 故直线 l 的表达式为 yx1. (2)存在 易知抛物线的对称轴为直线 x1，N(0，3)， 设点 M(1，m) A(1，0)，M(1，m)，N(0，3)， AM2(11)2m24m2，AN2123210， MN21(m3)2. 如图，当 AM 是斜边时，则有 4m2101(m3)2， 解得 m83； 如图，当 AN 是斜边时，则有 4m21(m3)210， 解得 m1 或 m2； 如图，当 MN 是斜边时，则有 4m2101(m3)2， 解得 m23. 故点 M 的坐标为1，83或(1，1)或(1，2)或1，23.
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