1、1.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、解答题一、解答题 1已知关于 x的一元二次方程 2x23mx+m2+m30（m 为常数） (1)求证：无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若 x2 是方程的根，则 m 的值为_ 2已知关于 x的方程2+ 2 3 = 0有两个不相等的实数根 (1)求 a的取值范围； (2)若此方程的一个实数根为 2，求 a 的值； (3)直接写出所有不大于 5 的正整数 a 的值，使原方程的两个根均为有理数 3已知关于 x的一元二次方程 x2（m+3）x+3m0 (1)求证：无论 m 取任何实数，方程总有实数根； (2)若等
2、腰三角形的其中一边为 4，另两边是这个方程的两根，求 m的值 4关于 x的一元二次方程 x2（k+1）x+2k20 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于 2，求 k的取值范围 5已知关于 x的方程 x2（3k+1）x+2k2+2k0 (1)求证：无论 k取何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形 的底边长 3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长 6（2022 江苏 苏州市吴中区城西中学八年级期中） 已知关于的一元二次方程2 ( + 1) + 2 2 = 0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若 的两边，的长是这个方程的两个实数根第三边的长为 6，当 是
3、等腰三角形时，求的值 7 （2022 江苏盐城 九年级期末）已知关于 x的一元二次方程：2 (2 + 2) + 2+ 2 = 0 (1)当 = 2时，求方程的根； (2)求证：这个方程总有两个不相等的实数根 8 （2022 江苏淮安 九年级期末）已知关于 x的方程 x2-（k+2）x+2k=0 (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰ABC的一腰长为 4，另两边长 m，n恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 9 （2022 江苏泰州 九年级期末）已知关于 x的方程2+ 2 + 2 4 = 0 (1)求证：不论 k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根
4、为4，求 k的值 10 （2022 江苏 九年级）定义新运算：对于任意实数，都有 = 2 + ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32 = (3)2 2 + 2 = 20根据以上知识解决问题： (1)若( + 1)3 = 15，求的值 (2)若 2的值小于 0，请判断关于的方程：22 + = 0的根的情况 11 （2019 江苏苏州 九年级期中）已知关于的一元二次方程：2 (2 + 1) + 4( 12) = 0 (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰 的一边长 = 4，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求 的周长 12 （2022 江苏无锡 九年级期末）已知：关
5、于 x的一元二次方程2 ( + 2) + 4( 2) = 0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求 m的值及方程的根 13 （2022 江苏江苏 九年级期末）已知 = 1时，二次三项式22 3 + 4的值等于 3 (1)求 m 的值； (2)是否存在 x 的值，使得这个二次三项式的值为1？说明理由 14 （2022 江苏盐城 九年级期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m3）xm20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 m 的值 15 （2021 江苏泰州 九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2
6、0（m0） （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数 m 的值 16 （2021 江苏 淮安市洪泽实验中学九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x1=0 （1）求证：无论 m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程有一个根为 1，求 m的值 17 （2022 江苏泰州 八年级期末）已知关于 x 的一元二次方程2+ + 3 9 = 0 (1)求证：不论 m 取何实数，该方程都有两个实数根 (2)设此方程的两个根分别是1,2，若1+ 2= 2，求方程的两个根 18 （2022 江苏南通 八年级期末）已知关于的一元二次方程2 (
7、2 + 1) + 2+ = 0 (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为1，2，且与21都为整数，求所有可能的值 19 （2022 江苏 九年级课时练习）关于的一元二次方程2 4 + + 2 = 0有实数根 (1)求的取值范围； (2)如果1，2是方程的两个解，令 = 122+ 122+ ，求的最大值 20 （2022 江苏 九年级课时练习）已知关于 x 的一元二次方程2+ 2 +1= 0有两个不相等的实数根 (1)求 k的取值范围； (2)若 m，n 是方程的两根，且1+1= 6，求 k 的值； 21 （2022 江苏 九年级课时练习）已知关于的一元
8、二次方程2 4 + 1 = 0有1，2两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若1= 1，求2及的值； (3)是否存在实数，满足(1 2)(2 2) = 4？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由 22 （2022 江苏 九年级）已知关于 x 的方程 x2+（m+2）x+2m10 (1)求证：无论 m 取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根1,2满足1 2= 2，求 m 的值 23 （2022 江苏 九年级阶段练习）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+2m0 (1)求证：不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方
9、程的另一个根 24 （2022 江苏无锡 八年级期末）关于 x 的一元二次方程2 + 2 4 = 0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为 1，求 m 的值和另一个根 25 （2022 江苏 九年级专题练习）已知关于 x 的方程2 ( + 1) +142+ 1 = 0有两个实数根 (1)求 k的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为 x1，x2，且 x12x226x1x2-15，求 k的值 26 （2022 江苏 九年级专题练习）已知关于 x 的一元二次方程2 (2 2) + (2 2) = 0 (1)证明方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为1，2，若(
10、1+ 1) (2+ 1) = 3，求 m 的值 27 （2022 江苏 九年级课时练习）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m230 有实数根 (1)求实数 m 的取值范围； (2)当 m2 时，方程的根为 x1，x2，求代数式（x12+2x1） （x22+4x2+2）的值 28 （2022 江苏 九年级专题练习）已知关于的一元二次方程2 2 32= 0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且 + 2 = 5，求的值 29 （2022 江苏 九年级专题练习）x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两个实数根，若满足|x1x2|1
11、，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是： （填序号） x24x50； 2x223x+10； (2)已知关于 x 的方程 x2+2ax0 是“差根方程”，求 a的值； (3)若关于 x的方程 ax2+bx+10（a，b 是常数，a0）是“差根方程”，请探索 a 与 b 之间的数量关系式 30 （2022 江苏 九年级专题练习）如果关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为 t，则另一根为 2t， 因
12、此 ax2bxca （xt）（x2t） ax23atx2t2a， 所以有 b292ac0； 我们记“Kb292ac”，即 K0 时，方程 ax2bxc0 为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题： (1)以下为倍根方程的是 ； （写出序号） 方程 x2x20；x26x80； (2)若关于的 x 方程 mx2（n2m）x2n0 是倍根方程，求 4m25mnn2的值； (3)若 A（m，n）在一次函数 y3x8 的图象上，且关于 x 的一元二次方程2 +23 = 0是倍根方程，求此倍根方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、解答题一、解答题 1已知关于 x的一
13、元二次方程 2x23mx+m2+m30（m 为常数） (1)求证：无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若 x2 是方程的根，则 m 的值为_ 【答案】(1)见解析 (2) =5+52或552 【分析】 （1）先计算判别式的值得到=（m-2）2+80，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将 x=2 代入方程，解方程即可 （1） 解：=9m2-4 2（m2+m-3）=（m-2）2+80， 无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 将 x=2 代入方程，得 8-6m+m2+m30， 整理得，m2-5m+50， 解得 =5+52或552， 故答案为： =5+52或55
14、2 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程 2已知关于 x的方程2+ 2 3 = 0有两个不相等的实数根 (1)求 a的取值范围； (2)若此方程的一个实数根为 2，求 a 的值； (3)直接写出所有不大于 5 的正整数 a 的值，使原方程的两个根均为有理数 【答案】(1) 13且 a0； (2) = 14 (3)当 a为 1 或 5 时，原方程的两个根均为有理数 【分析】 （1）根据根的判别式的意义得到 a0 且 =22-4a（-3）0，
15、然后求出两不等式的公共部分即可； （2）把 x=2 代入 ax2+2x-3=0 得 4a+4-3=0，然后解关于 a的方程即可； （3）利用求根公式得到当 =4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对 a=1、2、3、4、5 依次进行判断 （1） 解：根据题意得 a0 且 =22-4a （-3）0， 解得： 13且 a0； （2） 解：把 x=2 代入 ax2+2x-3=0 得 4a+4-3=0， 解得： = 14； （3） 解：当 =4+12a 为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数， 当 a=1 时，=4+12=16； 当 a=2 时，=4+24=28（舍去） ； 当 a
16、=3 时，=4+36=40（舍去） ； 当 a=4 时，=4+48=52（舍去） ； 当 a=5 时，=4+60=64， 综上所述，当 a 为 1 或 5 时，原方程的两个根均为有理数 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b2-4ac 有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根 3已知关于 x的一元二次方程 x2（m+3）x+3m0 (1)求证：无论 m 取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的其中一边为 4，另两边是这个方程的两根，求 m的值 【答案】(1)见解析 (2
17、)m的值为 4 或 3 【分析】 （1）根据根的判别式的意义得 的值，于是得到结论； （2）分两种情况：当腰为 4 时，当底为 4 时，解方程即可得到结论 （1） 证明：（m+3）24 1 3mm26m+9（m3）2 （m3）20，即 0， 无论 m 取任何实数，方程总有实数根； （2） 解：当腰为 4 时， 把 x4 代入 x2（m+3）x+3m0， 得，164m12+3m0，解得 m4； 当底为 4 时， 则程 x2（m+3）x+3m0 有两相等的实数根， 0， （m3）20， m3， 综上所述，m的值为 4 或 3 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）
18、的根与 =b2-4ac 有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程 4关于 x的一元二次方程 x2（k+1）x+2k20 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于 2，求 k的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) 3, 以 3 为底， + 1，2为腰能构成等腰三角形， 周长 = 2 + 2 + 3 = 7. 等腰三角形的周长为 7 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长 6（2022 江苏 苏州
19、市吴中区城西中学八年级期中） 已知关于的一元二次方程2 ( + 1) + 2 2 = 0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若 的两边，的长是这个方程的两个实数根第三边的长为 6，当 是等腰三角形时，求的值 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】 （1）证明0 即可； （2）求出方程的解，根据ABC 是等腰三角形分类讨论即可 (1) 证明：(k1)24(2k2) k22k18k8 k26k9 (k3)20， 方程总有两个实数根； (2) 解：原方程分解因式得：(x2)x(k1)0， x12，x2k1， 当等腰三角形的腰是 2 时，226，不合题意， 等腰三角形的腰是 6， k16， k
20、7 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根 7 （2022 江苏盐城 九年级期末）已知关于 x的一元二次方程：2 (2 + 2) + 2+ 2 = 0 (1)当 = 2时，求方程的根； (2)求证：这个方程总有两个不相等的实数根 【答案】(1)1= 4,2= 2 (2)见解析 【分析】 （1）当 k2 时，方程为2 6 + 8 = 0，用因式分解法解方程即可； （2）利用根的判别式进行证明即可 （1） 当 k2 时，方程为2 6 + 8 = 0 ( 2)( 4) = 0 即 2 = 0 或 4 = 0 1= 4,2= 2 （2） 2 (2
21、+ 2) + 2+ 2 = 0 = (2 + 2)2 4(2+ 2) = 4 0 恒成立 不论 k 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根 【点睛】 本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用， 熟练掌握知识点是解题的关键 8 （2022 江苏淮安 九年级期末）已知关于 x的方程 x2-（k+2）x+2k=0 (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰ABC的一腰长为 4，另两边长 m，n恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 【答案】(1)证明见解析； (2)ABC 的周长为 10 【分析】 （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为 4 的
22、边为腰时，则可知方程有一个根为 4，代入可求得 k 的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为 4 的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得 k 的值，再解方程即可 (1) 证明：（k2）28kk24k48k（k2）20， 无论 k取何值，方程总有实数根； (2) 解：当腰长为 4 时，则可知方程有一个实数根为 4， 164（k2）2k0，解得 k4， 方程为 x26x80，解得 x4 或 x2， a、b 的值分别为 2、4， ABC的周长为 2+4+4=10； 【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键 9 （2022 江苏泰州 九年级期末）已知关
23、于 x的方程2+ 2 + 2 4 = 0 (1)求证：不论 k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为4，求 k的值 【答案】(1)证明见解析 (2)2 或 6 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）将 = 4，代入2+ 2 + 2 4 = 0，解出 k即可 (1) 2+ 2 + 2 4 = 0中， = 1， = 2， = 2 4， = 2 4 = (2)2 4(2 4) = 16 0， 不论 k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2) 将 = 4，代入2+ 2 + 2 4 = 0，得：(4)2+ 2 (4) + 2 4 = 0， 解得：1=
24、2，2= 6 k的值为 2 或 6 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1） 当0方程有两个不相等的实数根； （2） 当 =0方有两个相等的实数根； （3） 当 0，方程有两个不相等的实数根；当= 0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用 12 （2022 江苏无锡 九年级期末）已知：关于 x的一元二次方程2 ( + 2) + 4( 2) = 0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求 m的值及方程的根 【答案】(1)见解析 (2) = 6
25、，1= 2= 4 【分析】 （1）进行判别式的值得到 = ( 6)2，利用平方非负数的性质得 0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根； （2） 根据方程有两个相等的实数根得 = ( 6)2= 0， 先求出的值， 再代入一元二次方程中求解即可 (1) 由题意得： = ( + 2)2 4 1 4( 2)， = 2 12 + 36， = ( 6)2 0， 方程总有两个实数根； (2) 方程有两个相等的实数根， = ( 6)2= 0， = 6， 此时方程为2 8 + 16 = 0， ( 4)2= 0， 1= 2= 4 【点睛】 本题考查了根的判别式， 熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式
26、之间的关系是解题的关键 13 （2022 江苏江苏 九年级期末）已知 = 1时，二次三项式22 3 + 4的值等于 3 (1)求 m 的值； (2)是否存在 x 的值，使得这个二次三项式的值为1？说明理由 【答案】(1) = 1 (2)不存在，理由见解析 【分析】 （1）令代数式的值为 3，求出 m的值，进而求出所求； （2）令二次三项式为-1，利用根的判别式判断即可 (1) = 1时，二次三顶式22 3 + 4的值等于 3 2 1 3 + 4 = 3， 解得 = 1 (2) 不存在 这个二次三项式的值为1，即22 3 + 4 = 1 整理得22 3 + 5 = 0 = 2, = 3, = 5
27、， 2 4 = (3)2 4 2 5 = 31 0， 无论取何值，方程有两个不相等的实数根； （2） 解：2 (2 + 1) + 2+ = 0， 解得： = ，或 = + 1； 一元二次方程2 (2 + 1) + 2+ = 0的两根为， + 1 分两种情况： 21=+1= 1 +1，如果1 +1为整数，则为 1 的约数. = 1； 21=+1= 1 1+1，如果1 1+1为整数，则 + 1为 1 的约数. + 1 = 1， 则为 0 或2； 整数的所有可能的值为1，0 或2； 【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是： （1）牢记“当 0 时，方程有两个不相等的实数根”； （
28、2）利用解方程求出 k 的整数值 19 （2022 江苏 九年级课时练习）关于的一元二次方程2 4 + + 2 = 0有实数根 (1)求的取值范围； (2)如果1，2是方程的两个解，令 = 122+ 122+ ，求的最大值 【答案】(1) 2 (2)18 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式 0，即可得出关于 k的一元一次不等式，解之即可得出 k的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出 x1x24，x1x2k2，结合 wx1x22x12x2k，由增减性可求 w的最大值 （1） 解：关于的一元二次方程2 4 + + 2 = 0有实数根， = 2 4 = (4)2 4 1 ( + 2)
29、 0， 解得： 2， 的取值范围为 2 （2） 解： 1，2是关于的一元二次方程2 4 + + 2 = 0的两个解， 1+ 2= 4，1 2= + 2， = 122+ 122+ = 12(1+ 2) + = 4( + 2) + = 5 + 8， = 2时，的最大值为5 2 + 8 = 18 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式， 解题的关键是： （1） 牢记“当 0 时， 方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合 wx1x22x12x2k，根据增减性可求 w 的最大值 20 （2022 江苏 九年级课时练习）已知关于 x 的一元二次方程2+ 2 +1= 0有两个不相等的实数根
30、(1)求 k的取值范围； (2)若 m，n 是方程的两根，且1+1= 6，求 k 的值； 【答案】(1) 0，且 0， 解得： 0即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得1+ 2= ( + 2)，x1x22m1，再利用完全平方公式将(1 2)2变形为(1+ 2)2 412，代入求解即可 （1） 证明：a1，bm+2，c2m1， b24ac（m+2）24 1 （2m1）m24m+8（m2）2+4 无论 m 为任何实数， （m2）20， （m2）2+40 无论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 解：由1 2= 2可得(1 2)2= 4， 1+ 2= ( + 2)，x1x2
31、2m1， (1 2)2= (1+ 2)2 412= ( + 2)2 4(2 1) = 2 4 + 8， 即 m24m+84， 解得 m1m22， 当 x1x22 时，m的值是 2 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式 =b24ac，当 0 时，方程有两个不相等的实数根，当 =0，方程有两个相等的实数根，当 0时， 方程有两个不相等的实数根； 当 = 0时，方程有两个相等的实数根； 当 0，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 方程的两个实数根， ， 由根与系数关系可知， + = 2， = 32， + 2 = 5， = 5 2，5 2 + = 2，
32、解得： = 3， = 1，32= 1 3 = 3，即 = 1 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系， 解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系 29 （2022 江苏 九年级专题练习）x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两个实数根，若满足|x1x2|1，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是： （填序号） x24x50； 2x223x+10； (2)已知关于 x 的方程 x2+2ax0 是“差根方程”，求 a的值； (3)若关于 x的方程 ax2+bx+10（a，b 是常数，a0）是“
33、差根方程”，请探索 a 与 b 之间的数量关系式 【答案】(1) (2)a12 (3)b2a2+4a 【分析】 （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）根据2+ 2 = 0是“差根方程”，且1= 0，2= 2得到2 = 1，从而得到 = 12； （3）设1，2是一元二次方程2+ + 1 = 0(，是常数， 0)的两个实数根，根据根与系数的关系得到()2 4 1= 1，整理即可得到2= 2+ 4 (1) 解：设1，2是一元二次方程2 4 5 = 0的两个实数根， 1+ 2= 4，1 2= 5， |1 2| = (1+ 2)2 412= 42 4 (5) = 6， 方程2 4 5 = 0不是差根
34、方程； 设1，2是一元二次方程22 23 + 1 = 0的两个实数根， 1+ 2= 3，1 2=12， |1 2| = (1+ 2)2 412= (3)2 4 12= 1， 方程22 23 + 1 = 0是差根方程； 故答案为：； (2) 解：2+ 2 = 0， 因式分解得：( + 2) = 0， 解得：1= 0，2= 2， 关于的方程2+ 2 = 0是“差根方程”， 2 = 1，即 = 12； (3) 解：设1，2是一元二次方程2+ + 1 = 0(，是常数， 0)的两个实数根， 1+ 2= ，1 2=1， 关于的方程2+ + 1 = 0(，是常数， 0)是“差根方程”， |1 2| = 1
35、， |1 2| = (1+ 2)2 412= 1，即()2 4 1= 1， 2= 2+ 4 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是正确的理解“差根方程”的定义 30 （2022 江苏 九年级专题练习）如果关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为 t，则另一根为 2t， 因此 ax2bxca （xt）（x2t） ax23atx2t2a， 所以有 b292ac0； 我们记“Kb292ac”，即 K0 时，方程 ax2bxc0 为倍根方程：下面我们根据
36、所获信息来解决问题： (1)以下为倍根方程的是 ； （写出序号） 方程 x2x20；x26x80； (2)若关于的 x 方程 mx2（n2m）x2n0 是倍根方程，求 4m25mnn2的值； (3)若 A（m，n）在一次函数 y3x8 的图象上，且关于 x 的一元二次方程2 +23 = 0是倍根方程，求此倍根方程 【答案】(1) (2)0 (3)2 3 +23= 0 【分析】 （1）据倍根方程定义判断即可； （2）根据（x-2） （mx+n）=0 是倍根方程，且 x1=2，x2=-得到 m=-n 或 m=-14n，从而得到 m+n=0，4m+n=0，进而得到 4m2+5mn+n2=0； （3）
37、设其中一根为 t，则另一个根为 2t，据此知 ax2+bx+c=a（x-t） （x-2t）=ax2-3atx+2t2a，从而得倍根方程满足 b2-92ac=0，据此求解可得 （1） x2x20， （x+1） （x2）0， x11，x22， 方程 x2x20 不是倍根方程； x26x+80， （x2)(x4)0, x12，x24， 方程 x26x+80 是倍根方程； 故答案为； （2） mx2+（n2m）x2n0， 因式分解得： （x2） （mx+n）0， 解得：x12，x2= ， 方程 mx2+（n2m）x2n0 是倍根方程， 2= 2或 4= ，即 mn或 m= 14n， m+n0 或 4m+n0； 4m2+5mn+n2（4m+n） （m+n）0； （3） 设其中一根为 t，则另一个根为 2t， 则 ax2+bx+ca（xt） （x2t）ax23atx+2t2a， b292ac0， x2 +23n0 是倍根方程， （）292 23n0，整理，得：m3n， A（m，n）在一次函数 y3x8 的图象上， n3m8， n1，m3， 此倍根方程为 x23x+23=0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键
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