1、1.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以 80 元/千克收购了这种土特产 2000 千克，若立即销往外地， 每千克可以获利 20 元 根据市场调查发现， 该种土特产的销售单价每天上涨 0.4 元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过 60 天，在贮藏过程中平均每天损耗 5 千克 （1）若商家将这批土特产贮藏 x 天后一次性出售，请完成下列表格： 每千克土特产售价（单位：元） 可供出售的土特产质量（单位：千克） 现在出售 2000
2、x 天后出售 （2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润 50000 元？ 2某水果店标价为 10 元/kg 的某种水果经过两次降价后价格为 8.1 元/kg，并且两次降价的百分率相同 时间/天 x 销量/kg 120 x 储藏和损耗费用/元 3x264x+400 （1）求该水果每次降价的百分率； （2） 从第二次降价的第 1 天算起， 第 x 天 （x 为整数） 的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为 4.1 元/kg，设销售该水果第 x 天（1x10）的利润为 377 元，求 x 的值 3今年大德福超市以每件 25 元的进价购进一批商品，当商品售价为
3、40 元时，三月份销售 256 件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到 400 件 （1）求四、五这两个月的月平均增长率 （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价 1 元，月销量增加 5 件，当商品降价多少元时，商场月获利 4250 元？ 4某超市销售一种衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件 （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出 件衬衫，此时每天销售获利 元 （2） 在每件盈
4、利不少于 25 元的前提下， 要使该衬衫每天销售获利为 1200 元， 问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到 1300 元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由 5 为了满足师生的阅读需求， 某校图书馆的藏书从 2019 年底到 2021 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年平均增长率； （2）该校期望 2022 年底藏书量达到 8.6 万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明 6某网店第一次用 17500 元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用 40000 元购进该医用外科口罩，但这次每盒的
5、进价比第一次进价多 5 元，购进数量则是第一次的 2 倍 （1）第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？ （2）该网店发现：每盒售价为 60 元时，每星期可卖 300 盒为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 盒该网店某星期销售该款口罩获得了 6480 元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？毛利润（售价进价）销售量 7北京冬奥会期间，某商场进了一批冰墩墩钥匙扣，将进价为 20 元的钥匙扣以 45 元售出，平均每月能售出 50 个，现商场决定采取降价措施，调查表明：这种钥匙扣的售价每降低 0.5 元，平均每月就能
6、多售出5 个 （1）商场要想在这种钥匙扣销售中每月盈利 2000 元，同时又要使百姓得到实惠，则每个钥匙扣应降价多少元？ （2） 物价部门规定， 每个钥匙扣获利必须低于 60%， 为了便于销售， 商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每月销售利润高于 2000 元？ 8我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题 （1）已知三角形 ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，并且满足 a2+2b26a4b+110，求三角形 ABC的周长，你能利用配方法解决这
7、个问题吗？ （2）某商品现在每件盈利 10 元，每天可卖出 30 件市场调查发现：如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖 1 件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？ 9某超市销售一种衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件 （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？ （2） 在每件盈利不少于 25 元的前提下， 要使该衬衫每天销售获利为 1200 元， 问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到 1300 元吗？
8、如果能，请写出降价方案，如果不能请说明理由 10某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双 250 元，如果一次购买超过 8 双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低 10 元，但单价不能低于 160 元 （1）当小明买这种运动鞋 10 双时，运动鞋的单价为 元： （2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了 2700 元，这名顾客买了多少双鞋？ 11用一段长为 30m 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为 18m （1）设垂直于墙的一边长为 xm，则平行于墙的一边长为 m（用含 x 的代数式表示） ； （2）若菜园的面积为 100m2，求 x 的值 12 2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意
9、喻敦厚、 健康、 活泼、 可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆据统计，该店 2021 年 10 月的销量为 3 万件，2021 年 12 月的销量为 3.63 万件 （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量有没有超过4 万件？请利用计算说明 13如图，在长为 50m、宽为 38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪要使草坪的面积为 1260m2，道路的宽应为多少？ 14某校准备在一块长为
10、 25 米，宽为 20 米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示） ，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的 5 倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为 x 米 （1）花园内的小路面积为 平方米（用含 x 的代数式表示） （2）若草坪面积为 440 平方米时，求这时道路宽度 x 的值 15（2021 秋仪征市期末） 用一面足够长的墙为一边， 其余各边用总长 42 米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过 7 米 （围栏宽忽略不计） （1）若生态园的面积为 144 平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园
11、的面积能否达到 150 平方米？请说明理由 16 （2021 秋徐州期末）如图，有一张长 6cm、宽 5cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为 6cm2的有盖长方体铁盒求剪去的正方形的边长 17 （2021 秋泗阳县期末）如图，在ABC 中，B90，AB12cm，BC24cm，动点 P 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动， 同时动点 Q 从点 B 出发沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动， 当 P运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 ts （1）BP cm；BQ cm； （用 t
12、的代数式表示） （2）D 是 AC 的中点，连接 PD、QD，t 为何值时PDQ 的面积为 40cm2？ 18（2021 秋姜堰区期末） 学校打算用 21 米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔， 兔舍的一面靠墙 （如图，墙足够长） （1）如果 AB 边长为 x 米，求 BC 边长（用含 x 的代数式表示） ； （2）若两间兔舍的总面积是 30 平方米，求 AB 的长 19 （2022邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出 20 件，每件盈利 30 元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低 1 元，平均每天销售量增加 2 件，商家预期日利润
13、为 750 元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？ 20 （2021 秋海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数 R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有 36 人感染，求新冠病毒的基本传染数 R0 21 （2021 秋江都区期末）某种服装，平均每天销售 20 件，每件盈利 20 元经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过 10元 （1）设每件降价 x 元，则每天将销售 件； （用含 x 的代数式表示） （2）如果每天要盈利 540 元，
14、每件应降价多少元？ 22 （2022 春昆山市校级期末）某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，一月份售出 32 台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出 50 台 （1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； （2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价 2 元，那么月销售量增加 4 台当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利 348 元？ 23 （2022 春吴江区期末）某商场今年 8 月的营业额为 400 万元，9 月份营业额比 8 月份增加 10%，11 月份的营业额达到 633.6 万元，求
15、9 月份到 11 月份营业额的月平均增长率 24 （2021 秋秦淮区期末）为适应“新冠肺炎”常态化疫情防控需要，去年 10 月，某社区根据实际需要，采购了 5000 个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员据统计，10 月份该社区有 200户家庭有口罩需求，平均每户需要 10 个，其余口罩刚好满足社区工作人员的防疫需要随着秋冬季的来临，防疫的压力加大，11 月份，该社区对口罩的总需求量比 10 月份增加了 20%，需要口罩的家庭户数比 10 月份增加了 a%，社区工作人员需要口罩的个数比 10 月份增加了 1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了
16、 a%，求 a 的值 25 （2021 秋亭湖区校级期中）某精品店购进甲乙两种小礼品，已知 1 件甲礼品的进价比 1 件乙礼品的进价多 1 元，购进 2 件甲礼品与 1 件乙礼品共需 11 元 （1）求甲种礼品的进价； （2）经市场调查发现，若甲礼品按 6 元/件销售，每天可卖 40 件；若按 5 元/件销售，每天可卖 60 件假设每天销售的件数 y（件）与售价 x（元/件）之间满足一次函数关系，当甲礼品的售价定为多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为 60 元？ 26 （2021 秋南京期中）如图，有一道长为 25m 的墙，计划用总长为 50m 的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃 A
17、BCD若花圃 ABCD 的面积为 150m2，求 AB 的长 27 （2021 秋泰兴市期中）2019 年，某市某楼盘以每平方米 8000 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转， 决定进行降价促销， 经过连续两年下调后， 2021 年的均价为每平方米 6480元 （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设 2022 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20万元，可以在银行贷款 40 万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算） 28 （2022 春射阳县校级月考）某景区在 2020 年“五一”小长假期间，接
18、待游客达 2 万人次，预计在 2022年“五一”小长假期间，接待游客 2.88 万人次，该景区一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗 10 元，借鉴以往经验，若每碗卖 15 元，平均每天将销售 120碗，若价格每提高 0.5 元，则平均每天少销售 4 碗，每天店面所需其他各种费用为 168 元 （1）求出 2020 至 2022 年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗售价不得超过 20 元，当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润 600 元？（净利润总收入总成本其它各种费用） 29 （2021
19、 秋宜兴市校级月考）某服装厂生产一批服装，2019 年该类服装的出厂价是 200 元/件，2020 年，2021 年连续两年改进技术，降低成本，2021 年该类服装的出厂价调整为 162 元/件 （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率 （2）2021 年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以 200 元/件销售时，平均每天可销售 20件为了减少库存，商场决定降价销售经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 件，如果每天盈利 1150 元，单价应降低多少元？ 30 （2021 秋盐都区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽
20、车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆 120 元据统计，三月份的全天包车数为 25 次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到 64次 （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价 a 元，全天包车数增加 1.6a 次，当租金降价多少元时，公司将获利 8800 元？ 1.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以 80 元/千克收购了这种
21、土特产 2000 千克，若立即销往外地， 每千克可以获利 20 元 根据市场调查发现， 该种土特产的销售单价每天上涨 0.4 元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过 60 天，在贮藏过程中平均每天损耗 5 千克 （1）若商家将这批土特产贮藏 x 天后一次性出售，请完成下列表格： 每千克土特产售价（单位：元） 可供出售的土特产质量（单位：千克） 现在出售 100 2000 x 天后出售 100+0.4x 20005x （2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润 50000 元？ 【分析】 （1）根据题意，若立即出售，则每
22、千克土特产售价每千克土特产进价+每千克土特产利润，可得立即出售的售价；由该种土特产的销售单价每天上涨 0.4 元/千克，可得 x 天后出售，每千克土特产售价为： （100+0.4x）元同理可得，x 天后出售，可供出售的土特产的质量为（20005x）千克 （2）设这批土特产贮藏 x 天后一次性出售最终可获得总利润 50000 元，根据总利润总销售金额总成本，列出相应方程，解方程，最后根据这批土特产的贮藏时间不宜超过 60 天，得到贮藏天数 【解析】 ： （1）该店以 80 元/千克收购了这种土特产， 又若立即销往外地，每千克可以获利 20 元， 收购土特产后立即出售，每千克土特产售价为：80+2
23、0100（元） 该种土特产的销售单价每天上涨 0.4 元/千克， 若 x 天后出售，每千克土特产售价为： （100+0.4x）元 在贮藏过程中平均每天损耗 5 千克，该店一共收购了 2000 千克土特产， 若 x 天后出售，可供出售的土特产质量为： （20005x）千克 故答案为：100； （100+0.4x） ； （20005x） ； （2）设这批土特产贮藏 x 天后一次性出售最终可获得总利润 50000 元， 由（1）可得， （100+0.4x） （20005x）80200050000， 化简得，x2150 x+50000， 解得，x150，x2100， 这批土特产的贮藏时间不宜超过 60
24、 天， x100 不符合题意，应舍去， x50， 答：设这批土特产贮藏 50 天后一次性出售最终可获得总利润 50000 元 2某水果店标价为 10 元/kg 的某种水果经过两次降价后价格为 8.1 元/kg，并且两次降价的百分率相同 时间/天 x 销量/kg 120 x 储藏和损耗费用/元 3x264x+400 （1）求该水果每次降价的百分率； （2） 从第二次降价的第 1 天算起， 第 x 天 （x 为整数） 的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为 4.1 元/kg，设销售该水果第 x 天（1x10）的利润为 377 元，求 x 的值 【分析】 （1）设该种水果每次
25、降价的百分率为 x，由题意得关于 x 的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可； （2）根据题意列方程即可得到结论 【解析】 ： （1）设该种水果每次降价的百分率为 x，由题意得： 10（1x）28.1， 解得：x10.1，x21.9（不合题意，舍去） ， x0.110%， 该种水果每次降价的百分率为 10%； （2）根据题意得， （8.14.1）（120 x）（3x264x+400）377， 解得，x9 或 x11（不合题意舍去） ， 答：x 的值为 9 3今年大德福超市以每件 25 元的进价购进一批商品，当商品售价为 40 元时，三月份销售 256 件，四、五月该商品十分畅销，销售量持
26、续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到 400 件 （1）求四、五这两个月的月平均增长率 （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价 1 元，月销量增加 5 件，当商品降价多少元时，商场月获利 4250 元？ 【分析】 （1）设四、五这两个月的月平均增长率为 x，利用五月份的销售量三月份的销售量（1+月平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设商品降价 m 元，则每件获利（40m25）元，月销售量为（400+5m）件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于 m 的一元二次方程，
27、解之即可得出结论 【解析】 ： （1）设四、五这两个月的月平均增长率为 x， 依题意得：256（1+x）2400， 解得：x10.2525%，x22.25（不合题意，舍去） 答：四、五这两个月的月平均增长率为 25%； （2）设商品降价 m 元，则每件获利（40m25）元，月销售量为（400+5m）件， 依题意得： （40m25） （400+5m）4250， 解得：m15，m270（不合题意舍去） 答：当商品降价 5 元时，商场月获利 4250 元 4某超市销售一种衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低
28、1 元，平均每天可多售出 2 件 （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出 28 件衬衫，此时每天销售获利 1008 元 （2） 在每件盈利不少于 25 元的前提下， 要使该衬衫每天销售获利为 1200 元， 问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到 1300 元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由 【分析】 （1）利用平均每天的销售量20+2每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出此时每天销售获利； （2）设每件衬衫降价 x 元，则每件盈利（40 x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据每天销
29、售该衬衫获利 1200 元， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之即可得出 x 的值， 再结合每件盈利不少于 25 元，即可得出每件衬衫应降价 10 元； （3）不能，设每件衬衫降价 y 元，则每件盈利（40y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根据每天销售该衬衫获利 1300 元，即可得出关于 y 的一元二次方程，由根的判别式1000，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到 1300 元 【解析】 ： （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出 20+4228（件） ， 此时每天销售获利（404）281008（元） 故答案为：28；1008 （2）设每件衬衫降价
30、x 元，则每件盈利（40 x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依题意得： （40 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220， 当 x10 时，40 x40103025，符合题意； 当 x20 时，40 x40202025，不符合题意，舍去 答：每件衬衫应降价 10 元 （3）不能，理由如下： 设每件衬衫降价 y 元，则每件盈利（40y）元，平均每天可售出（20+2y）件， 依题意得： （40y） （20+2y）1300， 整理得：y230y+2500， （30）2412501000， 该方程没有实数根， 即该衬衫每天的销售获利不能达到 1
31、300 元 5 为了满足师生的阅读需求， 某校图书馆的藏书从 2019 年底到 2021 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年平均增长率； （2）该校期望 2022 年底藏书量达到 8.6 万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明 【分析】 （1）设这两年藏书的年平均增长率为 x，利用该校图书馆 2021 年底的藏书量该校图书馆 2019年底的藏书量（1+这两年藏书的年平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2） 利用该校图书馆 2022 年底的藏书量该校图书馆 2021 年底的藏书量 （1+藏
32、书的年平均增长率） ，即可求出该校图书馆 2022 年底的藏书量，将其与 8.6 万册比较后即可得出结论 【解析】 ： （1）设这两年藏书的年平均增长率为 x， 依题意得：5（1+x）27.2， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：这两年藏书的年平均增长率为 20% （2）7.2（1+20%）8.64（万册） ， 8.648.6， 按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现 6某网店第一次用 17500 元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用 40000 元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多 5 元，购进数量则是第一次的 2 倍 （1）第一次
33、每盒医用外科口罩的进价是多少元？ （2）该网店发现：每盒售价为 60 元时，每星期可卖 300 盒为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 盒该网店某星期销售该款口罩获得了 6480 元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？毛利润（售价进价）销售量 【分析】 （1）设第一次每盒医用外科口罩进价 x 元，则第二次进价（x+5）元，根据第二次购进数量则是第一次的 2 倍列分式方程，求解即可； （2）设降价 m 元，根据该网店某星期销售该款口罩获得了 6480 元的毛利润，列一元二次方程，求解即可 【解析】 ： （1）
34、设第一次每盒医用外科口罩进价 x 元，则第二次进价（x+5）元， 根据题意，得17500 2 =40000+5， 解得 x35， 经检验，x35 是原方程的解，且符合题意， 答：第一次每盒医用外科口罩的进价是 35 元 （2）设降价 m 元， 第二次进价为 35+540（元） ， 根据题意，得（6040m） （300+30m）6480， 解得 m8 或 m2， 为了便民利民， m8， 300+308540（盒） ， 答：该网店这星期销售该款口罩 540 盒 7北京冬奥会期间，某商场进了一批冰墩墩钥匙扣，将进价为 20 元的钥匙扣以 45 元售出，平均每月能售出 50 个，现商场决定采取降价措施
35、，调查表明：这种钥匙扣的售价每降低 0.5 元，平均每月就能多售出5 个 （1）商场要想在这种钥匙扣销售中每月盈利 2000 元，同时又要使百姓得到实惠，则每个钥匙扣应降价多少元？ （2） 物价部门规定， 每个钥匙扣获利必须低于 60%， 为了便于销售， 商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每月销售利润高于 2000 元？ 【分析】 （1）设每台降价 x 元，由利润（售价进价）销售量，列出函数解析式，令每月盈利 2000元，求出 x （2）每盏灯降价 y 元，利润为 w 元，先根据每个钥匙扣获利必须低于 60%，得到 y13再根据（1）的结果结合二次函数图象性质可得
36、13y15，可求得每个钥匙扣的定价 【解析】 ： （1）设每盏台灯应降价 x 元，由题意得： （4520 x） （50+10 x）2000， 解得：x15，x215 要使得百姓得到实惠， x15 答：应降价 15 元； （2）设每盏灯降价 y 元，利润为 w 元， 每个钥匙扣获利必须低于 60%， 4520y2060%， 解得 y13 w（4520y） （50+10y）2000， 结合二次函数图象性质可得 5y15 13y15， 售价为整数， y14 售价为 31 元 8我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化
37、简求值、解一元二次方程、求最值等问题 （1）已知三角形 ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，并且满足 a2+2b26a4b+110，求三角形 ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？ （2）某商品现在每件盈利 10 元，每天可卖出 30 件市场调查发现：如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖 1 件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？ 【分析】 （1）由 a2+2b26a4b+110 得（a3）2+2（b1）20，据此知 a3、b1，继而根据三角形三边关系确定 c 的范围，结合 c 是正整数可得 c3，从而得出答案； （2）设每件商品涨价 x 元，每天的利润为（10+x） （3
38、0 x）（x10）2+400，由（x10）20 知（x10）2+400400，从而得出答案 【解析】 ： （1）a2+2b26a4b+110， a26a+9+2b24b+20，即（a3）2+2（b1）20， 则 a30 且 b10， 解得 a3，b1， 31c3+1，即 2c4， c 是正整数， c3， 则ABC 的周长为 3+1+37； （2）设每件商品涨价 x 元， 每天的利润为（10+x） （30 x） x2+20 x+300 （x10）2+400， （x10）20， （x10）20， 则（x10）2+400400， 当 x10 时，（x10）2+400 取得最大值 400， 答：当每件
39、商品涨价 10 元时，每天的利润最大 9 （2022宿豫区开学）某超市销售一种衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利， 该超市准备适当降价， 经过一段时间测算， 发现每件衬衫每降低 1 元， 平均每天可多售出 2 件 （1）若每件衬衫降价 4 元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？ （2） 在每件盈利不少于 25 元的前提下， 要使该衬衫每天销售获利为 1200 元， 问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到 1300 元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能请说明理由 【分析】 （1）利用日销售量20+2每件衬衫降低的价格，可
40、求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润； （2）设每件衬衫应降价 x 元，则每件盈利（40 x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）该衬衫每天的销售获利不能达到 1300 元，设每件衬衫应降价 y 元，则每件盈利（40y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于 y 的一元二次方程， 由根的判别式1000， 可得出该方程无实数根， 即该衬衫每天的销售获利不能达到 1
41、300元 【解析】 ： （1）20+2428（件） ， （404）281008（元） 答：均每天可售出 28 件衬衫，此时每天销售获利 1008 元 （2）设每件衬衫应降价 x 元，则每件盈利（40 x）元，每天可售出（20+2x）件， 依题意得： （40 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 又每件盈利不少于 25 元， x10 答：每件衬衫应降价 10 元 （3）该衬衫每天的销售获利不能达到 1300 元，理由如下： 设每件衬衫应降价 y 元，则每件盈利（40y）元，每天可售出（20+2y）件， 依题意得： （40y） （20+2y）1
42、300， 整理得：y230y+2500 （30）2412501000， 该方程无实数根， 即该衬衫每天的销售获利不能达到 1300 元 10 （2022 春东台市期中） 某体育用品商店销售一批运动鞋， 零售价每双 250 元， 如果一次购买超过 8 双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低 10 元，但单价不能低于 160 元 （1）当小明买这种运动鞋 10 双时，运动鞋的单价为 230 元： （2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了 2700 元，这名顾客买了多少双鞋？ 【分析】 （1）利用销售单价25010超过 8 双的数量，即可求出结论； （2）设这名顾客买了 x 双鞋，求出购买 8 双运
43、动鞋时所需费用，由该费用少于 2700 元可得出 x8，利用总价销售单价销售数量， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之取其符合题意的值即可得出结论 【解析】 ： （1）25010（108） 250102 25020 230（元） 故答案为：230 （2）设这名顾客买了 x 双鞋， 25082000（元） ，2000 元2700 元， x8 依题意得：x25010（x8）2700， 整理得：x233x+2700， 解得：x115，x218 当 x15 时，25010（x8）25010（158）180160，符合题意； 当 x18 时，25010（x8）25010（188）150160，不符
44、合题意，舍去 答：这名顾客买了 15 双鞋 11 （2021 秋淮安区期末）用一段长为 30m 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为 18m （1）设垂直于墙的一边长为 xm，则平行于墙的一边长为 302x m（用含 x 的代数式表示） ； （2）若菜园的面积为 100m2，求 x 的值 【分析】 （1）根据图形直接可得答案； （2）由矩形面积公式列方程即可解得答案 【解析】 ： （1）由图可得：平行于墙的一边长为（302x）m， 故答案为：302x； （2）根据题意得： x （302x）100， x215x+500， 解得 x5 或 x10， 当 x5 时，302x2018， x5 不合
45、题意，舍去， x10， 答：x 的值为 10m 12 （2022 春江都区月考）2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆据统计，该店 2021 年 10 月的销量为 3 万件，2021 年 12 月的销量为 3.63 万件 （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量有没有超过4 万件？请利用计算说明 【分析】（1） 设月平均增长率为 x， 利用 20
46、21 年 12 月的销量2021 年 10 月的销量 （1+月平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用 2022 年 1 月的销量2021 年 12 月的销量（1+月平均增长率） ，即可求出 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量 【解析】 ： （1）设月平均增长率为 x， 根据题意，得 3（1+x）23.63， 解得 x10.110%，x22.1 （不合题意，舍去） 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为 10% （2）假设保持相同的月平均增长率，那么 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量为：3.63（1+10%）3.631.13.993（万件）
47、 答：2022 年 1 月“冰墩墩”的销量为 3.993 万件 13 （2022泰州） 如图， 在长为 50m、 宽为 38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路， 余下的铺上草坪 要使草坪的面积为 1260m2，道路的宽应为多少？ 【分析】要求路宽，就要设路宽应为 x 米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可 【解析】 ：设路宽应为 x 米 根据等量关系列方程得： （502x） （382x）1260， 解得：x4 或 40， 40 不合题意，舍去， 所以 x4， 答：道路的宽应为 4 米 14 （2022 春海安市期末）某校准备在一块长为 25
48、 米，宽为 20 米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示） ，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的 5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为 x 米 （1）花园内的小路面积为 （10 x2+45x） 平方米（用含 x 的代数式表示） （2）若草坪面积为 440 平方米时，求这时道路宽度 x 的值 【分析】 （1）由亭子边长是小路宽度的 5 倍，可得出亭子边长是 5x 米，利用花园内的小路面积小路的长度小路的宽度，即可用含 x 的代数式表示出花园内的小路面积； （2） 利用草坪的面积长方形花园的面积小路的面积亭子的面积， 即可得出关于 x 的一元
49、二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解析】 ： （1）小路宽度为 x 米，亭子边长是小路宽度的 5 倍， 亭子边长是 5x 米， 花园内的小路面积为（255x）x+（205x）x（10 x2+45x）平方米 故答案为： （10 x2+45x） （2）依题意得：2520（10 x2+45x）（5x）2440， 整理得：x2+3x40， 解得：x11，x24（不合题意，舍去） 答：这时道路宽度 x 的值为 1 15（2021 秋仪征市期末） 用一面足够长的墙为一边， 其余各边用总长 42 米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过 7 米 （围栏宽忽略不计）
50、 （1）若生态园的面积为 144 平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园的面积能否达到 150 平方米？请说明理由 【分析】 （1）设生态园垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为（423x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答； （2）根据矩形的面积公式列出方程，由一元二次方程根的判别式符号判定所列方程是否有根，据此进行判定 【解析】 ： （1）设生态园垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为（423x）米， 依题意，得（423x）x144 解得 x16，x28 由于 x287，所以不合题意，舍去 所以 x6 符合题意 答：生态园垂直于墙的边长为 6 米； （2）依题意，得（
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