1、1.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题一、单选题 1已知 xa是一元二次方程2 2 3 = 0的解，则代数式22 4的值为（ ） A3 B6 C3 D6 2已知 = 2是方程2 2 + = 0的一个根，则实数 c的值是( ) A1 B0 C1 D2 3根据下列表格的对应值： 2.4 2.5 2.6 2.7 2+ + 1.46 0.79 0.32 1.55 判断方程2+ + = 0（ 0，为常数）的一个近似解是（ ） A2.4 B2.5 C2.6 D2.7 4关于 x的方程( + )2+ = 0的解是1= 2，2= 1（a，m，b均为常数， 0） ，则方程(
2、 + + 2)2+ = 0的解是（ ） A1= 2，2= 1 B1= 1，2= 3 C1= 4，2= 1 D无法求解 5 m 是方程2+ 1 = 0的根，则代数式22+ 2 + 2020的值为（ ） A2018 B2020 C2021 D2022 6 （2022 江苏 九年级专题练习）若 a 是一元二次方程 x23x10 的一个根，则代数式 21a 的值为（ ） A2 B1 C1 D5 7（2022 江苏 九年级专题练习） 已知 m为方程2+ 3 2022 = 0的根， 那么3+ 22 2025 + 2022的值为（ ） A2022 B0 C2022 D4044 8 （2022 江苏 九年级专
3、题练习）若关于 x的一元二次方程2+ 2 2 = 0的一个根是 = 2022，则一元二次方程2( + 2)2+ + 2 = 1必有一根为（ ） A2020 B2021 C2022 D2023 9（2022 江苏 九年级专题练习） 已知1， 2是一元二次方程2 1 = 0的两根， 则12+ 2的值为 （ ） A0 B2 C1 D1 10 （2022 江苏 九年级课时练习）下列关于 x 的一元二次方程2+ + = 0( 0)的命题中，真命题有（ ） 若 + = 0，则2 4 0； 若方程2+ + = 0( 0)两根为 1 和2，则 = 0； 若方程2+ + = 0( 0)有一个根是( 0)，则 =
4、 + 1 A B C D 二、填空题二、填空题 11（2021 江苏淮安 九年级期中） 若m是方程2x23x10的一个根， 则4m26m2019的值为_ 12 （2021 江苏淮安 九年级期中）当 a_时，关于 x的一元二次方程 a2x2（2a1）x10 有一根为 1 13（2022 江苏 九年级）（1） 若(m2)x22x+30 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的取值范围是_ （2）一元二次方程(m+1)x2+x+m210 有一个根为 0，则 m_ 14 （2022 江苏 九年级单元测试）在一元二次方程2 2 + = 0中，若2 0，则称 a 是该方程的中点值 （1）方程2 8 + 3
5、 = 0的中点值是_； （2）已知2 + = 0的中点值是 3，其中一个根是 2，则此时 mn的值为_ 15 （2022 江苏 南外雨花分校一模）已知关于 x 的方程2 4 + 0的一个根是2 + 3，则 m 的值为_ 16（2022 江苏南通 八年级期末） 若， 是一元二次方程2+ 3 4 = 0的两个根， 则2+ 4 + =_ 17（2022 江苏南通 八年级期末） 已知m， n是方程2 3 = 2的两个根， 则式子(3 10 + )( 2)的值是_ 18（2022 江苏南通 八年级期末） 若 m， n是方程2 2 1 = 0的两个实数根， 则22+ 42 4 + 2022的值为_ 三、解
6、答题三、解答题 19 （2022 江苏 九年级阶段练习）先化简，再求值：(1+111) 222+1，其中 x 是方程 x2+x-4=0 的根 20（2022 江苏 九年级专题练习）若是方程2 10的一个根，求代数式3222021的值 21 （2022 江苏 九年级专题练习）已知 a 是方程 x22x10 的一个根，求代数式(a2)2(a1)(a1)的值 22 （2021 江苏镇江 九年级阶段练习）已知一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根为 1，且 a、b满足 b 2 + 2 +3，求 c 的值 23 （2022 江苏泰州 八年级期末）已知关于的一元二次方程2 (2 + 1) + 2+ 1
7、 = 0有两个不相等的实数根1、2 (1)求的取值范围； (2)若_（填序号） ，求的值 （从1 2= 2；1+ 2= 3；1 2= 1中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答 ） 24 （2022 江苏 九年级阶段练习）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程 x26x+80 的两个根是2 和 4，则方程 x26x+80 就是“倍根方程”请解决下列问题： (1)若一元二次方程 x29x+c0 是“倍根方程”，则 c_； (2)若（x1） （mxn）0（m0）是“倍根方程”，求代
8、数式223+22+2的值 1.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题一、单选题 1已知 xa是一元二次方程2 2 3 = 0的解，则代数式22 4的值为（ ） A3 B6 C3 D6 【答案】B 【分析】把 xa 代入一元二次方程2 2 3 = 0，得 a2-2a-3=0，再变形，得 a2-2a=3，然后方程两边同乘以 2，即可求解 【详解】解：把 xa 代入一元二次方程2 2 3 = 0，得 a2-2a-3=0， a2-2a=3， 2a2-4a=6， 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题
9、的关键 2已知 = 2是方程2 2 + = 0的一个根，则实数 c的值是( ) A1 B0 C1 D2 【答案】B 【分析】把 = 2代入方程2 2 + = 0，即可求解 【详解】解： = 2是方程2 2 + = 0的一个根， 22 2 2 + = 0， 解得： = 0 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键 3根据下列表格的对应值： 2.4 2.5 2.6 2.7 2+ + 1.46 0.79 0.32 1.55 判断方程2+ + = 0（ 0，为常数）的一个近似解是（ ） A2.4 B2.5 C2.6 D2
10、.7 【答案】C 【分析】根据表格中的2+ + 项的数据，最接近 0 时的 x的值即为近似解 【详解】解：1.46、0.79、0.32、1.55 四个数中， 0.32 最接近 0，且此时 x 等于 2.6 故选 C 【点睛】本题考查一元二次方程的近似解的估算，找出最接近 0 的2+ + 的值是解题关键 4关于 x的方程( + )2+ = 0的解是1= 2，2= 1（a，m，b均为常数， 0） ，则方程( + + 2)2+ = 0的解是（ ） A1= 2，2= 1 B1= 1，2= 3 C1= 4，2= 1 D无法求解 【答案】C 【分析】可把方程 a(x+m+2)2+b=0 看作关于 x+2
11、的一元二次方程，从而得到 x+2=2，x+2=1，然后解两个一次方程即可 【详解】可把方程 a(x+m+2)2+b=0 看作关于 x+2 的一元二次方程， 而关于 x的方程 a(x+m)2+b=0 的解是 x1=2，x2=1， 所以 x+2=2，x+2=1， 所以 x1=4，x2=-1 故选 C 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2=p 或(nx+m)2=p(p0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 5m 是方程2+ 1 = 0的根，则代数式22+ 2 + 2020的值为（ ） A2018 B2020 C2021 D2022 【答案】D 【分析】根据一元二次
12、方程解的定义得到2+ = 1，然后把2+ = 1整体代入所求式子中求解即可 【详解】解：m是方程2+ 1 = 0的根， 2+ 1 = 0， 2+ = 1， 22+ 2 + 2020 = 2(2+ )+ 2020 = 2 + 2020 = 2022， 故选 D 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程解的定义， 代数式求值， 熟知一元二次方程解的定义是解题的关键 6 （2022 江苏 九年级专题练习）若 a 是一元二次方程 x23x10 的一个根，则代数式 21a 的值为（ ） A2 B1 C1 D5 【答案】B 【分析】由题意知，把 x=a代入方程， 然后两边都除以 a，整理可得 a+1=3，进而
13、可求出所给代数式的值 【详解】解：a是一元二次方程 x23x+10 的一个根， a23a+10， a0， a3+1=0，即 a+1=3， 21a2（a+1）231 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值解题的关键在于明确能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 7（2022 江苏 九年级专题练习） 已知 m为方程2+ 3 2022 = 0的根， 那么3+ 22 2025 + 2022的值为（ ） A2022 B0 C2022 D4044 【答案】B 【分析】根据题意有2+ 3 2022 = 0，即有3+ 32 2022 = 0，据此即可作答 【详解】m为2+
14、 3 2022 = 0的根据， 2+ 3 2022 = 0，且 m0， 3+ 32 2022 = 0， 则有原式=(3+ 32 2022) (2+ 3 2022) = 0 0 = 0， 故选：B 【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由 m为2+ 3 2022 = 0得到2+ 3 2022 = 0是解答本题的关键 8 （2022 江苏 九年级专题练习）若关于 x的一元二次方程2+ 2 2 = 0的一个根是 = 2022，则一元二次方程2( + 2)2+ + 2 = 1必有一根为（ ） A2020 B2021 C2022 D2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程2(
15、 + 2)2+ + 2 = 1变形，设 tx2 得到2+ 2 2 = 0，利用2+ 2 2 = 0的一个根是 = 2022可得 t2022，从而求出 x 即可 【详解】解：对于一元二次方程2( + 2)2+ + 2 = 1即( + 2)2+ 2( + 2) 2 = 0， 设 tx2，则可得2+ 2 2 = 0， 而关于 x的一元二次方程2+ 2 2 = 0的一个根是 = 2022， 所以2+ 2 2 = 0有一个根为 t2022， 所以 x22022， 解得 x2020， 所以一元二次方程2( + 2)2+ + 2 = 1必有一根为 x2020， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的
16、定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 9（2022 江苏 九年级专题练习） 已知1， 2是一元二次方程2 1 = 0的两根， 则12+ 2的值为 （ ） A0 B2 C1 D1 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得 x1+x2=2，x122x11=0，两式相加，即可求解 【详解】解：x1，x2是一元二次方程 x2x1=0 的两个根， x1+x2=1，x12x11=0， 两式相加得：x12x11+ x1+x2=1 移项得：x12 +x2=2 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义、根与系数的关系是解题的关
17、键 10 （2022 江苏 九年级课时练习）下列关于 x 的一元二次方程2+ + = 0( 0)的命题中，真命题有（ ） 若 + = 0，则2 4 0； 若方程2+ + = 0( 0)两根为 1 和2，则 = 0； 若方程2+ + = 0( 0)有一个根是( 0)，则 = + 1 A B C D 【答案】A 【分析】 把b=a+c代入判别式中得到2 4= （a-c）20， 则可对进行判断； 利用根与系数的关系得到= 2，根据根的定义可得 + + = 0，于是可对进行判断；由方程的根的定义可得2 + = 0，即可对进行判断 【详解】解：a-b+c=0，则 b=a+c，2 4=（a+c）2-4ac
18、=（a-c）20，所以正确； 方程 ax2+bx+c=0 两根为 1 和-2， = 2，则 = 2， + + = 0 + 2 = 0 = 0，所以正确； 方程2+ + = 0( 0)有一个根是( 0)， 2 + = 0 0 + 1 = 0 = + 1 所以正确 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题二、填空题 11（2021 江苏淮安 九年级期中） 若m是方程2x23x10的一个根， 则4m26m2019的值为_ 【答案】2021 【分析】根据一元二
19、次方程的解的定义，将 m代入方程中，再计算求解即可 【详解】解：由题意可知：22 3 1 = 0， 22 3 = 1 42 6 + 2019 = 2 (22 3) + 2019， 42 6 + 2019 = 2 1 + 2019 = 2021 故答案为：2021 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解和代数式的求值，解题的关键是要正确计算代数式的值 12 （2021 江苏淮安 九年级期中）当 a_时，关于 x的一元二次方程 a2x2（2a1）x10 有一根为 1 【答案】2 【分析】将方程的根代入22+ (2 1) + 1 = 0得到有关 a 的方程求解即可确定 a的值，注意利用一元二次方程的定
20、义舍去不合题意的根，从而确定 a的值 【详解】解：将 x=1 代入22+ (2 1) + 1 = 0， 得：a2+2a=0 ， 解得：a1=-2，a2=0 a20， a0， a=-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是能够根据方程的定义舍去不合题意的根，难度不大 13（2022 江苏 九年级）（1） 若(m2)x22x+30 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的取值范围是_ （2）一元二次方程(m+1)x2+x+m210 有一个根为 0，则 m_ 【答案】 m2 1 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义可进行求解； （2）把 x0 代入方
21、程即可求解 【详解】解： （1）方程（m2）x22x+30 是关于 x 的一元二次方程， m20，解得 m2 故答案为：m2； （2）将 x0 代入（m+1）x2+x+m210， m210， m1 或 m1， m+10， m1， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解题的关键，注意二次项系数不能为 0 14 （2022 江苏 九年级单元测试）在一元二次方程2 2 + = 0中，若2 0，则称 a 是该方程的中点值 （1）方程2 8 + 3 = 0的中点值是_； （2）已知2 + = 0的中点值是 3，其中一个根是 2，则
22、此时 mn的值为_ 【答案】 4 48 【分析】 （1）利用中点值的定义进行分析即可； （2）利用中点值的定义求出的值，将的值与方程的根代入方程即可求出，从而计算的值 【详解】解： （1）由2 8 + 3 = 0，得2 2 4 + 3 = 0， 42 3 0， 该方程的中点値为4 （2）由2 + = 0，得2 2 2+ = 0， 该方程的中点值为3， (2)2 02= 3 ，解得 = 6 9 2 + = 0的一个根是2， 22 2 + = 0，即4 2 6 + = 0， 解得 = 8 8 34 (2)， = 1 【分析】 （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）选择其中一个进行解答即可 （1
23、） 解：一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+10 有两个不相等的实数根 x1、x2， （2k+1）241（k2+1）0， 解得：k34； （2） 解：当 x1x22 时， 得：k2+12， 解得：k1， k34， k1 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是熟记根与系数的关系，根的判别式并灵活运用 24 （2022 江苏 九年级阶段练习）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程 x26x+80 的两个根是2 和 4，则方程 x26x+80 就是“倍根方程”请
24、解决下列问题： (1)若一元二次方程 x29x+c0 是“倍根方程”，则 c_； (2)若（x1） （mxn）0（m0）是“倍根方程”，求代数式223+22+2的值 【答案】(1)18 (2)0 或35 【分析】 （1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案 （4）根据定义可求出 n=2m或 n=12m，代入原式后即可求出答案； （1） 由题意可知：xm 与 x2m是方程 x29x+c0 的解， m+2m9，m2mc， m3，c18， 故答案为 18； （2） 由（x1） （mxn）0（m0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为 x1 和 x=， =2 或=12， 当 n2m 时，223+22+2=2232+422+42=0， 当 n=12m时，223+22+2=22312+1422+142=35； 故代数式223+22+2的值 0 或35 【点睛】 本题考查一元二次方程， 解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义
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