1、 第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.在空间直角坐标系中，点 P(2，1，4)关于 x 轴的对称点的坐标是( ) A.(2，1，4) B.(2，1，4) C.(2，1，4) D.(2，1，4) 2.已知 a(1，2，y)，b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则( ) A.x13，y1 B.x12，y4 C.x2，y14 D.x1，y1 3.已知空间三点 O(0， 0， 0)， A(1， 1， 0)， B(0， 1， 1)， 在直线 OA 上有一点 H 满足
2、BHOA，则点 H 的坐标为( ) A.(2，2，0) B.(2，2，0) C.12，12，0 D.12，12，0 4.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，向量AB1，AD1，BD是( ) A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.不共面向量 D.共面向量 5.已知 E， F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC， CC1的中点， 则截面 AEFD1与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23 B.23 C.53 D.2 33 6.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE13BB1，DF23D
3、D1若EFxAByADzAA1，则 xyz( ) A.1 B.0 C.13 D.1 7.在以下命题中，不正确的个数为( ) |a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab； 对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP2OA2OBOC，则 P，A，B，C四点共面； 若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底； |(a b) c|a| |b| |c| A.5 B.4 C.3 D.2 8.如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90 ，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，ABAC1，PA2，则直线 P
4、A 与平面 DEF 所成角的正弦值为( ) A.15 B.25 C.55 D.2 55 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.下列各选项中，不正确的是( ) A.若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有ABBCCDDA0 B.对于非零向量 a，b， a，b与a，b相等 C.若AB，CD共线，则 ABCD D.对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OPxOAyOBzOC(其中 x，y，zR)，则 P，A，B，C 四点共面 10.若 A，B，C，D 为空间
5、不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是( ) A.AB2BC2CDDC B.2AB2BC3CD3DAAC C.ABCABD D.ABCBCDAD 11.已知正方体 ABCDABCD的中心为 O，则在下列各结论中正确的有( ) A.OAOD与OBOC是一对相反向量 B.OBOC与OAOD是一对相反向量 C.OAOBOCOD与OAOBOCOD是一对相反向量 D.OAOA与OCOC是一对相反向量 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，侧面 PAD 是边长为 2 6的正三角形，底面 ABCD 为矩形，CD2 3，点 Q 是 PD 的中点，则下列结论正确的是( ) A.CQ
6、平面 PAD B.PC 与平面 AQC 所成角的余弦值为2 23 C.三棱锥 BACQ 体积为 6 2 D.四棱锥 QABCD 外接球的内接正四面体表面积为24 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.(2021 年潮州模拟)由空间向量 a(1， 2， 3)， b(1， 1， 1)构成向量集合 Ax|xakb，kZ，则向量 x 的模|x|的最小值为_ 14.下列命题： 已知 R，则|a|a|；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BCB1C1； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 其中正确的命题的序号是_ 15.如图，设 O 为ABCD 所在平面外任
7、意一点，E 为 OC 的中点，若AE12ODxOByOA，则 xy_ 16.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动，则直线 D1E 与 A1D 所成角的大小是_；若 D1EEC，则 AE_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10 分)已知向量 a(1，3，2)，b(2，1，1)，点 A(3，1，4)，B(2，2，2) (1)求|2ab|；(2)在直线 AB 上是否存在一点 E，使得OEb(O 为原点)? 18.(12 分)已知空间三点 A(1，2，3)，B(2，1，5)，C(3，2，5
8、)，试求： (1)ABC 的面积；(2)ABC 的 AB 边上的高 19.(12 分)如图，在三棱锥 SABC 中，侧面 SAC 与底面 ABC 垂直，E，O 分别是 SC，AC 的中点，且 SASC 2，BC12AC，ASCACB90 (1)求证：OE平面 SAB； (2)若点 F 在线段 BC 上，问：无论点 F 在 BC 的何处，是否都有 OESF？请证明你的结论 20.(12 分)在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD2AB2 2，ABC90 ，如图 1 把ABD 沿 BD 翻折，使得平面 ABD平面 BCD(如图 2) (1)求证：CDAB (2)若点 M 为线段 BC 的中
9、点，求点 M 到平面 ACD 的距离 (3)在线段 BC 上是否存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由 21.(12 分)如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面 ABCD 是直角梯形，A 为直角，ABCD，AB4，AD2，DC2 (1)求线段 BC1的长度；(2)求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值 22.(12 分)如图，在圆锥 PO 中，已知 PO 2，O 的直径 AB2，C 是AB的中点，D 为 AC的中点 (1)求证：平面 POD平面 PAC；(2)求二面角 BPAC 的余弦值 参考答案参考答案
10、 一、单项选择题 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.C 二、多项选择题 9.BCD 10.BD 11.ACD 12.BD 三、填空题 13.答案： 13 14.答案： 15.答案：1 16.答案：90 ，1 四、解答题 17.解：(1)因为 a(1，3，2)，b(2，1，1)，所以 2ab(0，5，5) 所以|2ab| 02（5）2525 2 (2)假设存在点 E，其坐标为 E(x，y，z)，则AEAB，即(x3，y1，z4)(1，1，2)， 所以x3，y1，z24，所以 E(3，1，24)，所以OE(3，1，24) 又因为 b(2，1，1)，OEb，所以OE b2(
11、3)(1)(24)590， 所以 95，所以 E65，145，25 所以在直线 AB 上存在点 E65，145，25，使OEb 18.解：(1)AB(2，1，5)(1，2，3)(1，3，2)，AC(3，2，5)(1，2，3)(2，0，8)， AB AC12(3)02(8)14，|AB| 14，|AC|2 17， cosAB，AC14142 17734，sinAB，AC2734， SABC12|AB| |AC|sinAB，AC12142 1727343 21 (2)|AB| 14，设 AB 边上的高为 h，则12|AB| hSABC3 21，所以 h3 6 19.(1)证明：因为 E，O 分别是
12、 SC，AC 的中点，所以 OESA 又因为 OE平面 SAB，SA平面 SAB，所以 OE平面 SAB (2)解：在SAC 中，因为 OEAS，ASC90 ，所以 OESC 又因为平面 SAC平面 ABC，BCA90 ，BC平面 SAC，所以 BC平面 SAC 又因为 OE平面 SAC，所以 BCOE 因为 SCBCC，所以 OE平面 BSC 又因为 SF平面 BSC，所以 OESF所以无论点 F 在 BC 的何处，都有 OESF 20.(1)证明：由已知条件可得 BD2，CD2，CDBD 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，所以 CD平面 ABD 又因为 AB平面
13、ABD，所以 CDAB (2)解：如图，以点 D 为原点，DB 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系， 由已知可得 A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)， 所以CD(0，2，0)，AD(1，0，1)，MC(1，1，0) 设平面 ACD 的法向量 n(x，y，z)，则CDn，ADn，所以2y0，xz0， 令 x1，得平面 ACD 的一个法向量 n(1，0，1)，所以点 M 到平面 ACD 的距离 d|n MC|n|22 (3)解：假设在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ，设BN
14、BC，01，则 N(22，2，0)，所以AN(12，2，1) 又因为平面 ACD 的一个法向量 n(1，0，1)，且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ， 所以 sin 60 |AN n|AN|n|32，可得 82210，所以 14或 12(舍去) 综上，在线段 BC 上存在点 N，使 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ，此时BNBC14 21.解：(1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以DC(0，2，0)，BC1(2，2，2)
15、，|DC|2，|BC1| 4442 3 (2)由(1)可知，DC(0，2，0)，BC1(2，2，2)， 所以 cosDC，BC1DC BC1|DC|BC1|422 31333 所以异面直线 BC1与 DC 所成的角的余弦值为33 22.解：如图，以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2)，D12，12，0 (1)证明：设 n1(x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1 OD0，n1 OP0， 得12x112y10，2z10.所以 z
16、10，x1y1，取 y11，得 n1(1，1，0) 设 n2(x2，y2，z2)是平面 PAC 的一个法向量，则由 n2 PA0，n2 PC0，得x2 2z20，y2 2z20. 所以 x2 2z2，y2 2z2，取 z21，得 n2( 2， 2，1) 因为 n1 n2(1，1，0) ( 2， 2，1)0，所以 n1n2，从而平面 POD平面 PAC (2)因为 y 轴平面 PAB，所以平面 PAB 的一个法向量 n3(0，1，0) 由(1)知，平面 PAC 的一个法向量 n2( 2， 2，1) 设向量 n2和 n3的夹角为 ，则 cos n2 n3|n2|n3|25105 由图可知，二面角 BPAC 的平面角为锐角，所以二面角 BPAC 的余弦值为105
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