1、 1.31.3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1正方形有而矩形不一定有的性质是（ ） A四个角都是直角 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 2下列判断正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 CD 边中点，正方形 ABCD 的周长为 8，则OH 的长为（ ） A4 B3 C2 D1 4如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O
2、 是原点，点 A 的坐标为（1，3） ，则点 C 的坐标为（ ） A （1，3） B （3，1） C （1，3） D （3，1） 5如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，M 是边 AD 上一点，连接 OM，过点 O 作 ONOM，交 CD 于点 N若四边形 MOND 的面积是 1，则 AB 的长为（ ） A1 B2 C2 D22 6如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为 S1、S2，则 S1+S2（ ） A16 B17 C18 D19 7如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC2AE，直角三角形 FEG 的两直角边 EF
3、、EG 分别交 BC、DC 于点 M、N若正方形 ABCD 边长为 1则重叠部分四边形 EMCN 的面积为（ ） A23 B14 C59 D49 8如图，P 为边长为 10 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上任一点，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PFCD 于点 F， 连接 EF， AP 给出以下 4 个结论： APEF； SABPS四边形BPFE； AP+EF 的最小值是 53； 若BAP60时，则 EF 的长度为 103 10其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 9 小题，满分小题，满分 45 分）分） 9已知四边形 ABCD
4、是平行四边形，下列结论中错误的有 当 ABBC 时，它是菱形；当 ACBD 时，它是菱形；当ABC90时，它是矩形；当 ACBD 时，它是正方形 10如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，EAF45，ECF 的周长为 8，则正方形 ABCD 的面积为 11如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A、C 到直线 l 的距离 AE、CF 分别是 2cm、3cm，则线段 EF 的长为 cm 12 正方形 ABCD， 点 P 为正方形内一点， 且满足 PA3， PB22， PC5， 则APB 的度数为 度 13如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC
5、 的中点，G、H 分别是边 DC、AB 上的动点，且 GHAE，连接 AG、EH，则 AG+EH 的最小值为 14如图，正方形 ABCD 边长为 2，F 为 BC 上一动点，作 DEAF 于 E，连接 CE当CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DE 的长为 15 如图， 四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形， CEB 和CFD 都是直角且点 C， E， F 三点共线， BE2，则阴影部分的面积是 16如图，点 E 在正方形 ABCD 内，且 ECBC，则BED 17如图，正方形 ABCD 和正方形 BEFG 的边长分别为 6 和 2，点 E，G 分别在边 BC，AB 上，点 H 为 D
6、F的中点，连接 GH，则 GH 的长为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 43 分）分） 18如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边上的点，且 AEBFCGDH求证： （1）AHEBEF； （2）四边形 EFGH 是正方形 19如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点，DAE 的平分线 AF 交 BC 的延长线于点 F，交 CD 于点 G （1）若 AB4，BF8，求 CE 的长； （2）求证：AEBE+DG 20如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，连接 DE，把DEC 沿 DE 折叠得到DEF，延长 EF交 AB 于
7、G，连接 DG （1）求证：EDG45 （2）如图 2，E 为 BC 的中点，连接 BF 求证：BFDE； 若正方形边长为 6，求线段 AG 的长 （3）当 BE：EC 时，DEDG 21 （1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数 （2）如图，在 RtABD 中，BAD90，ABAD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由 （3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点
8、M，N，若 EG4，GF6，BM32，求 AG，MN 的长 22已知正方形 ABCD，E，F 为平面内两点 （探究建模） （1）如图 1，当点 E 在边 AB 上时，DEDF，且 B，C，F 三点共线，求证：AECF； （类比应用） （2）如图 2，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，DEDF，AEEF，且 E，C，F 三点共线猜想并证明线段 AE，CE，DE 之间的数量关系； 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误； B、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误； C、正方形和矩形的对角线互相
9、平分，故本选项错误； D、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确 故选：D 2解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意； 故选：B 3解：正方形 ABCD 的周长为 8， BC2， 又O 是正方形对角线的交点， O 是 BD 的中点， H 是 CD 边的中点， OH 是DBC 的中位线， OH=12BC1 故选：D 4解：如图所示，作 ADx 轴于 D，CEx
10、 轴于 E，则OECADO90， COE+ECO90， A 的坐标为（1，3） ， AD= 3，OD1， 四边形 OABC 是正方形， OAOC，AOC90， AOD+COE90， AODECO， 在OCE 和AOD 中， = = = ， OCEAOD（AAS） ， OEAD= 3，CEOD1， C（3，1） 故选：D 5解：四边形 ABCD 是正方形， MDONCO45，ODOC，DOC90， DON+CON90， ONOM， MON90， DON+DOM90， DOMCON， 在DOM 和CON 中， = = = ， DOMCON（ASA） ， 四边形 MOND 的面积是 1，四边形 MO
11、ND 的面积DOM 的面积+DON 的面积， 四边形 MOND 的面积CON 的面积+DON 的面积DOC 的面积， DOC 的面积是 1， 正方形 ABCD 的面积是 4， AB24， AB2， 故选：C 6解：如图， ABC 和CDE 都为等腰直角三角形， ABBC，DEDC，ABCD90， sinCABsin45=22，即 AC= 2BC，同理可得：BCCE= 2CD， AC= 2BC2CD，又 ADAC+CD6， CD2， EC222+22，即 EC22； S1的面积为 EC222 22 =8； MAOMOA45， AMMO， MOMN， AMMN， M 为 AN 的中点， S2的边长
12、为 3， S2的面积为 339， S1+S28+917 故选：B 7解：过 E 作 EPBC 于点 P，EQCD 于点 Q， 四边形 ABCD 是正方形， BCD90， 又EPMEQN90， PEQ90， PEM+MEQ90， 三角形 FEG 是直角三角形， NEFNEQ+MEQ90， PEMNEQ， AC 是BCD 的角平分线，EPCEQC90， EPEQ，四边形 PCQE 是正方形， 在EPM 和EQN 中， = = = ， EPMEQN（ASA） SEQNSEPM， 四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积， 正方形 ABCD 的边长为 1， AC= 2， EC3AE， EC
13、=232， EPPC=23， 正方形 PCQE 的面积=2323=49， 四边形 EMCN 的面积=49， 故选：D 8解：连接 PC，如图所示： 在正方形 ABCD 中，ABCB，ABPCBP45，BCD90， 又PBPB， ABPCBP（SAS） ， APCP， PEBC，PFCD，且FCE90， 四边形 PECF 为矩形， PCEF， APEF， 故选项符合题意； ABPCBP（SAS） ， ABP 的面积CBP 的面积， 在矩形 PECF 中，PEC 的面积PFE 的面积， SABPSBPE+SPECS四边形BPFE， 故选项符合题意； 正方形 ABCD 的边长为 10， ABAD10
14、， 根据勾股定理，得 BD= 102， 当 APBD 时，AP 的值最小=12BD= 52，此时 P 为 BD 的中点， APEF， AP+EF 的最小值为102， 故选项不符合题意； 过点 P 作 PHAB 于点 H， 则AHP90， BAP60， APH30， 设 AHx，则 AP2x， 根据勾股定理，得 PH= 3x， PBA45， BPH45， BHPH= 3x， AB10， x+3x10， 解得 x53 5， AP2x103 10， EF103 10， 故选项符合题意， 综上，正确的有， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 9 小题，满分小题，满分 45 分）分） 9解：四边形 AB
15、CD 是平行四边形， 当 ABBC 时，它是菱形，故正确， 当 ACBD 时，它是菱形，故正确， 当ABC90时，它是矩形，故正确， 当 ACBD 时，它是矩形，故错误， 故答案为： 10解：将DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到BAF位置， 由题意可得出：DAFBAF， DFBF，DAFBAF， EAF45， 在FAE 和EAF中， = = = ， FAEEAF（SAS） ， EFEF， ECF 的周长DF+EB+CF+CECD+CB8， AD4， 正方形 ABCD 的面积为 16 故答案为：16 11解：四边形 ABCD 为正方形， ABBC，ABC90 AEl，CFl， EF90，E
16、AB+ABE90，FBC+BCF90 ABE+ABC+FBC180， ABE+FBC90， EABFBC 在ABE 和BCF 中， = = = ， ABEBCF（AAS） ， BECF3cm，BFAE2cm， EFBE+BF3+25cm 故答案为：5 12解：将APB 绕点 B 旋转 90得到BPC，则PBP90，BPBP，APPC，APBCPB， PB22， BP22， PP4，BPP45， PA3，PC5， PC3， PP2+PC242+3252PC2， PPC 是直角三角形，PPC90， BPCBPP+PPC135， APB135， 故答案为：135 13解：过点 G 作 GMAB 于点
17、 M，交 AE 于点 O，设 AE 与 GH 交于点 N，取 CD 的中点 P，作 PQDC且 PQ1，连接 GQ GHAE， AHN+HAN90， 又HAN+AEB90， AHNAEB， 在ABE 和GMH 中， = = 90 = = ， ABEGMH（AAS） ， MHBE1， 即 AM+BH1， DG+PG1，且 AMDG， PGBH， 在HBE 和GPQ 中， = = = 90 = ， HBEGPQ（SAS） ， GQEH， 即 AG+EHAG+GQ， 当 A、G、Q 三点共线时 AG+GQ 最小，最小值为 AQ= 32+ 12= 10， 故答案为：10 14解：过 C 作 CGDE
18、于 G， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADC90， DEAF， AED90， ADDE， CDDE， 当CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，此时只能 CDCE， CGDE， EGDG=12DE， ADE+CDGADE+DAE90， CDGDAE， AEDCGD90， AEDDGC（AAS） ， AEDG=12DE， 设 AEx，则 DE2x， 在 RtAED 中，由勾股定理得：AE2+DE2AD2， AD2， x2+（2x）222， 解得：x= 255， x0， x=255， DE2x=455， 当 F 与 B 重合，则 E 与 A 重合，CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形，
19、此时 DEAD2， 故答案为：455或 2 15解：四边形 ABCD 是正方形， BCCD，BCD90， CEBCFD90， BCE+DCF90，BCE+EBC90， EBCDCF， 在BEC 与CFD 中， = = 90 = = ， BECCFD（AAS） ， CFBE，ECDF， BC5，BE2， EC= 2 2= 52 22= 21， 阴影部分的面积=12 =12 21 21 =212， 故答案为：212 16解：四边形 ABCD 为正方形， CBCD，BCD90， CECB， CDCE， CBECEB，CEDCDE， CEB=12（180BCE） ，CED=12（180DCE） ， C
20、EB+CED18012（BCE+ECE） ， 即BED18012BCD， BED1801290135 故答案为 135 17解：延长 GH 交 AD 的延长线于 N，如图： 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 6 和 2， BEGFAD，GFBG2，ABAD6， FGHN，GA4， 点 H 是 DF 的中点， DHFH， 在FGH 和CNH 中， = = = ， FGHDNH（AAS） ， GHHN，GFDN2， ANAD+DN8， GN= 2+ 2= 42+ 82=45， GH=12GN25， 故答案为：25 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 43 分）分）
21、 18证明： （1）四边形 ABCD 为正方形， ABBCCDDA，AB90， 又AEBFDHCG， AHBECFDG， AHEBEF（SAS） ； （2）在正方形 ABCD 中，ABBCCDAD， AEBFCGDH， AHDGCFBE， ABCD90， AEHDHGCGFBFE（SAS） ， EFEHHGGF，EHAHGD， 四边形 EFGH 是菱形， EHAHGD，HGD+GHD90， EHA+GHD90， EHG90， 四边形 EFGH 是正方形 19解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ADBC4，B90，ADBC， DAGF， AF 平分DAE， DAGEAF， EAFF， AE
22、EF， 设 CEx，则 BE4x，AEEF84+x4+x， 在 RtABE 中，AE2AB2+BE2， 42+（4x）2（4+x）2， 解得：x1， CE1； （2）如图，延长 CB 到点 M，使 BMDG，连接 AM， 四边形 ABCD 是正方形， DABM90，ADAB，ABCD， AGDEAF+BAE， AF 平分DAE， EAFFAD，AGDFAD+BAE， 在ABM 和ADG 中， = = = 90 = ， ABMADG（SAS） ， MAGDFAD+EAB，MABFAD， MMAB+EABMAE， AEMEBE+MBBE+DG 20 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD 是正方形
23、， DCDAABCADC90， DEC 沿 DE 折叠得到DEF， DFEC，DCDF，12， DFGA90，DADF， 在 RtDGA 和 RtDGF 中， = = ， RtDGARtDGF（HL） ， 34， EDG3+2=12ADF+12FDC， =12（ADF+FDC） ， =1290， 45； （2）证明：如图 2，DEC 沿 DE 折叠得到DEF，E 为 BC 的中点， CEEFBE，DEFDEC， 56， FEC5+6， DEF+DEC5+6， 252DEC， 即5DEC， BFDE； 解：设 AGx，则 GFx，BG6x， 正方形边长为 6，E 为 BC 的中点， CEEFBE
24、=1263， GEEF+GF3+x， 在 RtGBE 中，根据勾股定理得： （6x）2+32（3+x）2， 解得 x2， 即，线段 AG 的长为 2； （3）DEDG，DFEC90， 点 F 是 EG 的中点， 在 RtADG 和 RtCDE 中， = = ， RtADGRtCDE（HL） ， AGCE， ABAGBCCE， 即 BGBE， BEG 是等腰直角三角形， BFGE， BE：EF= 2， 即 BE：EC= 2 故答案为：2 21解： （1）在 RtABE 和 RtAGE 中， = = ， RtABERtAGE（HL） BAEGAE 同理，GAFDAF EAF=12BAD45 （2）
25、MN2ND2+DH2 BAMDAH，BAM+DAN45， HANDAH+DAN45 HANMAN 在AMN 与AHN 中， = = = ， AMNAHN（SAS） MNHN BAD90，ABAD， ABDADB45 HDNHDA+ADB90 NH2ND2+DH2 MN2ND2+DH2 （3）如图，连接 BD，由（1）知，BEEG，DFFG 设 AGx，则 CEx4，CFx6 在 RtCEF 中， CE2+CF2EF2， （x4）2+（x6）2102 解得 x112，x22（舍去负根） 即 AG12 在 RtABD 中，BD= 2+ 2= 22=122 在（2）中，MN2ND2+DH2，BMDH
26、， MN2ND2+BM2 设 MNa，则 a2（122 32 a）2+（32）2 即 a2（92 a）2+（32）2， a52即 MN52 22 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， DADC，AADCDCBDCF90， DEDF， EDFADC90， ADECDF， 在DAE 和DCF 中， = = = ， DAEDCF（ASA） ， AECF （2）解：猜想：EA+EC= 2DE 理由：如图 2 中， 四边形 ABCD 是正方形， DADC，ADC90， DEDF，AEEF， AEFEDF90， ADCEDF， ADECDF， ADC+AEC180， DAE+DCE180， DCF+DCE180， DAEDCF， DAEDCF（AAS） ， AECF，DEDF， EF= 2DE， AE+ECEC+CFEF， EA+EC= 2DE
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