1、 第十二章第十二章全等三角形全等三角形 一、选择题一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2022 江苏连云港期中)已知 ABC的三边的长分别为 3,5,7, DEF的三边的长分别为 3,7,2x-1,若这两个三角形全等,则 x 的值是( ) A.3 B.5 C.-3 D.-5 2.(2021 天津北仓二中月考)如图是一种测量工具,点 O是两根钢条 AC、BD的中点,并能绕点 O转动.由三角形全等可得内槽宽 AB与 CD相等,其中 OABOCD的依据是( ) A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 3.(2022 湖北武汉一模)已知 ABC,两个完全一样的三角板如图摆放,它们
2、的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点 M,点 M一定在( ) A.A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 4.(2020 四川南充嘉陵期中)如图, ABCADE,若C=70 ,B=30 ,CAD=35 ,则CAE=( ) A.40 B.45 C.50 D.55 5.如图,在方格纸中,以 AB为一边作 ABP,使其与 ABC全等,从 P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点 P,则点 P有( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图,点 B,C,E在同一直线上,且 AC=CE,B=D=90 ,ACCD,下列结
3、论不一定成立的是( ) A.A=2 B.A+E=90 C.BC=DE D.BCD=ACE 7.如图,在四边形 ABCD中,ABDC,E为 BC的中点,连接 DE、AE,AEDE,延长 DE交 AB的延长线于点 F.若 AB=5,CD=3,则 AD的长为( ) A.2 B.5 C.8 D.11 8.如图,在 Rt ABC中,C=90 ,以顶点 A为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB于点 M,N,再分别以点 M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP交边 BC于点 D,若CD=4,AB=15,则 ABD的面积是( ) A.15 B.30 C.45 D.60 9.如
4、图,在 ABC中,C=90 ,AD平分BAC,DEAB于点 E,有下列结论:CD=ED; AC+BE=AB;DA平分CDE;BDE=BAC;S ABDS ACD=ABAC,其中结论正确的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 10.(2022 山东聊城期中)如图,在 OAB和 OCD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD= 40 ,连接 AC,BD交于点 M,连接 OM.下列结论:AC=BD;AMB=40 ;OM 平分BOC; MO平分BMC.其中正确的结论有( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.(2022 江苏徐州二中
5、期末)如图,已知 ABCDFE,B=80 ,ACB=30 ,则D= . 12.(2021 湖南长沙中考)如图,在 ABC中,C=90 ,AD平分BAC交 BC于点 D,DEAB,垂足为E,若 BC=4,DE=1.6,则 BD的长为 . 13.(2021 黑龙江齐齐哈尔中考)如图,AC=AD,1=2,要使 ABCAED,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可) 14.(2021 广东中山四校联考)如图,在 ABC中,AD是 BC 边上的高,BE是 AC边上的高,且 AD,BE交于点 F,若 BF=AC,CD=3,BD=8,则线段 AF的长度为 . 15.如图,ACB=90 ,AC=BC,ADC
6、E,BECE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则 DE的长为 . 16.(2022 广东广州六中月考)如图,小张同学拿着老师的等腰直角三角尺,摆放在两摞长方体教具之间,ACB=90 ,AC=BC,若每个长方体教具高度均为 6 cm,则两摞长方体教具之间的距离 DE的长为 cm. 17.如图,在 PAB 中,A=B,M,N,K 分别是 PA,PB,AB 上的点,且 AM=BK,BN=AK,若MKN=44 ,则P的度数为 . 18.如图,在 Rt ABC中,C=90 ,AC=12,BC=6,PQ=AB,P、Q两点分别在 AC和过点 A且垂直于AC的射线 AX上运动,要使 ABC和 QPA
7、全等,则 AP= . 三、解答题三、解答题(共 46分) 19.(2021 湖北黄石中考)(6分)如图,D是 ABC的边 AB上一点,CFAB,DF交 AC于 E点,DE=EF. (1)求证: ADECFE; (2)若 AB=5,CF=4,求 BD的长. 20.(2022 福建福州三中期中)(6 分)如图,点 E,F分别在 OA,OB上,DE=DF,OED+OFD =180 . (1)请作出点 D到 OA、OB的距离,标明垂足; (2)求证:OD平分AOB. 21.(2020 江苏常州中考)(6分)已知:如图,点 A、B、C、D在一条直线上,EAFB,EA= FB,AB=CD. (1)求证:E
8、=F; (2)若A=40 ,D=80 ,求E的度数. 22.(2021 广东深圳宝安期末)(8 分)如图,在 ABC中,D为 AB上一点,E为 AC的中点,连接 DE并延长至点 F,使得 EF=ED,连接 CF. (1)求证:CFAB; (2)若ABC=50 ,连接 BE,BE平分ABC,CA平分BCF,求A的度数. 23.(2021 江西宜春期中)(10 分)如图所示,E、F分别为线段 AC上的两个点,且 DEAC于点E,BFAC于点 F,若 AB=CD,AE=CF,BD交 AC于点 M. (1)试猜想 DE与 BF的关系,并证明你的结论; (2)求证:MB=MD. 24.(2022 山东日
9、照模拟)(10 分)在四边形 ABCD中,AB=AD,BAD=120 ,B=ADC= 90 ,E、F分别是 BC、CD上的点,且EAF=60 ,试探究图 1中线段 BE、EF、FD之间的数量关系. (1)小亮同学认为:延长 FD到点 G,使 DG=BE,连接 AG,先证明 ABEADG,再证明 AEFAGF,则可得到 BE、EF、FD之间的数量关系是 ; (2)在四边形 ABCD中,如图 2,AB=AD,B+D=180 ,E、F分别是 BC、CD上的点,EAF= BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由. 答案全解全析答案全解全析 1.A 这两个三角形全等, 2x-1=5,解得 x=3,故选
10、A. 2.C O是 AC、BD的中点,AO=CO,BO=DO. 在 OAB和 OCD中, OABOCD(SAS),故选 C. 3.A 连接 AM, 由题意得,MG=MH,MGAB,MHAC, AM平分BAC,点 M一定在BAC的平分线上,故选 A. 4.B C=70 ,B=30 ,BAC=180 -C-B=180 -70 -30 =80 , ABCADE,EAD=BAC=80 ,CAE=EAD-CAD=80 -35 =45 ,故选 B. 5.C 由题图可知,满足条件的有 P1,P3,P4,共 3 个,故选 C. 6.D ACCD,ACD=90 ,1+2=90 , B=90 ,1+A=90 ,2
11、=A, 在 ABC和 CDE中, ABCCDE(AAS), BC=DE,1=E,A+E=90 , 1 不一定等于2,BCD不一定等于ACE. 故 A,B,C选项不符合题意,故选 D. 7.C E为 BC的中点,BE=EC, ABCD,F=CDE, 在 BEF与 CED中, BEFCED(AAS), EF=ED,BF=CD=3,AF=AB+BF=8, AEDE,AED=AEF=90 , 在 AED与 AEF中, AEDAEF(SAS),AD=AF=8,故选 C. 8.B 由题意得 AP是BAC的平分线,过点 D作 DEAB于 E,如图, C=90 ,DE=CD=4, ABD的面积= AB DE=
12、 15 4=30.故选 B. 9.A 在 ABC中,C=90 ,AD平分BAC,DEAB,CD=ED,正确; 在 Rt ADE和 Rt ADC中, Rt ADERt ADC(HL), ADE=ADC,AE=AC, DA平分CDE,正确; AE=AC,AB=AE+BE=AC+BE,正确; BDE+B=90 ,B+BAC=90 , BDE=BAC,正确; S ABD= AB DE,S ACD= AC CD,且 CD=ED,S ABDS ACD=ABAC,正确. 故结论正确的个数为 5,故选 A. 10.D AOB=COD=40 , AOB+AOD=COD+AOD, 即AOC=BOD, 在 AOC和
13、 BOD中, AOCBOD(SAS), OCA=ODB,OAC=OBD,AC=BD,正确; 由三角形的外角性质得AMB+OAC=AOB+OBD,AMB=AOB=40 ,正确; 作 OGMC于 G,OHMB于 H,如图所示: 则OGC=OHD=90 , 在 OCG和 ODH 中, OCGODH(AAS),OG=OH, MO平分BMC,正确; AOB=COD, 当DOM=AOM时,OM才平分BOC, 假设DOM=AOM, AOC=BOD,COM=BOM, MO平分BMC,CMO=BMO, 在 COM和 BOM中, COMBOM(ASA),OB=OC, OA=OB,OA=OC,与 OAOC矛盾, 错
14、误. 正确的有.故选 D. 11.70 解析解析 B=80 ,ACB=30 , A=180 -80 -30 =70 , ABCDFE,D=A=70 . 12.2.4 解析解析 AD平分BAC,DEAB,C=90 , CD=DE, DE=1.6,CD=1.6, BD=BC-CD=4-1.6=2.4.故答案为 2.4. 13.B=E(或或C=D 或或 AB=AE) 解析解析 1=2, 1+BAD=2+BAD,即BAC=EAD, AC=AD, 当添加B=E时,可根据“AAS”判定 ABCAED; 当添加C=D时,可根据“ASA”判定 ABCAED; 当添加 AB=AE时,可根据“SAS”判定 ABC
15、AED.(答案不唯一,任选一个即可) 14.5 解析解析 AD是 BC边上的高,BE是 AC边上的高, ADC=BDF=CEB=90 , DAC+C=90 ,C+DBF=90 , DAC=DBF, 在 ADC和 BDF中, ADCBDF(AAS), FD=CD=3,AD=BD=8, AF=AD-FD=8-3=5,故答案为 5. 15.2 解析解析 BECE,ADCE, E=ADC=90 ,EBC+BCE=90 . BCE+ACD=90 ,EBC=DCA. 在 CEB和 ADC中, CEBADC(AAS), DC=BE=1,CE=AD=3. DE=EC-CD=3-1=2. 16.42 解析解析
16、由题意得 ADDE,BEDE, ADC=CEB=90 ,ACD+DAC=90 , ACB=90 ,ACD+BCE=90 , BCE=DAC, 在 ADC和 CEB中, ADCCEB(AAS),CD=BE,AD=CE, DE=CD+CE,DE=BE+AD, 一个长方体教具的高度为 6 cm, AD=24 cm,BE=18 cm, 两摞长方体教具之间的距离 DE的长=24+18=42(cm). 故答案为 42. 17.92 解析解析 在 AMK和 BKN中, AMKBKN,AKM=BNK, AKN=B+BNK, AKM+MKN=B+BNK, B=MKN=44 , P=180 -2 44 =92 .
17、故答案为 92 . 18.6 或或 12 解析解析 当 AP=CB=6时, 在 Rt ABC与 Rt QPA中, Rt ABCRt QPA(HL); 当点 P与点 C重合时,AP=AC=12, 在 Rt QAP与 Rt BCA中, Rt QAPRt BCA(HL). 综上所述,AP=6或 12. 19.解析解析 (1)证明:CFAB, ADF=F,A=ECF. 在 ADE和 CFE中, ADECFE(AAS). (2)ADECFE, AD=CF=4,BD=AB-AD=5-4=1. 20.解析解析 (1)分别作 DMOA,DNOB,垂足分别为 M、N,则 DM、DN的长分别为点 D到 OA、OB
18、的距离. (2)证明:OED+OFD=180 ,OED+MED=180 ,MED=NFD, DMOA,DNOB,DME=DNF=90 , 在 DME和 DNF中, DMEDNF(AAS),DM=DN, 点 D在AOB的平分线上, 即 OD平分AOB. 21.解析解析 (1)证明:EAFB,A=FBD, AB=CD,AB+BC=CD+BC,即 AC=BD, 在 EAC与 FBD中, EACFBD(SAS),E=F. (2)EACFBD,ECA=D=80 , A=40 , E=180 -40 -80 =60 . 22.解析解析 (1)证明:在 AED和 CEF中, AEDCEF(SAS), A=A
19、CF,CFAB. (2)CA平分BCF,ACB=ACF, A=ACF,A=ACB, A+ABC+ACB=180 ,ABC=50 , 2A=130 ,A=65 . 23.解析解析 (1)DE=BF,且 DEBF. 证明:DEAC,BFAC, DEC=BFA=90 ,DEBF, AE=CF,AE+EF=CF+EF,即 AF=CE, 在 Rt ABF和 Rt CDE中, Rt ABFRt CDE(HL),DE=BF. (2)证明:在 DEM和 BFM中, DEMBFM(AAS),MB=MD. 24.解析解析 (1)EF=BE+DF. 证明:在 ABE和 ADG中, ABEADG(SAS),AE=AG
20、,BAE=DAG, BAD=120 ,EAF=60 ,EAF= BAD, GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF, 在 AEF和 AGF中, AEFAGF(SAS),EF=FG, FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF. (2)结论 EF=BE+DF仍然成立. 理由:如图,延长 FD到点 G,使 DG=BE,连接 AG, B+ADF=180 ,ADF+ADG=180 ,B=ADG, 在 ABE和 ADG 中, ABEADG(SAS),AE=AG,BAE=DAG, EAF= BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF, 在 AEF和 AGF中, AEFAGF(SAS),EF=FG, FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF.
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