1、 第十三章第十三章轴对称轴对称 一、选择题一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下图是天气预报中的图形,其中是轴对称图形的为( ) A B C D 2.如图,在ABC中,BAC=75 ,ACB=35 ,AC=8,ABC的平分线 BD交边 AC于点 D,则 AD+BD的长为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 3.(2020 湖南益阳中考)如图,在ABC中,AC的垂直平分线交 AB于点 D,交 AC于点 E,CD平分ACB,若A=50 ,则B的度数为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 4.(2021 河北石家庄二十八中期中)如图,ABC中,点 D在 AC上,连接 BD,
2、ABD= 2DBC,ADB=2C,DBC=A,则图中共有等腰三角形( ) A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3个 5.如图,在棋盘中建立直角坐标系 xOy,现将 A,O,B三颗棋子分别放置在(-2,2),(0,0), (1,0)处.如果在其他格点位置添加一颗棋子 P,使四颗棋子 A,O,B,P成为轴对称图形,则满足条件的棋子 P的位置的坐标不正确的是( ) A.(-2,3) B.(-3,2) C.(-2,-2) D.(0,-1) 6.(2020 湖北宜昌中考)如图,点 E,F,G,Q,H在一条直线上,且 EF=GH,我们知道按如图所作的直线 l为线段 FG的垂直平分线.下列说法正确的是(
3、) A.l 是线段 EH的垂直平分线 B.l是线段 EQ的垂直平分线 C.l是线段 FH的垂直平分线 D.EH是 l 的垂直平分线 7.(2020 山东济南期末)如图,在ABC中,C=90 ,A=15 ,DBC=60 ,BC=1,则 AD的长为( ) A.1.5 B.2 C.3 D.4 8.如图,在ABC中,AB=AC,C=70 ,AFG与ABC关于直线 DE成轴对称,CAE= 10 ,连接 BF,则ABF的度数是( ) A.30 B.35 C.40 D.45 第 8 题图 第 9 题图 9.如图,在钝角三角形 ABC中,ABC为钝角,以点 B为圆心,AB的长为半径画弧,再以点 C为圆心,AC
4、的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 AD,与 CB的延长线交于点 E.下列结论错误的是( ) A.CE垂直平分 AD B.CE平分ACD C.ABD是等腰三角形 D.ACD是等边三角形 10.(2021 河南郑州模拟)如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点 O,过点 O作 EFBC交 AB于 E,交 AC 于 F,过点 O作 ODAC于 D,下列选项中结论错误的是( ) A.EF=BE+CF B.BOC=90 + A C.点 O到ABC各边的距离相等 D.设 OD=m,AE+AF=n,则 SAEF=mn 二、填空题二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.(2021 山东淄
5、博中考)在直角坐标系中,点 A(3,2)关于 x轴的对称点为 A1,将点 A1向左平移 3 个单位得到点 A2,则点 A2的坐标为 . 12.如图,在 3 3 的方格图中,将其中一个小方格涂阴影,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有 个. 13.(2022 黑龙江齐齐哈尔三中期中)如图,将ABC折叠,使点 A与 BC边中点 D重合,折痕为 MN,若AB=9,BC=6,则DNB的周长为 . 14.(2019 湖南永州中考)已知AOB=60 ,OC是AOB的平分线,点 D为 OC上一点,过 D作直线DEOA,垂足为点 E,且直线 DE交 OB 于点 F,如图所示.若 DE=2,则 DF=
6、. 15.(2021 江苏苏州中考)如图,在 RtABC中,C=90 ,AF=EF.若CFE=72 ,则B= . 16.(2022 安徽芜湖一中期末)如图,已知点 D、E分别是等边三角形 ABC中 BC、AB边的中点,AD=6,点 F是线段 AD上的动点,则 BF+EF的最小值为 . 17.如图,已知 D为等边三角形纸片 ABC的边 AB上的点,过点 D作 DGBC交 AC于点 G,DEBC于点 E,过点 G作 GFBC于点 F.把三角形纸片 ABC分别沿 DG,DE,GF 按如图所示的方式折叠,则图中阴影部分是 三角形. 18.(2021 四川绵阳模拟)如图,BOC=60 ,点 A是 OB的
7、反向延长线上的一点,OA=10 cm,动点 P从点 A出发沿 AB以 2 cm/s 的速度移动,动点 Q从点 O出发沿 OC以 1 cm/s 的速度移动,如果点 P、Q同时出发,用 t(s)表示移动的时间,当 t= 时,POQ是等腰三角形. 三、解答题三、解答题(共 46分) 19.(2019 广西中考)(6 分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点坐标分别是 A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3). (1)将ABC向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1,请画出A1B1C1; (2)请画出与ABC关于 y轴对称的A2B2C2; (3)请写出 A1、A2的坐标. 20.(6
8、分)如图,四边形 ABCD中,AD=4,BC=1,A=30 ,B=90 ,ADC=120 ,求 CD的长. 21.(2022 浙江温州期末)(8分)如图,在ABC中,AB=AC,点 E,F在边 BC上,BE1),连接 BC,以线段 BC为边在第四象限内作等边三角形CBD,连接 DA并延长,交 y轴于点 E. (1)求证:OC=AD; (2)在点 C的运动过程中,CAD的度数是否会变化?如果不变,请求出CAD的度数;如果改变,请说明理由; (3)当点 C运动到什么位置时,以 A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形? 答案全解全析答案全解全析 1.C 根据轴对称图形的定义可知,选项 A中的图形不是轴
9、对称图形,选项 B中的图形不是轴对称图形,选项 C中的图形是轴对称图形,选项 D中的图形不是轴对称图形.故选 C. 2.B 在ABC中,BAC=75 ,ACB=35 , ABC=180 -BAC-ACB=70 , BD平分ABC,DBC= ABC=35 , DBC=ACB,BD=CD, AD+BD=AD+CD=AC=8.故选 B. 3.B DE垂直平分 AC, AD=CD,ACD=A=50 , 又CD平分ACB,ACB=2ACD=100 , B=180 -A-ACB=180 -50 -100 =30 , 故选 B. 4.D 图中共有等腰三角形 3 个. ADB=C+DBC,ADB=2C, DB
10、C=C,BCD是等腰三角形, ABD=2DBC,ABD=ADB, ABD是等腰三角形, DBC=A,A=C, ABC是等腰三角形,故选 D. 5.B 满足条件的点 P的位置如图所示,点 P的坐标为(-2,3)或(3,2)或(-2,-2)或(0, -1),故选 B. 6.A 设直线 l 与 FG交于点 O(图略), 直线 l 为线段 FG的垂直平分线, FO=GO,lFG, EF=GH,EF+FO=GH+OG,即 EO=OH, l 为线段 EH的垂直平分线,故选项 A正确; EOOQ,l 不是线段 EQ的垂直平分线,故选项 B错误; FOOH,l 不是线段 FH的垂直平分线,故选项 C错误; l
11、 为直线,直线没有垂直平分线,EH不能平分直线 l,故选项 D错误.故选 A. 7.B DBC=60 ,C=90 , BDC=90 -60 =30 ,BD=2BC=2 1=2, C=90 ,A=15 ,ABC=90 -15 =75 , ABD=ABC-DBC=75 -60 =15 , ABD=A,AD=BD=2.故选 B. 8.C AFG与ABC关于直线 DE成轴对称,AFGABC,GAE=CAE=10 ,GAF=CAB,AB=AF, AB=AC,C=70 ,ABC=ACB=70 ,GAF=BAC=40 , BAF=40 +10 +10 +40 =100 ,AB=AF,ABF=AFB=40 .
12、故选 C. 9.D 由题意可得 CA=CD,BA=BD,直线 CB是 AD的垂直平分线,即 CE垂直平分 AD,故 A选项结论正确;AC=DC,CEAD,ACE=DCE,即 CE平分ACD,故 B选项结论正确;DB=AB,ABD是等腰三角形,故 C选项结论正确;AD与 AC不一定相等,ACD不一定是等边三角形,故 D选项结论错误.故选 D. 10.D 在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点 O, OBC=OBE,OCB=OCF, EFBC,OBC=EOB,OCB=FOC, EOB=OBE,FOC=OCF, BE=OE,CF=OF,EF=OE+OF=BE+CF, 故 A选项结论正确; 在AB
13、C中,ABC和ACB的平分线相交于点 O,OBC= ABC,OCB= ACB, OBC+OCB= ABC+ ACB= (180 -A)=90 - A,BOC=180 -(OBC+OCB)=90 + A,故 B选项结论正确; 过点 O作 OMAB于 M,ONBC于 N,连接 OA,如图, 在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点 O,ON=OD=OM,点 O到ABC各边的距离相等,故 C选项结论正确; OD=m,ON=OD=OM=m,SAEF=SAOE+SAOF= AE OM+ AF OD= OD (AE+AF)= mn,故 D选项结论错误.故选 D. 11.(0,-2) 解析解析 点 A(3
14、,2)关于 x 轴的对称点为 A1, A1(3,-2), 将点 A1向左平移 3 个单位得到点 A2, 点 A2的坐标为(0,-2). 12.3 解析解析 将其中一个小方格涂阴影,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形有 3 个,如图. 13.12 解析解析 D为 BC的中点,且 BC=6,BD= BC=3, 由折叠的性质知 NA=ND,则DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=9+3=12. 14.4 解析解析 过点 D作 DMOB,垂足为 M,如图所示. OC是AOB的平分线,DEOA,DM=DE=2. 在 RtOEF中,OEF=90 ,EOF=60 , OFE=3
15、0 ,即DFM=30 . 在 RtDMF中,DMF=90 ,DFM=30 , DF=2DM=4.故答案为 4. 15.54 解析解析 AF=EF,A=AEF, A+AEF=CFE=72 ,A= 72 =36 , 在 RtABC中,C=90 ,B=90 -36 =54 . 16.6 解析解析 如图,连接 CE交 AD于点 F,连接 BF, ABC是等边三角形,BF=CF, BF+EF=CF+EF=CE, 此时 BF+EF的值最小,最小值为 CE的长, D、E分别是ABC中 BC、AB边的中点, AD=CE, AD=6,CE=6, BF+EF的最小值为 6. 17.等边等边 解析解析 三角形 AB
16、C为等边三角形, A=B=C=60 , 根据题意知点 B和点 C经过折叠后分别落在了点 I和点 H处, DIH=B=60 ,GHI=C=60 , HJI=60 , DIH=GHI=HJI, 阴影部分是等边三角形,故答案为等边. 18. 或或 10 解析解析 分情况讨论:当点 P在 OA上时,如图所示,POQ是等腰三角形,PO=QO; PO=AO-AP=(10-2t)cm,OQ=t cm, 10-2t=t,解得 t= . 当点 P在射线 OB上时,如图所示,POQ是等腰三角形. BOC=60 ,等腰POQ是等边三角形, PO=QO. PO=AP-AO=(2t-10)cm,OQ=t cm, 2t-
17、10=t,解得 t=10. 故当 t= 或 t=10 时,POQ是等腰三角形. 19.解析解析 (1)如图所示,A1B1C1即为所求. (2)如图所示,A2B2C2即为所求. (3)A1(2,3),A2(-2,-1). 20.解析解析 如图,延长 AD交 BC的延长线于点 E. A=30 ,B=90 ,E=60 ,AE=2BE, ADC=120 ,EDC=60 , EDC是等边三角形. 设 CD=CE=DE=x, AD=4,BC=1,AE=x+4,BE=x+1, 2(x+1)=x+4,解得 x=2,CD=2. 21.证明证明 (1)AB=AC,ABE=ACF, 在ABE和ACF中, ABEAC
18、F(SAS). (2)ABEACF,CAF=BAE=30 , AD=AC,ADC=ACD=75 , BAD=ADC,ABCD. 22.解析解析 (1)证明:AB=AC,ABC=ACB, 在DBE和ECF中, DBEECF(SAS),DE=EF, DEF是等腰三角形. (2)DBEECF, BDE=CEF,BED=CFE, A+B+C=180 ,A=44 , B= (180 -44 )=68 , BDE+BED=112 ,BED+CEF=112 , DEF=180 -112 =68 . 23.解析解析 (1)当A为顶角时,B= (180 -80 )=50 , 当A为底角时,若B为顶角,则B=18
19、0 -80 -80 =20 , 若B为底角,则B=A=80 , B的度数为 50 或 20 或 80 . (2)分两种情况: 当 90 x180时,A只能为顶角, B的度数只有一个. 当 0 x90 时, 若A为顶角,则B=( - ) , 若A为底角,则B=x 或B=(180-2x) , 当 - 180-2x 且 - x 且 180-2xx,即 x60 时,B有三个不同的度数. 综上,当 0 x90 且 x60 时,B有三个不同的度数. 24.解析解析 (1)证明:AOB,CBD都是等边三角形, OB=AB,CB=DB,ABO=DBC=60 , OBA+ABC=CBD+ABC, 即OBC=AB
20、D, 在OBC和ABD中, OBCABD(SAS), OC=AD. (2)点 C在运动过程中,CAD的度数不会发生变化.理由如下: AOB是等边三角形, BOA=OAB=60 , OBCABD, BAD=BOC=60 , CAD=180 -OAB-BAD=60 . (3)OAB=BAD=60 , OAE=180 -60 -60 =60 , EAC=120 ,OEA=30 , 以 A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,AE和 AC是腰, A(1,0),OA=1, OEA=30 ,AE=2OA=2, AC=AE=2,OC=OA+AC=1+2=3, 当点 C的坐标为(3,0)时,以 A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形.
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