1、2021-2022学年山东省德州市陵城区九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A. y（x+1）2x2B. yax2+bx+cC. y3x21D. y3x12. 下列新冠疫情防控标识图案中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果ACD36，那么BAD等于（ ）A. 36B. 44C. 54D. 564. 直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个5. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心
2、，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）A. 柱子的高度为B. 喷出的水流距柱子处达到最大高度C. 喷出的水流距水平面的最大高度是D. 水池半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外6. 如图，四边形内接于圆，过点作于点，若，则的长度为( )A. B. C. D. 不能确定7. 如图，在ABC中，CAB30，将ABC在平面内绕点A逆时针旋转到ABC的位置，且CCAB，则旋转角的度数为（）A. 100B. 120C. 110D. 1308. 若P的
3、半径为4，圆心P的坐标为（-3，4），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（ ）A. 在P内B. 在P上C. 在P外D. 无法确定9. 如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD8cm，AE2cm，则OFC的面积是（）A. 40cm2B. 20cm2C. 10cm2D. 5cm210. 已知二次函数y+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程x2+bx+c+d0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）A. 5B. 7C. 12D. 711. 如图，AB是O的直径，弦MNAB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D以下结论：ACBD；若
4、四边形MCDN是正方形，则MNAB；若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A. B. C. D. 12. 二次函数图象一部分如图所示，顶点坐标为，与x轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：；若、为函数图象上的两点，则；当-30时方程有实数根，则t的取值范围是，其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）13. 若y（m4）x|m|22x1是关于x的二次函数，则m_14. 若点A（2m1，2n+5）与点B（4m，1+m）关于原点O对称，则m_，n_15. 在平面直角坐标系中，已知A（1，m）和B（5，m）是抛
5、物线yx2bx1上的两点，b_；m_；将抛物线yx2bx1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_16. 如图，ABC90，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_度时与O相切17. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，点M在CD边上，且DM=2，AEM与ADM关于AM所在直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，连接EF，则线段EF的长为_18. 如图，P是抛物线yx22x3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为_三、解答题（7小题，
6、共78分）19. 已知抛物线C：y（xm）2+m+1（1）若抛物线C顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积20. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（1，1）（1）画出ABC向上平移4个单位长度得到的A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出A1B1C1绕原点O顺时针旋转90得到的A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标21. 如图，ABAC，AB为O的直径，AC、BC分别交O于点E、D，连接ED、BE（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；（2）如果BD2，AE2，求O的直径2
7、2. 如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C在AD上.（1）指出旋转中心；（2）若，求出旋转的度数；（3）若，则AE的长是多少？为什么？23. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1ax2+2x+c，y2cx2+2x+a（a，c是实数且ac0）（1）若函数y1对称轴是直线x1且函数y1的图象经过点（0，3），求函数y1的表达式（2）在（1）的条件下，当1x0时，y2的取值范围（3）设函数y1和函数y2最大值分别为m和n若m+n0，探究实数a，c满足的关系式24. 国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元
8、，每天的销量就减少10件设销售单价为x（元/件）（x24），每天销售利润为y（元）（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润25. 如图，抛物线yax2经过ABC的三个顶点，点A坐标为（1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）点F为线段AC上一动点，过F作FEx轴，FGy轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标2021-2022学年山东省德州市陵城区九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题4分
9、，共48分）1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A. y（x+1）2x2B. yax2+bx+cC. y3x21D. y3x1【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义和概念 一般地，把形如（）（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项【详解】A. y（x+1）2x2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；B. yax2+bx+c（），故该选项不正确，不符合题意；C. y3x21，是二次函数，故该选项正确，符合题意； D. y3x1，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二
10、次函数的定义是解题的关键2. 下列新冠疫情防控标识图案中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：A【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合3. 如图，AB是O的直径，CD是O的
11、弦，如果ACD36，那么BAD等于（ ）A. 36B. 44C. 54D. 56【答案】C【解析】【分析】根据题意由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB=90，又由ACD=36，可求得ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案【详解】解：AB是O的直径，ADB=90，ACD=36，ABD=36BAD=90-ABD=54，故选：C【点睛】本题考查圆周角定理注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用4. 直线经过第一、三、四象限，则抛物线与轴的交点个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个【答案】A
12、【解析】【分析】由直线y=x+2m经过第一，三、四象限可得，2m0，再由=22-4（1-m）=4m0，可判断抛物线与x轴无交点【详解】解：直线y=x+2m经过第一，三、四象限，2m0，又由抛物线y=x2+2x+1-m的解析式可知，=22-4（1-m）=4m0，抛物线与x轴无交点故选：A【点睛】本题主要考查一次函数的性质，二次函数图象与x轴交点的个数问题；熟记一次函数过象限时k，b的正负，并了解如何判断抛物线与x轴交点个数是解题基础5. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平
13、面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）A. 柱子的高度为B. 喷出的水流距柱子处达到最大高度C. 喷出的水流距水平面的最大高度是D. 水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外【答案】C【解析】【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题【详解】解：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C【点睛】本题考查二次函数的应
14、用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答6. 如图，四边形内接于圆，过点作于点，若，则的长度为( )A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可【详解】四边形ABCD内接于O，BCD=135，A=180-145=45，BHAD，AB=4，BH=，故选B【点睛】本题考查了圆内接四边形及勾股定理的知识，解题的关键是从题目中得到等腰直角三角形，难道不大7. 如图，在ABC中，CAB30，将ABC在平面内绕点A逆时针旋转到ABC的位置，且CCAB，则旋转角的度数为（）A. 1
15、00B. 120C. 110D. 130【答案】B【解析】【分析】先根据旋转的性质得AC=AC，CAC为旋转角，再利用平行线的性质得ACC=CAB=30，再根据等腰三角形的性质得ACC=ACC=30，然后根据三角形的内角和计算出CAC的度数，从而得到旋转角的度数【详解】ABC在平面内绕点A逆时针旋转到ABC的位置，AC=AC，CAC为旋转角，CCAB，ACC=CAB=30，AC=AC，ACC=ACC=30，CAC=180-30-30=120，旋转角的度数为120故选B【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等8. 若
16、P的半径为4，圆心P的坐标为（-3，4），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（ ）A. 在P内B. 在P上C. 在P外D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系【详解】由勾股定理得：OP2=32+42=25，OP=5圆O的半径为4，点O在圆P外故选：C【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键9. 如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD8cm，AE2cm，则OFC的面积是（）A. 40cm2B. 20cm2C. 10cm2D. 5cm2【答案】D【解
17、析】【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则，由此求解即可【详解】解：连接OB，AC是O的直径，弦BDAO于E，BD=8cm，AE=2cm，在RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3cm，OB=OC，OFBC，BF=CF，故选D【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理10. 已知二次函数y+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程x2+bx+c+d0有两个根，其中一个根是6，则d的值为
18、（ ）A. 5B. 7C. 12D. 7【答案】B【解析】【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可【详解】二次函数y+bx+c的图象经过（1，0）与（5，0）两点，解得：，将b4，c5代入方程+bx+c+d0，得：+4x+5+d0，又关于x的方程+4x+5+d0有两个根，其中一个根是6，把x6代入方程+4x+5+d0，得：36+46+5+d0，解得：d7，经验证d7时，0，符合题意，d7故选：B【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题
19、的关键11. 如图，AB是O的直径，弦MNAB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D以下结论：ACBD；若四边形MCDN是正方形，则MNAB；若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明RtOCMRtODN得到OC=OD，COM=DON，即可判断；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，则CM=2OC，即可判断；若M是的中点，可得AOM=MON=BON=60，则ONB是等边三角形，即可判断【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，MCAB，NDAB，OCM=
20、ODN=90，MNAB，CMN+MCD=180，CMN=90，四边形CMND是矩形， CM=DN，又OM=ON，RtOCMRtODN（HL），OC=OD，COM=DON，OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，OC=OD，CM=2OC，故错误；若M是的中点，AOM=MON=BON=60，ON=OB，ONB是等边三角形，NDOB，OD=BD，故正确，故选B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识12. 二次函数图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与x轴的
21、一个交点的坐标为，给出以下结论：；若、为函数图象上的两点，则；当-30时方程有实数根，则t的取值范围是，其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】函数的对称轴在轴左侧，故，而，故正确，符合题意；由图像可以看出时，正确，符合题意；若、为函数图象上的两点，函数的对称轴为，点比点离对称轴近，故正确，符合题意；当-30时方程有实数根，即与有交点，故则的取值范围是正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查图像
22、与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解答本题的关键二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）13. 若y（m4）x|m|22x1是关于x的二次函数，则m_【答案】4【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案【详解】解：y（m4）x|m|22x1是关于x的二次函数，|m|22，m40，解得：m4 故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的定义二次函数的定义：一般地，形如yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y
23、ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式14. 若点A（2m1，2n+5）与点B（4m，1+m）关于原点O对称，则m_，n_【答案】 . -3 . #-1.5【解析】【分析】根据关于原点对称的两点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数进行求解即可【详解】解：点A（2m1，2n+5）与点B（4m，1+m）关于原点O对称，故答案为：；【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握两个点关于原点对称，横纵坐标都互为相反数15. 在平面直角坐标系中，已知A（1，m）和B（5，m）是抛物线yx2bx1上的两点，b_；m_；将抛物线yx2
24、bx1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_【答案】 . -4 . 6 . 4【解析】【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x2，则2，解得b4，再把（1，m）代入yx24x1中求出m的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n个单位后的解析式为yx24x1n，根据判别式的意义得到（4）24（1n）0，然后解不等式后可确定n的最小值【详解】解：A（1，m）和B（5，m）是抛物线yx2bx1上的两点，点A和点B为抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为直线x2，即2，解得b4，抛物线解析式为yx24x1，把（1，m）代入得m1416；抛
25、物线向上平移n个单位后的解析式为yx24x1n，抛物线yx24x1n与x轴没有交点，（4）24（1n）0，解得n3，n是正整数，n的最小值为4.故答案为4，6；4【点睛】本题考查了二次函数图象和性质以及抛物线的平移，解题关键是熟练运用二次函数知识，求出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决问题16. 如图，ABC90，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_度时与O相切【答案】60或120#120或60【解析】【分析】由于半径是，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是BO长的一半，即为圆的切
26、线，由此即可得到答案【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作ODBE于D，在直角三角形BOD中，DBO=ABD-ABE=30，即OD为圆O的半径，BE与圆O相切，同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线，故答案为：60或120【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件17. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，点M在CD边上，且DM=2，AEM与ADM关于AM所在直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，连接EF，则线段EF的长为_【答案】10【解析】【分析】
27、连接BM先判定FAEMAB（SAS），即可得到EFBM再根据BCCDAB8，CM6，利用勾股定理即可得到，RtBCM中，BM10，进而得出EF的长【详解】解：如图，连接BMAEM与ADM关于AM所在的直线对称，AEAD，MADMAEADM按照顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，AFAM，FABMAD，FABMAE，FABBAEBAEMAE，FAEMAB，FAEMAB（SAS）EFBM四边形ABCD是正方形，BCCDAB8DM2，CM6在RtBCM中，BM，EF10，故答案为：10【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与
28、旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等18. 如图，P是抛物线yx22x3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为_【答案】【解析】【分析】设P（x，x22x3）（0x3），根据矩形的周长公式得到C2根据二次函数的性质来求最值即可【详解】解：yx22x3，当y0时，x22x3=0即（x+1）（x-3）0，解得x-1或x3故设P（x，y），设P（x，x22x-3）（0x3），过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，四边形OAPB为矩形，四边形OAPB周长C2PA+2OA2（x22x3）+2x2x2+6x+62（x23
29、x）+6，2+当x时，四边形OAPB周长有最大值，最大值故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质三、解答题（7小题，共78分）19. 已知抛物线C：y（xm）2+m+1（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3【解析】【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求
30、解面积即可【详解】解：（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为（，），抛物线的顶点坐标在第二象限，；（2）当时，抛物线解析式为，令，即，解得或，令，如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），OD=3，AB=2，抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识20. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（1，1）（1）画出ABC向上平移4个单位长度得到的A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出A1
31、B1C1绕原点O顺时针旋转90得到的A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标【答案】（1）见解析；点B1的坐标为（-1，3）；（2）见解析；点B2的坐标为（3，1）【解析】【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可得到答案；（2）根据关于原点旋转90度的作图方法和点的坐标特点进行求解即可【详解】解：（1）三角形ABC向上平移4个单位得到三角形，B（-1，-1），的坐标为（-1，3），如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；是绕原点顺时针旋转90度得到，（-1，3），的坐标为（3，1）【点睛】本题主要考查了旋转作图和平移作图，解题的关键在于能够熟练掌握根据平移方式确定点的坐标以及绕原点旋
32、转90度的点的坐标特征21. 如图，ABAC，AB为O的直径，AC、BC分别交O于点E、D，连接ED、BE（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；（2）如果BD2，AE2，求O直径【答案】（1），证明见详解；（2）O的直径为8【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角可得，根据等腰三角形三线合一性质可得到，即可得解；（2）根据已知条件求出BC，再根据勾股定理建构方程求解即可得解；【详解】解：（1），证明：连接，AB为O的直径，ADB=90，即，在中，AB=AC， BD=DC，（等腰三角形三线合一），；DE=DC；（2），设，AB为O的直径，AEB=90，在RtAEB中，BE=，在RtC
33、EB中，=即整理得因式分解得解得（舍去），O的直径为8【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，是解题的关键22. 如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C在AD上.（1）指出旋转中心；（2）若，求出旋转的度数；（3）若，则AE的长是多少？为什么？【答案】（1）A;（2）；（3）2【解析】【分析】（1）中心为点A（2）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出：CAE=BAD=180-B-ACB=150，从而确定旋
34、转中心和旋转角度；（2）利用周角的定义可求出BAE=360-1502=60，全等的性质可知AE= AB=2cm【详解】解：（1）中心为点A（2），旋转的度数为（3）由旋转性质知：，【点睛】本题考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题关键.23. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1ax2+2x+c，y2cx2+2x+a（a，c实数且ac0）（1）若函数y1的对称轴是直线x1且函数y1的图象经过点（0，3），求函数y1的表达式（2）在（1）的条件下，当1x0时，y2的取值范围（3）设函数y1和函数y2的最大值分别为m和n若m+n0，探究实数a，c满足的关系式【答案】（1）；（2）y2取值范围为；（3）a
35、c=1【解析】【分析】（1）先根据抛物线对称轴公式求出a的值，然后根据函数经过点（0，3）即可求出c，由此即可得到答案；（2）根据（1）所求得到，再利用二次函数的性质求解即可；（3）先根据题意得到， ，由，得到，由此求解即可【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线，点（0，3）在二次函数图像上，函数的表达式为；（2）由（1）得，当时，有最小值，最小值为，当时，当时，当时，；（3）函数，有最大值， ，【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数顶点坐标与系数之间的关系24. 国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件
36、，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件设销售单价为x（元/件）（x24），每天销售利润为y（元）（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润【答案】（1）；（2）此时的销售单价为30元或34元；（3）该商场每天销售此商品的最大利润为1440元【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及题意可得，进而求解方程即可；（3）由可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可求解【详解】解：（1）由题意得：y与x的函数
37、关系式为：；故答案为；（2）由题意得：，解得：；答：此时的销售单价为30元或34元（3）由可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，每件小商品的售价不超过36元，当时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440；答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及一元二次方程的求解是解题的关键25. 如图，抛物线yax2经过ABC的三个顶点，点A坐标为（1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）点F为线段AC上一动点，过F作FEx轴，FGy轴，垂足分别为E、G，当四边形OE
38、FG为正方形时，求出F点的坐标【答案】（1）yx2；（2）点F的坐标为（1，1）【解析】【分析】（1）运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去【详解】解：（1）抛物线y=ax2经过ABC的三个顶点，点A坐标为（1，2），2=a，a，抛物线的函数关系表达式为y；（2）当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，0，解得：，点C的坐标为（3，0）设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，直线AC的解析式为y，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），点F（p，p）在直线y上，p，解得p=1，点F的坐标为（1，1）当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去综上所述：点F的坐标为（1，1）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质，正方形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意
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