1、 第一章特殊的平行四边形第一章特殊的平行四边形 一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题） 1如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，BC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AC 于点 E、F，连接 DF，若BCD70，则ADF 的度数是（ ） A60 B75 C80 D110 2已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD从中选择两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A选 B选 C选 D选 3下列判断错误的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四
2、边形是矩形 C两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D四条边都相等的四边形是菱形 4 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 是矩形， OA6， 将ABC 沿直线 AC 翻折， 使点 B 落在点 D 处，AD 交 x 轴于点 E，若BAC30，则点 D 的坐标为（ ） A B C D 5菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ） A对角线互相平分 B四条边都相等 C对角相等 D对边平行 6如图，正方形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，F 是 AB 上的任意一点，过点 F 分别作 FEBD、FGAC， FE 交 AD 于 E 点，FG 交 BC 于 G 点则下列结论错误的是（
3、） ABD 垂直平分 FFGACG BEF+FGAC CAFE 是等腰直角三角形 DGC+FGAC 7如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 O 为正方形的中心，点 G 为 AB 边上一动点，直线 GO 交 CD于点 H，过点 D 作 DEGO，垂足为点 E，连接 CE，则 CE 的最小值为（ ） A2 B4 C D1 8如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，若 EF6，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A48 B36 C24 D18 9如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：B
4、EDF；DAF15，AC 垂直平分 EF，其中正确结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 10如图，RtABCRtDCB，其中ABC90，AB3，BC4，O 为 BC 中点，EF 过点交 AC、BD 于点 E、F，连接 BE、CF，则下列结论错误的是（ ） A四边形 BECF 为平行四边形 B当 BF3.5 时，四边形 BECF 为矩形 C当 BF2.5 时，四边形 BECF 为菱形 D四边形 BECF 不可能为正方形 11 如图， 将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中， O 是原点， 点 A 的坐标为 （1，） ， 则点 C 的坐标为 （ ） A（，1） B（1，） C（，1） D（，1
5、） 12如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，若CAE15，则BOE 的度数为（ ） A60 B75 C72 D90 二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题） 13 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 F 为 CD 上一点， BF 与 AC 交于点 E 若CBF18， 则AED 等于 度 14 如图， 正方形 ABCD 的面积等于 36cm2， 正方形 DEFG 的面积等于 16cm2， 则阴影部分的面积 S cm2 15如图，矩形 ABCD 中，AB2，BD4，对角线 AC、BD 交于点 O，AEBD，则 AD ，AE 16如图，
6、在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，C 的坐标分别为（3，3） ， （1，1） ，对角线 BD交 AC 于点 M，交 x 轴于点 N若 BN2ND，则点 D 的坐标为 17如图，正方形 ABCD 边长为 4，E 为 CD 边中点，P 为射线 BE 上一点（点 P 不与点 B 重合） ，若PDC 为直角三角形，则 BP 的长是 18在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为（2，1） 、 （2，3） 、 （2，1） ，则其第四个顶点的坐标为 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 19如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AFDE，且 A
7、FDE，AF 与 DE 相交于点 G （1）求证：矩形 ABCD 为正方形： （2）若 AE：EB2：1，AEG 的面积为 4，求四边形 BEGF 的面积 20如图，在 ABCD 中，E、F 分别是边 BC，AD 的中点，AC 是对角线，过点 D 作 DPAC，交 BA 的延长线于点 P，P90求证：四边形 AECF 是菱形 21已知：在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作 EFBD，分别交 AB，DC 于点 E，F，连接 BF，DE （1）如图 1，求证：四边形 DEBF 是菱形； （2）如图 2，ADEF，且 ADAE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图
8、2 中四个度数为 30的角 22如图，在平行四边形 ABCD 中，点 P 是 AB 边上一点（不与 A，B 重合） ，CPCD，过点 P 作 PQCP，交AD 边于点 Q，连结 CQ （1）若BPCAQP，求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）在（1）的条件下，当 AP4，AD12 时，求 AQ 的长 23如图，四边形 ABCD 为矩形，连接 BD，AB2AD，点 E 在 AB 边上，连接 ED （1）若ADE30，DE6，求BDE 的面积； （2）延长 CB 至点 F 使得 BF2AD，连接 FE 并延长交 AD 于点 M，过点 A 作 ANEM 于点 N，连接 BN，求证：FNAN+BN
9、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 1212 小题）小题） 1 【解答】解：连接 BF，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， DCFBCFBCD35，AC 垂直平分 BD，ADBC， BFDF， EF 是 BC 的垂直平分线， BFCF， DFCF， CDFDCF35， ADBC， ADC+BCD180， ADC18070110， ADF1103575， 故选：B 2 【解答】解：对于 A，由得四边形 ABCD 是菱形，由得进一步可知四边形 ABCD 是正方形，故 A 选项不符合题意； 对于 B，由可证得四边形 ABCD 是矩形，而矩形有对角线相等的性质，则结合
10、条件不能判断平行四边形 ABCD 是正方形，故 B 选项符合题意； 对于 C，由得四边形 ABCD 是菱形，结合可证得四边形 ABCD 是正方形，故 C 选项不符合题意； 对于 D，由可证得四边形 ABCD 是矩形，再结合对角线垂直的条件，可推出四边形 ABCD 是正方形，故 D 选项不符合题意 故选：B 3 【解答】解：A两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故 A 正确，不符合题意； B四个内角都相等的四边形是矩形，故 B 正确，不符合题意； C两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故 C 错误，符合题意； D四条边都相等的四边形是菱形，故 D 正确，不符合题意； 故选：C 4
11、【解答】解：过 D 点作 DFx 轴，垂足为 F，则 DFy 轴， 四边形 AOCB 为矩形， OABAOCB90，BCAO6，ABOC， BAC30， AC12，OCAB， 由折叠可知：DACBAC30，ADAB， OAE30， OE，AE， ED， DFy 轴， EDFEAO30， EF，DF3， OFOE+EF， D 点坐标为（，3） ， 故选：B 5 【解答】解：A因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以 A 选项不符合题意； B因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以 B 选项符合题意； C因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以 C 选项不符合题意； D因
12、为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意 故选：B 6 【解答】解：如图， A、由对角线 AC、BD 互相垂直平分且相等，FGAC，可以得出 FGAC，故命题正确； B、由 EFAM+CN，FGMN，可以得出 EF+FGAC，故命题正确； C、ABD 为等腰直角三角形，且 FEBD，可以得出AFE 是等腰直角三角形，故命题正确； D、由可知，AM+CNCG，因此 GC+FGAC 不正确，故命题错误 故选：D 7 【解答】解：如图，连接 OC，OD， DEGO， 点 E 在以 OD 为直径的圆上运动， 当 OD 中点 F，点 E，点 C 三点共线时，CE 有最小值， 正方形 ABCD 的边长为
13、 2， OCOD2， OF1， CF， CE 的最小值1， 故选：D 8 【解答】解：E、F 分别是 AB、AC 的中点， EF 是ABC 的中位线， BC2EF2612， 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD12， 菱形 ABCD 的周长41248， 故选：A 9 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，BBCDDBAD90， AEF 等边三角形， AEEFAF，EAF60， BAE+DAF30， 在 RtABE 和 RtADF 中， ， RtABERtADF（HL）， BEDF，BAEDAF， 故正确； BAE+DAF30， DAF+DAF30， 即DAF15，
14、 故正确； BCCD， BCBECDDF，即 CECF， RtABERtADF， AEAF， AC 垂直平分 EF， EGFG， 故正确； ECF90，EGFG， CGEF， 设 ECFCx，由勾股定理，得 EFx， CGEFxCE， 故正确； 综上所述，正确的有，共 4 个 故选：D 10 【解答】解：ABC90，AB3，BC4， AC5， RtABCRtDCB， ABCD3，ACBD5，BCEF4，AD，ACBCBD，ABCDCB90， O 为 BC 中点， BOCO， 在BOF 和COE 中， ， BOFCOE（ASA）， OFOE， 四边形 BECF 为平行四边形，故 A 选项不符合题
15、意； 当 BF3.5 时，若 BEAC， ， BE， ， BF3.5， CEBF， BF3.5 时，四边形 BECF 不是矩形， 故 B 选项符合题意， BF2.5， CE2.5， AEACCE2.5， E 为 AC 中点， BECE， 四边形 BECF 是平行四边形， 当 BF2.5 时，四边形 BECF 为菱形，故 C 选项不符合题意； 当 BF2.5 时，四边形 BECF 为菱形，此时BEC90， 四边形 BECF 不可能为正方形故 D 选项不符合题意 故选：B 11 【解答】解：如图所示，作 ADx 轴于 D，CEx 轴于 E，则OECADO90， 1+290， A 的坐标为（1，）
16、， AD，OD1， 四边形 OABC 是正方形， OAOC，AOC90， 1+390， 32， 在OCE 和AOD 中， ， OCEAOD（AAS）， OEAD，CEOD1， C（，1） 故选：A 12【解答】解：在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD， BAEEAD45，ADBC，OAOB， AEBEAD45， BEBA CAE15，BAE45， BAC60， 又OAOB， OAB 为等边三角形， BOBA， BOBE， BOEBEO， OAB 为等边三角形， ABO60， OBE906030， BOE（18030）275 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题） 13 【解
17、答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAEDAE45，ABC90 CBF18， ABE72， AEB180BAEABE180457263 AEAE，BAEDAE，ABAD， ABEADE（SAS）， AEDAEB63 故答案为：63 14 【解答】解：正方形 ABCD 的面积等于 36cm2，正方形 DEFG 的面积等于 16cm2， ABBCCD6cm，EFED4cm， SEFCEFCE4（4+6）20（cm2）， SABCABBC6618（cm2）， 阴影部分的面积 S S正方形 ABCD+S正方形 DEFGSEFCSABC 36+162018 14（cm2） ， 故答案为：1
18、4 15 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BAD90， 在 RtBAD 中，由勾股定理得：AD2， 在 RtBAD 中，AB2，BD4， ABBD， ADB30， AEBD， AED90， AEAD， 故答案为：2， 16 【解答】解：如图，过点 M 作 MFON 于 N，过点 D 作 DEx 轴于 E， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AMCM，BMDM， 点 A（3，3） ，C（1，1） ， M（1，1）， OF1，MF1， MON45OMF， FMN45FNM， MFFN1， MN， BN2ND， BD3DN，DMDN， MNDN， DN2， DEx 轴， EDNDNE45
19、， DEEN， DEEN2， EO4， 点 D（4，2） ， 故答案为： （4，2） 17 【解答】解：分三种情况： 如图 1，当DPC90时， E 是 CD 的中点，且 CD4， PECD2， 四边形 ABCD 是正方形， BC4，BCD90， BE， BP22； 如图 2，当DPC90时， 同理可得 BP2+2； 如图 3，当CDP90时， BCEEDP90，DECE，BECDEP， BCEPDE（ASA）， PEBE2， BP4， 综上，BP 的长是 22 或 2+2 或 4； 故答案为：22 或 2+2 或 4 18 【解答】解：如图，A（2，1） ，B（2，1） ，C（2，3） ，
20、四边形 ABCD 为长方形， D（2，3） 故答案为： （2，3） 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 19 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， DABB90， DEAF， DABAGD90， BAF+DAF90，ADE+DAF90， BAFADE， 在ABF 和DAE 中， ， ABFDAE（AAS）， ADAB， 四边形 ABCD 是矩形， 四边形 ABCD 是正方形； （2）解：ABFDAE， BFAE， AE：EB2：1， 设 AE2x，EBx， BFAE2x，AB3x， AFx， EAGFAB，AGEB90， AEGAFB， AEG 的面积：AFB 的面积A
21、E2：AF24x2：13x24：13， AEG 的面积为 4， AFB 的面积为 13， 四边形 BEGF 的面积1349 20 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CBAD，CBADABCD， E、F 分别是边 BC，AD 的中点， CECB，AFAD CEAF， 四边形 AFCE 是平行四边形， P90，ABCD，CBAD， 四边形 CDPA 是矩形， ACD90， 在 RtADB 中 F 为 AB 的中点， AFCFDF， 四边形 CFAE 是平行四边形， 四边形 CFAE 是菱形 21 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD， OBEODF， 在B
22、OE 和DOF 中， ， BOEDOF（ASA）， BEDF， BEDF， 四边形 DEBF 是平行四边形， EFBD， 四边形 DEBF 是菱形； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ADEF， 四边形 ADFE 是平行四边形， AEDF， 由（1）得：四边形 DEBF 是菱形， DEDFBE， ADDE， ADAE， ADAEDE， ADE 是等边三角形， AED60， DEBE， EDBEBDAED30， 同理：FDBFBD30， 即图 2 中四个度数为 30的角为EDB、EBD、FDB、FBD 22 【解答】 （1）证明：BPQBPC+CPQA+AQP，BPCAQP
23、， CPQA， PQCP， ACPQ90， 平行四边形 ABCD 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， DCPQ90， 在 RtCDQ 和 RtCPQ 中， ， RtCDQRtCPQ（HL）， DQPQ， 设 AQx，则 DQPQ12x， 在 RtAPQ 中，AQ2+AP2PQ2， x2+42（12x）2， 解得：， AQ 的长是 23【解答】解：（1）在 RtADE 中，EDA30， EAED63，cos30， DAEDcos3063， BE2DAEA63， SBEDBEDA（63）327； （2）过 B 作 BHBN，交 FN 于 H， NBHABF90， NBHABHABFABH， ABNHBF， ADBF， AMEF， MAEANM90， AMN+MANANE+NAE90， NABF， BF2AD，AB2AD， ABBF， 在FHB 与ANB， FHBANB（SAS）， BHBN，HFAN， HBN 是等腰直角三角形， NHNB， FNHF+HN， FNAN+BN
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