1、 第第 22 章章二次函数二次函数 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（ ） Ay3x Byx2+（3x）x Cy（x1）2 Dyax2+bx+c 2抛物线 y3（x4）2+1 的顶点坐标（ ） A（4，1） B（4，1） C（4，1） D（4，1） 3下列各函数中，y 随 x 的增大而减小的函数是（ ） A Byx Cyx2 Dyx2 4在平面直角坐标系中，将二次函数 y2x2的图象向左平移 5 个单位，所得图象的解析式为（ ） Ay2x25 By2x2+5 Cy2（x5）2 Dy2（x+5
2、）2 5抛物线 y2x24x+c 经过三点（3，y1） ， （1，y2） ， （2，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y3y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy1y3y2 6已知二次函数 yax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量） ，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，且当2x1时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 7 一次函数 yax+b （a0） 与二次函数 yax2+bx （a0） 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 8 已知二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值
3、如表： 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0的解是（ ） x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 m 3 Ax10，x22 Bx1x22 Cx1x20 D不能确定 9如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，1） ， （3，1） （3，3） ， （1，3） ，若抛物线 yax2的图象与正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A3a Ba3 Ca1 D1a 10如图为二次函数 yax2+bx+c 的图象，给出下列说法：a0；方程 ax2+bx+c0 的根为 x11，x23；a+b+c0；当 x1 时，y 随 x 值的增大而增大；当 y0 时，x1，或 x3其中，正确的说法有（ ）
4、A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11抛物线 yx2+2kx+2 与坐标轴交点的个数为 12抛物线 yx2+bx+c 的图象上有两点 A（1，m） ，B（5，m） ，则 b 的值为 13向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的函数表达式为 yax2+bx+c（a0） ，若此炮弹在第 6 秒与第 13 秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 秒 14已知二次函数 yx2+4x3，当 1xa 时，函数 y 的最小值为2，则 a 的值为 15 抛物线yax2+bx+c （a， b， c为常数） 的部
5、分图象如图所示， 设m4a2b+c， 则m的取值范围是 16如图，抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B、C 两点，B（1，0） ，C （3， 0） ， 连接 AC， 将线段 AC 向上平移落在 EF 处， 且 EF 恰好经过这个抛物线的顶点 D， 则四边形 ACFE的周长为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17 （6 分）已知函数 ykx2（2k+3）x+3k+1 （1）当 k1 时，求函数 ykx2（2k+3）x+3k+1 的顶点坐标，与 x 轴的交点坐标； （2）若当 x0 时，函数 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取
6、值范围 18 （7 分）已知二次函数 yx2+2x3 （1）用配方法把这个二次函数化成 ya（xh）2+k 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当4x0 时，结合图象直接写出 y 的取值范围 19 （7 分）如图，学校要用一段长为 32 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为 14 米 （1）若矩形 ABCD 的面积为 96 平方米，求矩形的边 AB 的长 （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 20 （7 分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件 8 元，在销售过程中发现，每天的销售量 y（件）与每件售价 x （元
7、） 之间存在一次函数关系 （其中 8x15， 且 x 为整数） 当每件消毒用品售价为 9 元时，每天的销售量为 105 件；当每件消毒用品售价为 11 元时，每天的销售量为 95 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利 w（元） ，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21 （8 分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 12m现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中 （1）求这条抛物线的解析式 （2）一艘宽为 4 米，高出水面 3 米的货船，能否从桥下通过？ 22 （8 分）如图，已知抛物
8、线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，且抛物线经过 A（1，0） ，C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B若点 P 是线段 BC 上的动点，过点 P 作直线 PMy 轴，交抛物线于点 M求线段 PM 的最大值 23 （9 分）如图，二次函数 yx2+4x+5 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，M 为抛物线的顶点 （1）求 M 点的坐标； （2）求MBC 的面积； （3）坐标轴上是否存在点 N，使得以 B，C，N 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 3
9、0 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：Ay 是 x 的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； Byx2+（3x）x x2+3xx2 3x，y 是 x 的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； Cy 是 x 的二次函数，故本选项符合题意； D当 a0 时，y 不是 x 的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 2解：y3（x4）2+1， 抛物线开口向下，顶点坐标为（4，1） ， 故选：D 3解：A、是一次函数，k0，y 随 x 的增大而增大，故该选项不符合题意； B、是一次函数，k10，y 随 x 的增大而减小，故该选项符合题意； C、是二次函数，开口向上，对称轴是 y 轴
10、，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项不符合题意； D、是二次函数，开口向下，对称轴是 y 轴，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项不符合题意 故选：B 4解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移 5 个单位，那么新抛物线的顶点为（5，0） ； 可设新抛物线的解析式为 y2（xh）2+k，代入得：y2（x+5）2 故选：D 5解：y2x24x+c， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x2， x2 时，y 随 x 增大而减小， y1y2y3 故选：B 6解：二次函数 yax2+2ax+3a2+3a（x+1）2+3a2a+3（其中 x 是自变量）， 该函数的对称轴为直线 x1
11、， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， a0， 又当2x1 时，y 的最大值为 9， x1 时，y9， 即 9a（1+1）2+3a2a+3， 解得，a12（舍去），a21， 由上可得，a 的值是 1， 故选：B 7解： 解得或 故二次函数 yax2+bx 与一次函数 yax+b（a0）在同一平面直角坐标系中的交点在 x 轴上或点（1，a+b） 故选：C 8解：函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c0 的根，函数 yax2+bx+c 的图象与 x轴的交点的纵坐标为 0 由表中数据可知：x1 和 x3 的函数值相同，都是 3， 二次函数 yax2+bx+c
12、 的对称轴为直线 x1， 点（0，0）的对称点为（2，0） ， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解是 x10，x22， 故选：A 9解：抛物线的解析式为 yax2， 当抛物线经过（1，3）时，a3， 当抛物线经过（3，1）时，a， 观察图象可知3a， 故选：A 10解：抛物线开口向上， a0，故错误； 由图可得，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（1，0） （3，0） 方程 ax2+bx+c0 的根为 x11，x23，故正确； 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（1，0） （3，0）， 抛物线对称轴为 x1 当 x1 时，ya+b+c0故错误；
13、抛物线对称轴是直线 x1， 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大， 即当 x1 时，y 随 x 的增大而增大故正确； 由图可知，当 y0 时，则抛物线在 x 轴上方的部分， 在对称轴的左侧对应的 x 值为，x1， 在对称轴右侧对应的 x 值为 x3 当 y0 时，x1，或 x3故正确 综上所述，正确的有 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11解：a1，b2k，c2， b24ac4k2+80， 抛物线 yx2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为 2， 抛物线 yx2+2kx+2 与 y 轴交点的个数为 1， 抛物线 yx2+
14、2kx+2 与坐标轴交点的个数为 3； 故答案为：3 12解：抛物线经过 A（1，m） ，B（5，m） ， 抛物线对称轴为直线 x3， 3， 解得 b6， 故答案为：6 13解：此炮弹在第 6 与第 13 秒时的高度相等， 抛物线的对称轴是：x9.5， 炮弹所在高度最高是第 9.5 秒， 故答案为：9.5 14解：yx2+4x3（x2）2+1， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，1） ， y1， 将 x1 代入 yx2+4x3 得 y02， xa 时，y2， 2a2+4a3， 解得 a2（舍）或 a2+ 故答案为：2+ 15解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴
15、左侧， 0， b0， 抛物线经过（0，2） ， c2， 抛物线经过（1，0） ， a+b+c0， a+b2，b2a， m4a2b+c4a2（2a）+（2）6a6， yax2+（2a）x2， 当 x2 时，y4a2（2a）+（2）6a6， b2a0， 0a2， 66a66， 故答案为：6m6 16解：抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 B（1，0）和 C（3，0） ， 抛物线解析式为 y（x+1） （x3） ， 即 yx2+2x+3； yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 D 的坐标为（1，4） ， 当 x0 时，yx2+2x+33，则 A（0，3） ， AC3， 设直线 AC 的解析式
16、为 ymx+n， 把 A（0，3） ，C（3，0）分别代入得， 解得， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 线段 AC 向上平移得到 EF， EFAC，EFAC， 四边形 ACFE 为平行四边形， 设直线 EF 的解析式为 yx+q， 把 D（1，4）代入得 41+q， 解得 q5， 直线 EF 的解析式为 yx+5， 当 x0 时，yx+55，则 E（0，5） ， AE532， 四边形 ACFE 的周长2（2+3）4+6 故答案为：4+6 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17解： （1）当 k1 时，yx25x+4（x）2， 抛物线顶点坐标为（，） ， 在
17、 yx25x+4 中，令 y0 得： x25x+40， 解得 x11，x24， 抛物线与 x 轴交点为（1，0） ， （4，0） ； （2）当 k0 时，y3x+1， 30， y 随 x 增大而减小， 当 x0 时，函数 y 随 x 的增大而减小成立； 当 k0 时， 当 x0 时，函数 ykx2（2k+3）x+3k+1 随 x 的增大而减小， 抛物线开口向下，对称轴是 y 轴或在 y 轴左侧， ， 解得k0， 综上所述，当 x0 时，函数 ykx2（2k+3）x+3k+1 随 x 的增大而减小，k 的范围是k0 18解：（1）yx2+2x3x2+2x+14（x+1）24， 即 y（x+1）2
18、4； （2）y（x+1）24， 顶点坐标为（1，4） ， 当 y0 时，x2+2x30， 解得：x11，x23， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0） ， （1，0） ， 当 x0 时，y3， 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，3） ， 二次函数的图象如图所示： （3）观察图象得，当 x1 时，y 取最小值4， 当 x4 时，y 取最大值，代入函数得，y（4）2+2（4）316835 当4x0 时，4y5 19解： （1）设 AB 为 x 米，则 BC（362x）米， 由题意得：x（322x）96， 解得：x14，x212， 墙长为 14 米，32 米的篱笆， 322x14，2x32， 9x
19、16， x12， AB12， 答：矩形的边 AB 的长为 12 米； （2）设 AB 为 x 米，矩形的面积为 y 平方米，则 BC（322x）米， yx（322x）2x2+32x2（x8）2+128， 9x16，且20，故抛物线开口向下， 当 x9 时，y 有最大值是 126， 答：AB 边的长应为 9 米时，有最大面积，且最大面积为 126 平方米 20解： （1）设每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）函数关系式为：ykx+b， 由题意可知：， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为：y5x+150； （2）wy（x8） （5x+150） （x8） 5x2+190 x1200 5（
20、x19）2+605， 8x15，且 x 为整数， 当 x19 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x15 时，w 有最大值，最大值为5（1519）2+605525 答：每件消毒用品的售价为 15 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 525 元 21解： （1）由图象可知， 抛物线的顶点坐标为（6，4） ，过点（12，0） ， 设抛物线的解析式为：ya（x6）2+4， 则 0a（126）2+4， 解得，a， 即这条抛物线的解析式为：y（x6）2+4； （2）当 x（124）4 时，y（46）2+43， 货船能顺利通过此桥洞 22解：抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点 A 的
21、坐标（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x+3） （x1） ， 把 C（0，3）代入得 a3（1）3， 解得 a1， 抛物线解析式为 y（x+3） （x1） ， 即 yx22x+3， 设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 把 B（3，0），C（0，3）代入得， 解得， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设 P（t，t+3） （3t0） ，则 M（t，t22t+3） ， PMt22t+3（t+3）t23t， PM（t+）2+， 当 t时，PM 有最大值，最大值为 23解：（1）yx2+4x+5（x2）2+9， M（2，9）； （2
22、）令 y0，得x2+4x+50， 解得 x1 或 x5， A（1，0），B（5，0）， 令 x0，得 yx2+4x+55， C（0，5） ， 过点 M 作 MEy 轴于点 E， SMBCS四边形MBOESMCESBOC15； （3）存在点 N，使得以 B，C，N 为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： OBOC5，COB90， OCBOBC45， BOC 是等腰直角三角形， 当 C 为直角顶点时，作 CN1BC 交坐标轴为 N1，CN1BCBN145， OBON15， N1（5，0）； 当 B 为直角顶点时，作 BN2BC 交坐标轴为 N2，CN2BBCN245， OCON25， N1（0，5）； 当 N 为直角顶点时，点 O 与 N3重合， N3（0，0） 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（5，0）或（0，5）或（0，0）
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