1、 第第 2222 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax20 B3（x21）2（y1） Cax23x+10 D+x+10 2已知一元二次方程 x2x20 的一个根是 m，则 2018m2+m 的值是（ ） A2015 B2016 C2018 D2020 3一元二次方程 3x2+2x50 的二次项系数、一次项系数和常数项依次为（ ） A3，2，5 B3，2，5 C3，2，5 D3，2，5 4一元二次方程 x26x+40 配方后可化为（ ） A （x3）25 B （x3）213 C （x+3）2
2、5 D （x+3）213 5利用求根公式求 2x2+13x 的根时，其中 a2，则 b、c 的值分别是（ ） A1、3 B3、1 C3、1 D3、1 6下列一元二次方程中，两个实数根之和等于2 的是（ ） Ax2+2x+40 B2x2+4x10 Cx220 D3x2+5x60 7为改善居住环境，我县 2019 年投入治理黑臭水体 2500 万元，预计到 2021 年底三年累计投入 1.2 亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（ ） A2500（1+2x）12000 B2500+2500（1+x）+2500（1+2x）12000 C2500（1+x）212000
3、D2500+2500（1+x）+2500（1+x）212000 8若（x+y）24（x+y）+40，则 x+y 的值为（ ） A2 B2 C2 或2 D0 或 2 9一元二次方程 x22x60，其中较大的一个根为 x1，下列最接近 x1的范围是（ ） A3x14 B3x13.5 C3.5x13.7 D3.7x14 10一元二次方程 x24x+30 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分）分） 11若关于 x 的方程（a1）x2+2x10 是一元二次方程，则 a 的取值范围是
4、12 构造一个一元二次方程， 要求： 常数项不为 0； 有一个根为1 这个一元二次方程可以是 （写出一个即可） 13若关于 x 的一元二次方程 a（xm）23 的两根为，则 a ，m 14将一个长 100m、宽 60m 的长方形游泳池扩建成面积为 20000m2的长方形大型水上游乐场，已知扩建后大型水上游乐场的周长为 600m，设游泳池的长增加 xm，由题意可列方程为 15 已知关于 x 的方程 a （x+m）2+b0 （a、 b、 m 为常数， a0） 的解是 x12， x21， 那么方程 a （x+m+2）2+b0 的解 16对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 Maxa，b表示 a
5、，b 中的较大值，如：Max2，44，按照这个规定，方程 Maxx，xx22 的解为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17用指定的方法解下列方程： （1）4（x1）2360（直接开平方法） （2）2x25x+10 （配方法） （3） （x+1） （x2）4（公式法） （4）2（x+1）x（x+1）0（因式分解法） 18解方程（x1）25（x1）+40 时，我们可以将 x1 看成一个整体，设 x1y，则原方程可化为y25y+40，解得 y11，y24，当 y1 时，即 x11，解得：x2；当 y4 时，即 x14，解得：x5，所以原方程的解：x12，x25 请
6、利用这种方法求方程（2x+5）27（2x+5）+120 的解 19已知关于 x 的方程 ax2+（32a）x+a30 （1）求证：无论 a 为何实数，方程总有实数根 （2）如果方程有两个实数根 x1，x2，当|x1x2|时，求出 a 的值 20商场某种商品平均每天可销售 80 件，每件盈利 60 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达
7、到 4950 元？ 21为响应国家“垃圾分类”的号召，温州市开始实施城镇垃圾分类标准 ，某商场向厂家订购了 A，B两款垃圾桶共 100 个，已知购买 A 款垃圾桶个数不超过 30 个时，每个 A 款垃圾桶进价为 80 元，若超过30 个时，每增加 1 个垃圾桶，则该款垃圾桶每个进价减少 2 元，厂家为保障盈利，每个 A 款垃圾桶进价不低于 50 元每个 B 款垃圾桶的进价为 40 元，设所购买 A 款垃圾桶的个数为 x 个 （1）根据信息填表： 款式 数量（个） 进价（元/个） A x（不超过 30 个时） 80 x（超过 30 个时） B 40 （2）若订购的垃圾桶的总进价为 4800 元，
8、则该商场订购了多少个 A 款垃圾桶？ 22阅读材料：把形如 ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a22ab+b2（ab）2例如： （x1）2+3 是 x22x+4 的一种形式的配方， （x2）2+2x 是 x22x+4 的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出 x24x+1 的两种不同形式的配方； （2）已知 x2+y24x+6y+130，求 2xy 的值； （3）已知 a2+b2+c2ab3b2c+40，求 a+b+c 的值 23已知：如图，在ABC 中，B90，AB5cm，
9、BC7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当 Q 到达点 C 时，点 Q、P 同时停止移动 （1）如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积为 4cm2？ （2）如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度为 5cm？ 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意 B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意 C、当
10、 a0 时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意 D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意 故选：A 2解： 一元二次方程 x2x20 的一个根是 m， m2m2， 2018m2+m2018（m2m）201822016， 故选：B 3解：3x2+2x50 一元二次方程的二次项系数是 3，一次项系数是 2，常数项是5， 故选：D 4解：x26x+40， x26x4， 则 x26x+94+9，即（x3）25， 故选：A 5解：2x2+13x， 移项得：2x23x+10， 所以 b3，c1， 故选：C 6解：A、444120，则此方程没有实数根，所以 A 选项错误； B、1
11、642（1）240，则 x1+x22，所以 B 选项正确； C、x1+x20，所以 C 选项错误； D、x1+x2，所以 D 选项错误 故选：B 7解：设每年投入治理的费用年平均增长百分率为 x， 由题意得，2500+2500（1+x）+2500（1+x）212000 故选：D 8解： （x+y）24（x+y）+40， 则（x+y2）20， 所以 x+y20， 所以 x+y2 故选：A 9解：（2）241（6）28， x1， 所以 x11+，x21， 而 2.52.7， 所以 3.51+3.7 故选：C 10解：（4）241340， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 二填空题（共二填空题（共
12、 6 小题，满分小题，满分 24 分）分） 11解：关于 x 的方程（a1）x2+2x10 是一元二次方程， a10， 解得：a1， 故答案是：a1 12解：由题意可得，方程可以为： （x+1） （x1）0， 即 x210 故答案为：x210 13解：a（xm）23， （xm）2， 则 xm， xm， 根据题意知 m，a4， 故答案为：4， 14解：游泳池的长增加 xm，那么游泳池的长为（x+100）米，那么宽为： （6002）（x+100）200 x， 可列方程为（x+100） （200 x）20000 15解：关于 x 的方程 a（x+m）2+b0 的解是 x12，x21， （a，m，b
13、均为常数，a0） ， 方程 a（x+m+2）2+b0 变形为 a（x+2）+m2+b0，即此方程中 x+22 或 x+21， 解得 x0 或 x3 故答案为：x30，x43 16解：分为两种情况： 当 xx，即 x0 时，x22x， 解得：x12，x21， x1 舍去； 当xx，即 x0 时，x22x， 解得：x12，x21， x1 舍去； 所以方程 Maxx，xx22 的解为 2 或2， 故答案为：2 或2 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17解： （1）方程变形得： （x1）29， 开方得：x13 或 x13， 解得：x14，x22； （2）方程变形得：
14、x2x， 配方得：x2x+（x）2， 开方得：x， 则 x1，x2； （3）方程整理得：x2x60， 这里 a1，b1，c6， 1+2425， x， 则 x13，x22； （4）分解因式得： （x+1） （2x）0， 解得：x11，x22 18解：设 2x+5y，则原方程可化为 y27y+120， 所以 （y3） （y4）0 解得 y13，y24 当 y3 时，即 2x+53， 解得 x1； 当 y4 时，即 2x+54， 解得 x， 所以原方程的解为：x11，x2 19 （1）证明：当 a0 时，方程为 3x30，是一元一次方程，有实数根； 当 a0 时，方程是一元二次方程， 关于 x 的方
15、程 ax2+（32a）x+a30 中，（32a）24a（a3）90， 无论 a 为何实数，方程总有实数根 （2）解：如果方程的两个实数根 x1，x2，则 x1+x2，x1x2， |x1x2|， ， 解得 a2 故 a 的值是2 或 2 20解： （1）由题意，可得商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利（60 x）元 故答案为：2x； （60 x） ； （2）由题意得： （60 x） （80+2x）4950 化简得：x220 x+750， 解得 x15，x215 该商场为了尽快减少库存， x5 舍去， x15 答：每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元 21解： （1）30+
16、（8050）230+30230+1545（个） 当 30 x45 时，A 款垃圾桶的进价为 802（x30）（140 x） （元/个） ； 当 x45 时，A 款垃圾桶的进价为 50 元/个 A，B 两款垃圾桶共购进 100 个，A 款垃圾桶购进 x 个， B 款垃圾桶购进（100 x）个 故答案为：； （100 x） （2）当 x30 时，80 x+40（100 x）4800， 解得：x20； 当 30 x45 时， （1402x）x+40（100 x）4800， 化简得：x250 x+4000， 解得：x140，x210（不合题意，舍去） ； 当 x45 时，50 x+40（100 x）4
17、800， 解得：x80 答：该商场订购了 20 个或 40 个或 80 个 A 款垃圾桶 22解： （1）x24x+1 的两种配方分别为： x24x+1（x2）23， x24x+1（x1）22x； （2）由 x2+y24x+6y+130 得：x24x+4+y2+6y+90， （x2）2+（y+3）20 解得：x2，y3 2xy4+37； （3）a2+b2+c2ab3b2c+4 （a2ab+b2）+（b23b+3）+（c22c+1） （a2ab+b2）+（b24b+4）+（c22c+1） （ab）2+（b2）2+（c1）20， 从而有 ab0，b20，c10， 即 a1，b2，c1， 故 a+b+c4 23解：当运动时间为 ts 时，APtcm，BP（5t）cm，BQ2tcm （1）依题意得：（5t）2t4， 整理得：t25t+40， 解得：t11，t24， 当 t1 时，2t2127，符合题意； 当 t4 时，2t2487，不符合题意，舍去 答：1s 后，PBQ 的面积为 4cm2 （2）依题意得： （5t）2+（2t）225， 整理得：t22t0， 解得：t10（不符合题意，舍去） ，t22 答：2s 后，PQ 的长度为 5cm
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