1、 温州市温州市 20222022 学年九年级学业水平第一次检测数学试题学年九年级学业水平第一次检测数学试题 一、选择题一、选择题(本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分) 1有 10 张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1 至 10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片 a，b，c，则这三张卡片 a，b，c 的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（ ） A1120 B160 C145 D172 2已知O 的半径为 13，弦 ABCD，AB=24，CD=10，则四边形 ACDB 的面积是（ ） A119 B289 C77 或 1
2、19 D119 或 289 3如图， ADC是由等腰直角 EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴，已知EO = 1，D点坐标为D(2,0)，位似比为1:2，则两个三角形的位似中心的坐标是（ ） A(23,0) B(1,0) C(0,0) D(13,0) 4我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A(0,2)， 点C(2,0)， 则互异二次函数y = (x m)2 m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ） A4，-1 B5172，-1 C4，0 D5+172，-1 5如图，在 ABC 中，C = 90，AC = BC
3、 = 6，点 D，E 分别在 AC 和 BC 上，CD = 2，若以 DE 为直径的O 交 AB 的中点 F，可知O 的直径是（ ）A23 B2 C25 D5 6 如图， 在 ABC 中BAC90 ， ABAC2， 点 D 为 ABC 所在平面内一点， BDC90 ， 以 AC、CD 为边作平行四边形 ACDE，则 CE 的最小值为（ ） A10 2 B3 2 C75 D23 2 （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 7如图 1，是清代数学家李之铉在他的著作几何易简集中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图 2，延长正方形ABCD的边BC至点M，作矩形ABM
4、N，以BM为直径作半圆O交CD于点E，以CE为边做正方形CEFG， G在BC上， 记正方形ABCD， 正方形CEFG， 矩形CMND的面积分别为S1， S2， S3， 则S1S2+S3= （ ） A3+54 B1+52 C3+24 D1+22 8如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O， 以O为圆心， OF长为半径作O 与AD相切于点P （即连接 OP 有 OPAD） 若AB = 6， BC = 33， 其中正确的结论数量为（ ）F是CD的中点；O 的半径是 2；AE = 3CE；S 阴影=32 A1 个 B2 个 C3
5、个 D4 个 9. 如图，抛物线y=-x+2x+1交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，点 C 关于抛物线的对称轴的对称点为点 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，则四边形 EDFG 周长的最小值为( ) A.6 B.42 C.30 D.27 10.如图，正方形 ABCD 边长为 6，E、F 是对角线 AC 的三等分点，连接 BE 并延长交 AD 于点 G，连接GF 并延长交 BC 于点 H，记GEF 的面积为 m，CHF 的面积为 n，mn=（ ） A92 B6 C152 D7 二、填空题二、填空题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
6、11.若实数 a 是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则a3+224a1的值为_ 12.温故知新：若满足不等式871513nnk的整数 k 只有一个，则正整数 N 的最大值_。 阅读理解:任意正整数a，b，20ab，20aabb，2a bab，只有当ab时，等号成立；（第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） （第 7 题） 结论：在2abab（a、b均为正实数）中，只有当ab时，ab有最小值2 ab.若1m ，11mm有最小值为_ 13.如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图， 弓形是由优弧与弦组成， 是鱼缸的玻璃隔断，弓形部分不注水，已知 ，且圆心在上， = = 80cm注水时
7、，当水面恰好经过圆心时，则水面宽为_cm；注水过程中，求水面宽度的最大值为_cm 14.已知抛物线 y1：y2（x3）2+1 和抛物线 y2：y2x28x3，若无论 k 取何值，直线 ykx+km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则 m ，n 15.工人师傅在修茸一人字架屋顶 BAC 时需要加固， 计划焊接三根钢条 AD， DE， FG 在如图所示的ABC 中，AB=AC=10，BC=12，ADBC 于点 D，点 E，F，G 分别是 AB，BD，AC 上的点，连接 DE，GF，交于点 H，GF 与 AD 交于点 M，当 H 为 FM 的中点，BFCF=15，AG：AE=5：7 时，AG
8、M 的面积为_ 16.设计师工作台灯的主要构件是上下两条旋转臂和一盏条形灯设计师工作时，常常通过转动旋转臂和灯来调节光源的位置，获得需要的光照效果图，设计师两次调节中，他先转动下旋转臂BC，使点C到桌面的距高20cmCP ，然后转动上旋转臂CD和灯DE，使DE与桌面BG平行，且EDCGBC 调好后他感觉光照效果不佳，于是再转动上旋转臂和灯，使得上旋转臂D CBC，同时灯/ /D EBG 若已知上旋转臂60cmCD ，第二次调整后灯向右移动的水平距离10cmQE ，则第二次调整结束后灯距高桌面的高度QR _cm 三、 解答题三、 解答题(本题共 8 小题， 共 80 分， 无特定要求的解答时需写
9、出必要的文字说明， 演算步骤或证明过程) （第 13 题） （第 15 题） （第 16 题） 17.（本题 8 分）如图，已知二次函数 G1：yax2+bx+c（a0）的图象过点（1，0）和（0，3），对称轴为直线 x1 （1）二次函数 G1 的解析式为_； （2）当1x2 时，函数 G1 中 y 的取值范围_； （3）将 G1 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到新二次函数 G2，则函数 G2 的解析式是_ （4）当直线 yn 与 G1、G2 的图象共有 4 个公共点时，直接写出 n 的取值范围_ 18.（本题 10 分）已知圆 O 的半径长为 2，点 A、B、C 为圆 O
10、 上三点，弦 BC=AO，点 D 为 BC 的中点， (1)如图，连接 AC、OD，设OAC=，请用 表示AOD； (2)如图，当点 B 为的中点时，求点 A、D 之间的距离. (3)如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆有且只有一个交点，求弦 AE 的长 19.（本题 6 分） 已知如图， E、 F 分别在四边形 ABCD 边 AB、 BC 上， 在 CD 上求作一点 P， 使EPFBEF （不写作法，保留作图痕迹） （第 18 题） （第 19 题） 20.（本题 10 分）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本
11、性质，把方程转化为 x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知 （1） 问题：方程的解是：=0，=_，=_； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，矩形草坪 ABCD 的长 AD=21m，宽 AB=8m，点 P 在 AD 上（APPD），小华把一根长为27m 的绳子一段固定在点 B，把长绳 PB
12、 段拉直并固定在点 P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点 C，求 AP 的长 21.（本题 10 分） （1）把长为 的线段任意分成 3 条线段，求这 3 条线段能够构成一个三角形的 3 条边的概率 （2） 据统计， 2008 年底该市汽车拥有量为 75 万辆， 而截止到 2010 年底， 该市的汽车拥有量已达 108 万辆 为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 125.48 万辆；且从 2011 年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%.假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超
13、过多少万辆， 并求出求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率 22.（本题 10 分）二次函数（，m 为常数）图象记作 G，图象 G 上点 A 的横坐标为2m （1）当，求图象 G 的最低点坐标； （2）平面内有点当 AC 不与坐标轴平行时，以 AC 为对角线构造矩形 ABCD，AB 与 x 轴平行，BC 与 y 轴平行. 若矩形 ABCD 为正方形时，求点 A 坐标； 图象 G 与矩形 ABCD 的边有两个公共点时，求 m 的取值范围 23.（本题 12 分）某工厂每月生产 800 件产品，每件产品成本 100 元， 分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道销售线下直营店
14、的产品按照定价 190 元出售，并进行促销活动：月销量不超过 400 件的部分，每件产品赠送成本为 60 元的礼品， 可全部售完； 超过 400 件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为 5000元的广告进行宣传，也可全部售完。线上旗舰店的产品售价y (元)与月销量x (件)满足关系： y = 18x + 230 （销售利润 = 销售收入-成本） (1)分别用含a，b的代数式表示： 线下直营店的月销量为a件 若0 a 400， 这a件产品的销售利润为_元； 若400 46190 4 分 良好方案 44000 月总利润 46190 2 分 合格方案 40000 月总利润 44000 1
15、分 24.（本题 14 分）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线 (1)如图 1， 四边形 ABCD 中， DAB100 ， DCB130 ， 对角线 AC 平分DAB， 求证： AC 是四边形 ABCD的相似对角线； (2)如图 2，直线分别与 x，y 轴相交于 A，B 两点，P 为反比例函数 y(k0)上的点，若AO 是四边形 ABOP 的相似对角线，求反比例函数的解析式； (3)如图 3，AC 是四边形 ABCD 的相似对角线，点 C 的坐标为(3，1)，ACx 轴，BCADCA30 ，连接BD，BC
16、D 的面积为过 A，C 两点的抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 E，F 两点，记|m|AC+1，若直线 ymx 与抛物线恰好有 3 个交点，求实数 a 的值 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题(本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A D C A A C B A 解析:3.位似中心是由位似图形的对应项点的连线的交点是解答本题的关键 4.若二次函数 = ( )2 与正方形有交点,则共有以下四种情况:当 0时， 则当 A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 02 2
17、 ，解得：1 0；当0 1时，则当 C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有0 1(2 )2 0 ，解得：0 1；当1 2时，则当 O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有1 0 ， 解得： 1 2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时， 它们才有交点， 此时有 22 0(2 )2 2 ， 解得：2 5+172； 的最大值和最小值分别是5+172， 1 5.作 FGAC，FHCB，垂足分别为 G、H，然后证明 DFGEFH，得到 DF=EF，再利用勾股定理，即可求出 DE 的长度 6.延长 AE 交 BD 于点 F， 根据平行四边形的性质可得AECD，可得AFBBDC9
18、0 ，可以证明 AFBDFE，可得AEB135 ，点 E 的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点 E 所在圆的圆心为 M，连接 MB，MA，MC，MC 与圆 M 交于点 E，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE即为 CE 的最小值，利用勾股定理可得 CM 的值，得 CE 的最小值 7.连接 BF、ME、BE，设正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，CM=c，通过推理得出 a、b、c 之间的数量关系 = 2= ，12+3=22+=2+=2=3+54,8.正确的结论有，共 3 个。 9.作点 D 关于 y 轴的对称点 D（-1，2），作点 E 关于x 轴的对称点 E（2，
19、-1），连接 D、E，DE与 x 轴的交点 G、与 y 轴的交点 F 即为使四边形 EDFG 的周长最小的点。 10.过点 F 作 MNAD 于点 M，交 BC 于点 N，过点 E作 KLAD 于点 K，交 BC 于点 Lmn31.54.5 二、填空题二、填空题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 11. 21 12.112 3 13. 75 25 + 255 14. 3 15.607 16. 5 7115 解析：13.当水面恰好经过圆心时，设OD = xcm，则OC = OA = OF = (80 x)cm，利用勾股定理解RtODA求出x = 30，进而求出OC = OA =
20、OF = 80 30 = 50cm，根据平行线分线段成比例得OCCD=OEAD，求出 OE，即可求出水面宽度；作FM AC于点 M，DH AC交 FM 于点 H，交 EF 于点 G，利用平行四边形的性质及相似三角形对应边成比例的性质将所求线段进行转化，可得EF = EG + GF = AD + GF = AD +52HF，结合圆的性质可知，当 MF 经过圆心 O 时，HF 取得取大值，由此可解 （第 13 题 （2） ） 15.过点 G 作 GNBC 交 AD 于点 N，利用已知条件易证 NGBC， NGAD， B=C， EAD=MAG，同时可求出 BD，DC 的长，利用勾股定理求出 AD 的
21、长，结合已知求出 BF，CF 的长；利用直角三角形的性质， 可证得 DH=HF=MH， ADE=FMD=AMG，由此可证 BDECFG， ADEAMG，利用相似三角形的性质，可求出 AM 的长及 BE 与 CG 的比值；设 AG=5m，则 AE=7m，用含 m 的代数式表示出BE，AE 的长，由此建立关于 m 的方程，解方程求出m 的值；然后证明 ANGADC，利用相似三角形的性质求出 NG 的长，再利用三角形的面积公式求出 AMG 的面积. 16.过点 D 作 DMCH 于点 M， 过点D作DNCH于点 N，由题意易得DCHPBCBCH ，然后根据余角的性质可得DCMCDN，进而可证DCMC
22、DN，设D NCMQKx，则有10CNx， 根据勾股定理建立方程求解 x 即可求解问题 （第16题） 三三、 解答题、 解答题(本题共 8 小题， 共 80 分， 无特定要求的解答时需写出必要的文字说明， 演算步骤或证明过程) 17.（1）二次函数 G1 的解析式为 yx2+2x+3；（2）0y4；（3）y（x4）2+2；（4）n 的取值范围为n2 或 n 18.(1)如图 1：连接 OB、OC. BOD= = AOD=180 -=150 -2 (2)如图 2：连接 OB、OC、OD. OBC 是等边三角形 OB=2，OD=OBcos= AD= （3） 如图 3.圆 O 与圆 D 相内切时：
23、连接 OB、 OC， 过 O 点作 OFAEBC 是直径， D 是 BC 的中点 OD=，圆 D 的半径为 1AD=设 AF=x 即 解得： AE= 如图 4.圆 O 与圆 D 相外切时： 连接 OB、OC，过 O 点作 OFAE BC 是直径，D 是 BC 的中点 以 BC 为直径的圆的圆心为 D 点 由（2）可得：OD=，AD= 即 解得： AE= 19. 20.（1） 或或故答案为：-3，；（2）=x， 方程的两边平方，得 2x+3=x2，即 x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，x-3=0 或 x+1=0，x1=3，x2=-1，当 x=-1时， 所以-1 不是原方程的解 所以方
24、程=x 的解是 x=3； （3）因为四边形 ABCD 是矩形， 所以A=D=90 ，AB=CD=8m， 设 AP=xm，则 PD=（21-x）m， 因为 BP+CP=27， BP=，CP=， 整理，得 两边平方并整理，得 解得或 6（不合题意，舍去此时 APPD）经检验，x=15 是方程的解答：AP 的长为 15m 21.（1） 解 设其中两条线段的长为，则第 3 条线段的长为，于是的取值范围是 要使3条线段构成一个三角形的3条边， 其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和 这等价于每条线段的长度都小于，即 将视为坐标系的坐标， 而满足条件的点在以为顶点的内，故所求概率为
25、答：3 条线段能构成一个三角形的三边的概率为 21（2）该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%；设从 2011 年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，根据题意得（108 90%+y）90%+y125.48，解得 y20 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 20 万辆 22.（1） （2）点 A 坐标为（0，0）或（1，6）；点 A 在图象 G 上，图象 G 与矩形 ABCD 一 定有一个公共点，图象 G 与矩形 ABCD 的边有两个公共点，只需图象 G 与矩形 ABCD 的边再有一个公共点即可；点 A 的横坐标为 2m，A（2m，6m），当 x2 时，y4+10m，当 4+10m6m时，m1，
26、当 m1 时，如图所示： 此时图象 G 在 x2m 时，y 随 x 的增大而减小， 矩形与图象 G 只有一个交点 A； 当 m=-1 时，A 点坐标为（-2，-6），此时点 AC 平行于 y 轴，不符合题意；当1m0 时，如图所示： 此时图象 G 与边 AB 只有一个交点 A，与另外两边只有一个交点， 此时图象 G 与矩形 ABCD 有两个交点；当经过点时，即当 4+10m2 时，m，当时，图象 G 与矩形 ABCD 有两个交点，如图， 当 6m2 时，m，当 0m时，2mm，如图所示： ，整理得：， 又， 此时，方程一定有两个不相等的实数解， 此时图象 G 与 AB 一定还有除 A 点外的另
27、外一个点， 此时图象 G 与矩形 ABCD 有三个交点；当时， 点的坐标为（，2），此时 AC 平行于 x 轴，不符合题意；当时，方程一定也有两个不相等的实数解， 图象 G 与 AB 一定有除 A 点外的另外一个点，如图所示： 故为1m0 或 （1）见解析；（2）y或 y或 y或 y；（3）a或 解：（1）如图 1，设ACD，则ACB130 ， B180 BACACB180 50 （130 ）， 在ABC 和ACD 中，BACD，BACCAD， ABCACD， AC 是四边形 ABCD 的相似对角线；（2）当APO 为直角时， 当OAP30 时， 过点 P 作 PHx 轴于点 H， 设 OHx
28、，则 HPx，HA3x，则 x+3x4，解得：x1，故点 P（1，），故 k；当AOP30 时，同理可得：k3；当OAP 为直角时，当OPA30 时，点 P（4，4），k16；当AOP30 时，OAAO，OAPAOB90 ，AOPOAB30 OAPAOB，不符合相似对角线的定义，故舍去； 综上，反比例函数的表达式为：y或 y或 y；（3）如图 3，过点 B 作 BHCD 于点H，则CBH60 BCD30 ， 故 CHBC，则 BHBC， BCD 的面积CDBHCD BC，故 CDBC4 而BACACD，故 CA2BCCD4，故 CA2， 则点 A（1，1），而点 C（3，1）， 将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式并解得： 抛物线的表达式为：yax24ax+3a+1， AC2，则 m 3， 故直线的表达式为：y 3x， 直线 y3x 与抛物线有两个交点，而直线 ymx 与抛物线恰好有 3 个交点， 则直线 y3x 与抛物线有一个交点， 联立直线 y3x 于抛物线的表达式并整理得：ax2（4a+3）x+3a+10， （4a+3）24a（3a+1）0， 解得：a或
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