1、浙教版浙教版七七年级上册数学知识梳理汇编年级上册数学知识梳理汇编 第第1 1单元单元有理数有理数 一、有理数的相关概念一、有理数的相关概念 1有理数的分类：有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点：要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2数轴：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线 要点：要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 （
2、2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大 3相反数：相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0 要点：要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的 （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可 （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负 4绝对值：绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 数a的绝00 C对值记作 （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离 第第2
3、2单单元元有理数的运有理数的运算算 一一、有理数的运算、有理数的运算 1 法则：法则： （1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0相加，仍得这个数 （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得0 （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即a b=a (b0) （5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次
4、幂都是0 (6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点：要点：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3， +（3）=3 （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3） （2） （6）=36，而（3） （2） 6=36 （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， 2运算律：运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a
5、； 乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：（ab）c=a(bc) a1b2( 3)93( 3)27 (0)|0(0)(0)aaaaaa（3）分配律：a(b+c)=ab+ac 二二、有理数的大小比较、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法（4）作商比较法；（5)倒数比较法 三三、科学记数法、近似数及精确度、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此
6、种记法叫做科学记数法例如：200 000= 2.近似数：近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300，这里的6300就是近似数. 要点：要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点：要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有
7、效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 第第3 3单单元元 实数实数 一：平方根和立方根一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 10na110an52 100.10.05a3a重要结论 二：实数二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数0正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数 要点：要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无
8、限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数 （2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如5，32等； 有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如0.1010010001 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一实数与数轴上的点一 一对应一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任
9、何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). )0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数2a0a 0a 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：实数的运算： 数a的相反数是a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的
10、运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 第第4 4单元单元 代数式代数式 一、代数式一、代数式 如：16n ，2a+3b ，34 ，2n，2)(ba等式子，它们都是用运算符号(、 、 、乘方、开方)把数和表示数的字母
11、连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式 要点：代数式的书写规范：要点：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写 二、整式的相关概念二、整式的相关概念 1单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点：要点：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数 （2）单项
12、式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点：要点：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项 （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式 3. 多项式的降幂与升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列 要点：要点：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； （2）含有多
13、个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4整式：单项式和多项式统称为整式 三、整式的加减三、整式的加减 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项 要点：要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点：要点：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变 3去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前
14、面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 4添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变 5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项 第第5 5单单元元 一元一次方程一元一次方程 一、一元一次方程的概念一、一元一次方程的概念 1方程：方程：含有未知数的等式叫做方程 2一元一次方程：一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程 要点：要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： 只含有一个
15、未知数，未知数的次数为1； 未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 3方程的解：方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解 4解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程 二、等式的性质与去括号法则二、等式的性质与去括号法则 1等式的性质：等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 2合并法则：合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变 3去括号法则：去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 （
16、2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反 三、一元一次方程的解法三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(a0)的形式 (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bxa(a0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等
17、，则不是方程的解 四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：行程问题：路程速度 时间 2.和差倍分问题：和差倍分问题：增长量原有量 增长率 3.利润问题：利润问题：商品利润商品售价商品进价 4.工程问题：工程问题：工作量工作效率 工作时间，各部分劳动量之和总量 5.银行存贷款问题：银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金 利率 期数 6.数字问题：数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcdabcd . 第第6 6单单元元图形的初步认识图形的初步认识 一、几何图形一、几何图形 1.几何图形的分类几何图形的分类 要点：要点：在
18、给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2.几何体的构成元素几何体的构成元素 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 二、线段、射线、直线二、线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本事实基本事实 (1)直线直线:两点确定一条直线 (2)线段线段:两点之间线段最短 要点：要点： 本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. 连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条
19、线段等于已知线段画一条线段等于已知线段 （1）度量法：）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB，如下图： 4线段的比较与运算线段的比较与运算 （1）线段的比较：）线段的比较：度量法；叠合法；估算法. （2）线段的和与差：）线段的和与差：如下图，有AB+BCAC，或ACa+b；ADAB-BD. （3）线段的中点：）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如下图，有：12AMMBAB. 要点：要点： 线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有12AMAB，则点M为线段AB的中点. 除线段的
20、中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有ABPBNPMNAM41. 三、角三、角 1角的概念及其表示角的概念及其表示 PNMBA（1）角的定义：）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点：要点： 角的两种定义是从不同角度对角进行的定义. 当一个
21、角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类角的分类 3.角的度量角的度量 1周角360 ，1平角180 ，1 60，160. 要点：要点： 度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. 度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. 同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. 4.角的比较与运算角的比较与运算 （1）角的比较方法角的比较方法: 度量法；叠合法；估算法. （2）角的平分线：）角的平分线：
22、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是AOB的平分线，所以1=2=12AOB，或AOB=21=22. 类似地，还有角的三等分线等. 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 090 90 90 180 180 360 5.余角、补角余角、补角 （1）定义：）定义： 若1+290 ， 则1与2互为余角.其中1是2的余角，2是1的余角. 若1+2180 ，则1与2互为补角.其中1是2的补角，2是1的补角. （2）性质：）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点：要点： 余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角
23、不能称其为余角(或补角). 一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. 只考虑数量关系，与位置无关 “等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” 6.方位角方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点：要点： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 通常叫做东北方向，北偏西45 通常叫做西北方向，南偏东45 通常叫做东南方向，南偏西45 通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
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