1、 2021-2022 学年安徽省十五校九年级学年安徽省十五校九年级上上第三次联考数学试卷第三次联考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1将抛物线 y（x+1）22 向上平移 3 个单位，向左平移 4 个单位后所得到的新抛物线 y的对称轴是直线（ ） Ax1 Bx2 Cx5 Dx4 2如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D 3如图，在ABCD 中，AB10，AD15，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 D
2、C 的延长线于点 F，BGAE 于点 G，若 BG8，则CEF 的周长为（ ） A16 B17 C24 D25 4如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D（2，3），AD5，若反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ） A B8 C10 D 5在 RtABC 中，AC8，BC6，则 cosA 的值等于（ ） A B C或 D或 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cab+c0 D3a+c0 7如图，在平面直角坐标系 x
3、Oy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（10，0），直线 ykx+8 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 长的最小值（ ） A8 B10 C12 D16 8如图，正方形 ABCD 内接于O， 线段 MN 在对角线 BD 上运动， 若O 的面积为 2， MN1，则AMN周长的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 9如图，矩形 ABCD 中，AD3，AB2，点 E 为 AB 的中点，点 F 在边 BC 上，且 BF2FC，AF 分别与DE、BD 相交于点 M、N，则 MN 的长为（ ） A B C D 10如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A、B 重合），对角线
4、 AC、BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论： APEAME； PM+PNAC； PE2+PF2PO2； POFBNF； 点 O 在 M、N 两点的连线上 其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11若 sinA，则 tanA 12如图，P 为平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，E、F 分别为 PA、PD 上的点，且 PA3PE，PD3PF，PEF、PDC、PAB 的面积分别记为 S、S1、S2
5、若 S2，则 S1+S2 13如图，在 RtAOB 中，OB2，A30，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（其中点 Q 为切点），则线段 PQ 长度的最小值为 14知识拓展：将函数 yx2+2x3 的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y|x2+2x3|的图象请解决以下问题： （1）写出翻折部分的函数表达式 ； （2）若该新函数图象与直线 yx+b 有两个交点，则 b 的取值范围是 三、（本大题共三、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15计算：sin245+tan303t
6、an60os30 16如图，在ABC 中，D 为边 BC 上一点，已知，E 为 AD 的中点，延长 BE 交 AC 于 F，求的值 四、（本大题共四、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1 （2）将A1B1C1绕点 A1逆时针旋转 90得到A1B2C2，画出A1B2C2，并直接写出点 C2的坐标 18如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AC，BC 的中
7、点连接 AE，BD 交于点 F （1）求证：BF2DF； （2）点 G 是 AB 的中点，连接 EG 交 BD 于点 H，求的值 五、（本大题共五、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19如图，PA 是O 的切线，切点为 A，AC 是O 的直径，过 A 点作 ABPO 于点 D，交O 于 B，连接BC，PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 cosPAB，BC2，求 PO 的长 20如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 在原点上，顶点 A，C 分别在反比例函数 y（k0，x0），y（x0）的图象上，对角线 ACy 轴于 D，已知点 D
8、的坐标为 D（0，5） （1）求点 C 的坐标； （2）若平行四边形 OABC 的面积是 55，求 k 的值 六、（本题满分六、（本题满分 12 分）分） 21 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具， 唐代陈廷章在 水轮赋 中写道： “水能利物， 轮乃曲成” 如图，半径为 3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 （1）经过多长时间，盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？ （3）若接水槽 MN
9、 所在直线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO8m求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上 （参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68） 七、（本题满分七、（本题满分 12 分）分） 22某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个
10、月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 八、（本题满分八、（本题满分 14 分）分） 23如图，已知抛物线经过点 A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点P 是线段 AB 上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在点 P 运动过程中，是否存在点 Q，使得BQM 是直角三角形？若存
11、在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC，将AOC 绕平面内某点 H 顺时针旋转 90，得到A1O1C1，点 A、O、C 的对应点分别是点 A1、O1、C1、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点 A1的横坐标 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1将抛物线 y（x+1）22 向上平移 3 个单位，向左平移 4 个单位后所得到的新抛物线 y的对称轴是直线（ ） Ax1 Bx2 Cx5 Dx4 【分析】按照“左加
12、右减，上加下减”的规律写出新抛物线的表达式，即可求得新抛物线的对称轴 解：将抛物线 y（x+1）22 向上平移 3 个单位，向左平移 4 个单位后所得到的新抛物线 y（x+1+4）22+3，即 y（x+5）2+1 新抛物线 y的对称轴是直线 x5 故选 C 2如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可 解：直线 l1l2l3， ， AB5，BC6，EF4， ， DE， 故选：D 3如图，在ABCD 中，AB10，AD15，BAD 的平分
13、线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BGAE 于点 G，若 BG8，则CEF 的周长为（ ） A16 B17 C24 D25 【分析】先计算出ABE 的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可 解：在ABCD 中，CDAB10，BCAD15，BAD 的平分线交 BC 于点 E， ABDC，BAFDAF， BAFF， DAFF， DFAD15， 同理 BEAB10， CFDFCD15105； 在ABG 中，BGAE，AB10，BG8， 在 RtABG 中，AG6， AE2AG12， ABE 的周长等于 10+10+1232， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCF， CEFBEA
14、，相似比为 5：101：2， CEF 的周长为 16 故选：A 4如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D（2，3），AD5，若反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ） A B8 C10 D 【分析】过 D 作 DEx 轴于 E，过 B 作 BFx 轴，BHy 轴，得到BHC90，根据勾股定理得到AE4，根据矩形的性质得到 ADBC，根据全等三角形的性质得到 BHAE4，求得 AF2，根据相似三角形的性质即可得到结论 解：过 D 作 DEx 轴于 E，过 B 作 BFx 轴，BHy 轴， BHC90， 点 D（
15、2，3），AD5， DE3， AE4， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， BCDADC90， DCP+BCHBCH+CBH90， CBHDCH， DCP+CPDAPO+DAE90， CPDAPO， DCPDAE， CBHDAE， AEDBHC90， ADEBCH（AAS）， BHAE4， OE2， OA2， AF2， APO+PAOBAF+PAO90， APOBAF， APOBAF， ， ， BF， B（4，）， k， 故选：D 5在 RtABC 中，AC8，BC6，则 cosA 的值等于（ ） A B C或 D或 【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：AB 为斜边，A
16、C 为斜边，根据勾股定理求得 AB 的值，然后根据余弦的定义即可求解 解：当ABC 为直角三角形时，存在两种情况： 当 AB 为斜边，C90， AC8，BC6， AB10 cosA； 当 AC 为斜边，B90， 由勾股定理得：AB2， cosA； 综上所述，cosA 的值等于或 故选：C 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cab+c0 D3a+c0 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理
17、，进而对所得结论进行判断 解：由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， c0，对称轴为直线 x1，得 2ab， a、b 异号，即 b0，即 abc0，故 A 选项结论正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，即 4acb20，故 B 选项结论正确； 由二次函数 yax2+bx+c 图象可知，当 x1 时，y0， ab+c0，故 C 选项结论正确； 1， b2a， ab+c0， 3a+c0，故 D 选项结论不正确； 故选：D 7如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（10，0），直线 ykx+8 与O 交于 B、C 两点，则弦 B
18、C 长的最小值（ ） A8 B10 C12 D16 【分析】根据直线 ykx+8 必过点 D（0，8），求出最短的弦 CB 是过点 D（0，8）且与该圆直径垂直的弦，利用勾股定理求出 BD，再利用垂径定理即可得出答案 解：如图，ykx+8 必过点 D（0，8）， 最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦， 点 D 的坐标是（0，8）， OD8， 以原点 O 为圆心的圆过点 A（10，0）， 圆的半径为 10， OB13， BD6， BC2BD12， BC 的长的最小值为 12； 故选 C 8如图，正方形 ABCD 内接于O， 线段 MN 在对角线 BD 上运动， 若O 的面积为 2，
19、MN1，则AMN周长的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点，过点 C 作 CABD，且使 CA1，连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1，连接 AM、CM，则点 M、N 为所求点，进而求解 解：O 的面积为 2，则圆的半径为，则 BD2AC， 由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点， 过点 C 作 CABD，且使 CA1， 连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1，连接 AM、CM，则点 M、N 为所求点， 理由：ACMN，且 ACMN，则四边形 MCAN 为平行四边形， 则 ANCMAM， 故AMN 的周
20、长AM+AN+MNAA+1 为最小， 则 AA3， 则AMN 的周长的最小值为 3+14， 故选：B 9如图，矩形 ABCD 中，AD3，AB2，点 E 为 AB 的中点，点 F 在边 BC 上，且 BF2FC，AF 分别与DE、BD 相交于点 M、N，则 MN 的长为（ ） A B C D 【分析】过点 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O，得 FHAB2，由勾股定理得 AF2，根据平行线分线段成比例得 OH，由相似三角形的性质得，求得 AM，再根据相似三角形的性质求得 AN，即可得出结果 解：如图，过点 F 作 FHAD 于 H，交 ED 于 O， 则 FHAB2， BF2FC， B
21、FAH2，FCHD1， AF2， OHAE， ， OFFHOH2， AEFO， AMEFMO， ， AM， ADBF， ANDFNB， ， AN， MNANAM， 故选：B 10如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A、B 重合），对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论： APEAME； PM+PNAC； PE2+PF2PO2； POFBNF； 点 O 在 M、N 两点的连线上 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】 依据正方形的性质以及勾股定理、 矩形的判定
22、方法即可判断APM 和BPN 以及APE、 BPF都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形，从而作出判断 解：四边形 ABCD 是正方形 BACDAC45 在APE 和AME 中， ， APEAME（ASA），故正确； PEEMPM， 同理，FPFNNP 正方形 ABCD 中 ACBD， 又PEAC，PFBD， PEOEOFPFO90，且APE 中 AEPE 四边形 PEOF 是矩形 PFOE， PE+PFOA， 又PEEMPM，FPFNNP，OAAC， PM+PNAC，故正确； 四边形 PEOF 是矩形， PEOF， 在直角OPF 中，OF2+PF2PO2， PE2+PF2PO2，故正确
23、 BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是等腰直角三角形，故错误； 连接 OM，ON， OA 垂直平分线段 PMOB 垂直平分线段 PN， OMOP，ONOP， OMOPON， 点 O 是PMN 的外接圆的圆心， MPN90， MN 是直径， M，O，N 共线，故正确 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11若 sinA，则 tanA 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出A 的度数，然后求出 tanA 的值 解：sinA， A30， 则 tanA 故答案为： 12如图，P 为平行四边形 ABCD 边 BC
24、上一点，E、F 分别为 PA、PD 上的点，且 PA3PE，PD3PF，PEF、PDC、PAB 的面积分别记为 S、S1、S2若 S2，则 S1+S2 18 【分析】利用相似三角形的性质求出PAD 的面积即可解决问题 解：PA3PE，PD3PF， ， EFAD， PEFPAD， （）2， SPEF2， SPAD18， 四边形 ABCD 是平行四边形， SPADS平行四边形ABCD， S1+S2SPAD18， 故答案为 18 13如图，在 RtAOB 中，OB2，A30，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（其中点 Q 为切点），则线段 PQ 长度的最
25、小值为 2 【分析】连接 OP、OQ，作 OPAB 于 P，根据切线的性质得到 OQPQ，根据勾股定理得到 PQ，根据垂线段最短得到当 OPAB 时，OP 最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 解：连接 OP、OQ，作 OPAB 于 P， PQ 是O 的切线， OQPQ， PQ， 当 OP 最小时，线段 PQ 的长度最小， 当 OPAB 时，OP 最小， 在 RtAOB 中，A30， OA6， 在 RtAOP中，A30， OPOA3， 线段 PQ 长度的最小值2， 故答案为：2 14知识拓展：将函数 yx2+2x3 的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，所得的即是新函数
26、y|x2+2x3|的图象请解决以下问题： （1）写出翻折部分的函数表达式 y（x+1）2+4 ； （2）若该新函数图象与直线 yx+b 有两个交点，则 b 的取值范围是 b或 b 【分析】（1）求出函数顶点坐标，根据翻折后顶点坐标及开口方向变化求解 （2）作出 y|x2+2x3|的图象，根据 b 值的变化直线上线平移，结合图象求解 解：（1）yx2+2x3（x+1）24， 抛物线顶点坐标为（1，4），开口向上， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， y（x+1）2+4， 故答案为：y（x+1）2+4 （2）令 x2+2x30， 解得 x13，x21， 函数图象与 x 轴交点坐标为（3，
27、0），（1，0）， 如图，直线 yx+b 经过（3，0）， 将（3，0）代入 yx+b 得 0+b， 解得 b， b 增大，直线向上移动，当直线经过（1，0）时，如图， 将（1，0）代入 yx+b 得 0+b， 解得 b， b满足题意 直线向上移动，当直线与抛物线 y（x+1）2+4 有 1 个交点时，如图， 令x+b（x+1）2+4，整理得 x2+x+b30， （）24（b3）0， 解得 b， b 增大满足题意， b， 综上所述，b或 b， 故答案为：b或 b 三、（本大题共三、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15计算：sin245+tan30
28、3tan60os30 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值 解：原式（）2+3 +1 3 16如图，在ABC 中，D 为边 BC 上一点，已知，E 为 AD 的中点，延长 BE 交 AC 于 F，求的值 【分析】 过 D 作 DGAC， 可得AEFDEG， 即 DGAF， 再由平行线的性质可得对应线段成比例，进而即可求解 AF 与 AC 的比值 解：过 D 作 DGAC 交 BF 于 G， E 是 AD 的中点， AEFDEG， DGAF， DGAC，BD：DC5：3， DG：CF5：8， AF：CF5：8， AF：AC5：13 四、（本大题共四、（本大题共 2 小题，每小题小题，
29、每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1 （2）将A1B1C1绕点 A1逆时针旋转 90得到A1B2C2，画出A1B2C2，并直接写出点 C2的坐标 【分析】（1）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的旋转画出 B1、C1的对应点 B2、C2，从而得到A1B2C2 解：（1）如图，A1B1C1为所作； （2
30、）如图，A1B2C2为所作，点 C2的坐标分别为（2，1） 18如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AC，BC 的中点连接 AE，BD 交于点 F （1）求证：BF2DF； （2）点 G 是 AB 的中点，连接 EG 交 BD 于点 H，求的值 【分析】（1）连接 DE，根据三角形的中位线定理得 DEAB，DEAB，再根据平行线分线段成比例定理的推论得结论便可； （2）由三角形中位线定理得 EGAC，得，进而用等高的两个三角形的面积比等于底边之比，通过一步推理得ABC 的面积与EFH 的面积的关系便可 【解答】（1）证明：连接 DE， 点 D，E 分别是边 AC，BC 的中点 DEAB，
31、DEAB， ， BF2DF； （2）解：仿（1）的方法同理可得 AF2EF， E、G 分别是 BC、AB 的中点， EGAC， ， SDEF2SEFH， SADE3SDEF， SADE6SEFH， D 是 AC 的中点， SACE2SADE12SEFH， E 是 BC 的中点， SABC2SACE24SEFH， 五、（本大题共五、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19如图，PA 是O 的切线，切点为 A，AC 是O 的直径，过 A 点作 ABPO 于点 D，交O 于 B，连接BC，PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 cosPAB，B
32、C2，求 PO 的长 【分析】 （1） 连接 OB， 根据圆周角定理得到ABC90， 证明AOPBOP， 得到OBPOAP，根据切线的判定定理证明； （2）根据余弦的定义求出 OA，证明PAOABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 解：（1）连接 OB， AC 为O 的直径， ABC90， ABPO， POBC AOPC，POBOBC， OBOC， OBCC， AOPPOB， 在AOP 和BOP 中， ， AOPBOP（SAS）， OBPOAP， PA 为O 的切线， OAP90， OBP90， PB 是O 的切线； （2）PAB+BACBAC+C90， PABC， cosPABco
33、sC， BC2， AC2， AO， PAOABC90，POAC， PAOABC， ，即， 解得 PO5 20如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 在原点上，顶点 A，C 分别在反比例函数 y（k0，x0），y（x0）的图象上，对角线 ACy 轴于 D，已知点 D 的坐标为 D（0，5） （1）求点 C 的坐标； （2）若平行四边形 OABC 的面积是 55，求 k 的值 【分析】（1）由 ACy 轴交反比例函数的图象与点 A、C，与 y 轴交于 D（0，5），因此点 C、A 的纵坐标都是 5，代入可求出 C 的坐标， （2）根据平行四边形被对角线分成的两个三角形全等，可得三角形 AOC 的面
34、积，进而求出 AC 的长，确定点 A 的坐标，最后求出 k 的值 解：（1）当 y5 时，代入 y得，x2， C（2，5）， （2）四边形 OABC 是平行四边形， OCAB，OABC， ACAC， OACABC （SSS）， SOACSOABC， 即：ACDO， DO5， AC11， 又CD2， AD1129， A（9，5）代入 y（k0，x0）得：k45 答：k 的值为45 六、（本题满分六、（本题满分 12 分）分） 21 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具， 唐代陈廷章在 水轮赋 中写道： “水能利物， 轮乃曲成” 如图，半径为 3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别
35、交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 （1）经过多长时间，盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？ （3）若接水槽 MN 所在直线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO8m求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上 （参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68） 【分析】（1）连接 OA，根据 cosAOC，得AOC43，可得答案； （2）根据题意知，AOP3.4517，得POCAO
36、C+AOP43+1760，过点 P 作PDOC 于 D，利用三角函数求出 OD 的长； （3）由题意知 OPMN，利用 cosPOM，得POM68，在 RtCOM 中，根据 cos，得COM74，从而得出答案 解：（1）如图，连接 OA， 由题意知，筒车每秒旋转 360， 在 RtACO 中， cosAOC， AOC43， 盛水筒 P 首次到达最高点的时间：（秒）； （2）如图， 盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，AOP3.4517， POCAOC+AOP43+1760， 过点 P 作 PDOC 于 D， 在 RtPOD 中， ODOPcos6031.5（米）， 盛水筒 P 距离水面距离为：
37、2.21.50.7（米）； （3）如图， 点 P 在O 上，且 MN 与O 相切， 当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP，则 OPMN， 在 RtOPM 中，cosPOM， POM68， 在 RtCOM 中，cos， COM74， POH180687438， 7.6（秒）， 至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上 七、（本题满分七、（本题满分 12 分）分） 22某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个
38、月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 【分析】（1）根据题意可知 y 与 x 的函数关系式 （2）根据题意可知 y10（x5.5）2+2402.5，当 x5.5 时 y 有最大值 （3）设 y2200，解得 x 的值然后分情况讨论解 解：（1）由题意得：y（21010 x）（50+x40） 10 x2+110 x+2
39、100（0 x15 且 x 为整数）； （2）由（1）中的 y 与 x 的解析式配方得：y10（x5.5）2+2402.5 a100，当 x5.5 时，y 有最大值 2402.5 0 x15，且 x 为整数， 当 x5 时，50+x55，y2400（元），当 x6 时，50+x56，y2400（元） 当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元 （3）当 y2200 时，10 x2+110 x+21002200，解得：x11，x210 当 x1 时，50+x51，当 x10 时，50+x60 当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元
40、 当售价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时， 每个月的利润不低于 2200 元 （或当售价分别为 51， 52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于 2200 元） 八、（本题满分八、（本题满分 14 分）分） 23如图，已知抛物线经过点 A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点P 是线段 AB 上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函
41、数的表达式； （2）在点 P 运动过程中，是否存在点 Q，使得BQM 是直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC，将AOC 绕平面内某点 H 顺时针旋转 90，得到A1O1C1，点 A、O、C 的对应点分别是点 A1、O1、C1、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点 A1的横坐标 【分析】（1）把点 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解； （2）分两种情况分别讨论，当QBM90或MQB90，即可求得 Q 点的坐标 （3）（3）两个和谐点；
42、AO1，OC2，设 A1（x，y），则 C1（x+2，y1），O1（x，y1）， 当 A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是 1； 当 O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是 2； 解：（1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c， 将点 A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式， ， ， y+x+2； （2）点 C 与点 D 关于 x 轴对称， D（0，2） 设直线 BD 的解析式为 ykx2 将（4，0）代入得：4k20， k 直线 BD 的解析式为 yx2 当 P 点与 A 点重合时，BQM 是直角三角形，此时 Q（1，0）； 当 BQBD 时，BQM 是直角三角形， 则直线 BQ 的直线解析式为 y2x+8， 2x+8+x+2，可求 x3 或 x4（舍） x3； Q（3，2）或 Q（1，0）； （3）两个和谐点； AO1，OC2， 设 A1（x，y），则 C1（x+2，y1），O1（x，y1）， 当 A1、C1在抛物线上时， ， ， A1的横坐标是 1； 当 O1、C1在抛物线上时， ， ， A1的横坐标是；
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